Материал: 07 - презентация
6.5.2. Использование почленного интегрирования
Пример 7. Разложить в ряд Маклорена функцию ( ) = .
Воспользуемся табличным разложением для представления степенным рядом производной этой функции:
′ |
|
( |
|
|
|
|
)′ |
|
1 |
|
|
2 |
|
4 |
( |
) |
|
2 |
|
||||
|
( ) = |
|
|
|
= |
1+ 2 |
= 1 − |
|
+ |
|
|
− + −1 |
|
∙ |
|
+ , |
|||||||
(−1,1). |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= ∫0 |
|
1 |
|
= ∫0 (1 − 2 |
+ 4 − + (−1) ∙ 2 + |
|
|||||||||||||||||
|
1+ |
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
) |
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
( ) |
|
|
2 +1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
= − |
|
3 |
+ |
|
5 |
− + −1 |
|
∙ |
2 +1 |
+ , [−1,1]. |
|
||||||||||
Заметим, что производная представляется степенным рядом на интервале (−1,1), а сама функция – на отрезке [−1,1].
6.5.3. Использование почленного дифференцирования Пример 8. Разложить в ряд Тейлора функцию
( ) = |
5 |
|
|
, 0 = 2. |
|
Замена: − 2 = , = + 2. |
||||||||||||||||||||||
( +1) |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
||
( ) |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= 5 ∙ − ( |
|
) = − |
|
|
|
∙ ( |
|
) = |
|
|
||||||||||||||
|
( +3)2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5 |
|
∙ (∑∞=0(−1) |
|
′ |
5 |
|
∑∞=0(−1) |
|
−1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= − |
|
|
|
|
) = − |
|
∙ |
|
|
= |
||||||||||||||||||
3 |
|
3 |
3 |
|
3 |
|||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
+1 |
5 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= ∑ =0(−1) |
|
|
|
( − 2) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Область сходимости: −1 < 3 < 1 −3 < < 3
−3 < − 2 < 3 −1 < < 5.
6.6.Применение теории степенных рядов
6.6.1.Приближенные вычисления значений функций
Рассмотрим примеры применения ряда Тейлора для приближенных вычислений.
Пример 9. Вычислить sin1 с точностью до 0,001.
Для решения задачи воспользуемся табличным разложением функции sin :
sin1 = 1 − 13 + 15 − 17 + - знакочередующийся ряд Лейбница.
3! 5! 7!
При замене суммы ряда на частичную сумму остаток не превосходит по модулю первого отброшенного члена ряда.
5!1 > 0,001, 7!1 < 0,001, значит, это слагаемое можно отбросить,
для достижения заданной точности достаточно учесть первые три члена ряда:
sin1 ≈ 1 − 13 + 15 = 0, 842.
3! 5!
6.6.2. Приближенные вычисления определенных интегралов
Пример 10. Вычислить с точностью до 3 знаков после запятой
1
∫04 − 2 .
Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена, заменив в нем на − 2:
− 2 = 1 − |
2 |
+ |
|
4 |
|
− |
6 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2! |
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫04 |
− 2 = ∫04 |
(1 − |
|
|
+ |
|
− |
|
|
+ ) = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1! |
2! |
3! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
= ( − |
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
+ )| = |
|
− |
+ |
|
− |
|
+ |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
42 ∙ 4 |
7 |
|||||||||||||||||||||
3 |
10 42 |
|
|
0 |
|
4 |
3 ∙ 4 |
10 ∙ 4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Получен |
знакочередующийся |
ряд |
Лейбница, |
слагаемое |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10∙45 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
меньше, чем 0,001. Отбрасывая это слагаемое, получим приближенное значение интеграла с заданной точностью:
1
∫04 − 2 ≈ 14 − 3∙41 3 = 0,245.