Материал: 2
Глава 4
Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
§29. Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой и его исследование
29.1 Общее уравнение прямой на плоскости
Определение 29.1: Под прямой
линией будем понимать геометрическое
место точек l
такое, что для любых двух точек M
и M из данного
множества вектор
коллинеарен заданному ненулевому
вектору
.
Или
.
Получим уравнение прямой линии на плоскости (то есть получим такое уравнение, которому должны удовлетворять координаты всех точек на прямой линии l и наоборот, если координаты некоторой точки удовлетворяют составленному уравнению, то эта точка лежит на прямой l).
Пусть
и
(29.1)
Рассмотрим следующие случаи:
= 0. Тогда
оси
ординат OY, и первая
координата x-x
пропорциональна нулю, т.е.
(в этом случае
)
(29.2)
= 0. Тогда
оси
абсцисс OX, и вторая
координата
пропорциональна нулю, то есть
(в этом случае
)
(29.3)
Так
как
,
то
или
(29.4)
Раскрывая скобки и перенося все слагаемые
в уравнении (29.4) в левую часть, получим.
Положив
и
,
из последнего уравнения имеем (при этом
(см.(29.1)).
(29.5)
и
(29.6)
Отметим, что уравнения (29.2) (при A=1,
B=0, C=
)
и (29.3) (тогда A=0, B=1,
C=
)
является частичными случаями уравнения
(29.5) с условием (29.6). Итак, мы показали,
что если точка M
принадлежит некоторой прямой l,
то её координаты удовлетворяют некоторому
уравнению (29.5) с условием (29.6) на
коэффициенты A и B.
Покажем обратное, то есть если координаты всех точек M удовлетворяющих некоторому уравнению (29.5) с условием (29.6), то эти точки лежат на некоторой прямой l (удовлетворяющей определению 29.1).
ЗАДАЧА. Доказать, что если
векторы
и
ортогональны
некоторому вектору
,
то
и
коллинеарные.
Для её решения заметим, что координаты векторов и должны удовлетворять уравнению Ax+By=0, которое (см §17,18,19) является линейным пространством размерности 1 и, следовательно, всякие два решения этого уравнения линейно зависимы. Далее - §16.
Заметим, что уравнение (29.5) имеет
решения(например, если
(см.(29.6)), то координаты точек
удовлетворяют уравнению (29.5).
Пусть
и M(x,y)
– любые решения уравнения (29.5), то есть:
(29.5)
и
(29.7)
Вычитая из уравнения (29.5) уравнение (29.7), получим
(29.8)
Это означает, что вектор
ортогонален
вектору
(см.(29.6)). Но и вектор
также
ортогонален вектору
,
потому что и скалярное произведение
(см.
§24). Поэтому
то есть точки
и М находятся на некоторой прямой
линии l. Таким
образом, уравнение (29.5) с условием (29.6)
задает некоторую прямую линию l
на плоскости
и наоборот, всякую линию l
на плоскости
можно описать некоторым уравнением
(29.5) с условием (29.6).
Определение 29.2: Уравнение (29.5) с условием (29.6) называется общим уравнением прямой линии на плоскости.
Определение 29.3: А вектор называется нормальным вектором (или нормалью) к прямой l, заданной уравнением (29.5).
Как уже было показано, вектор
,
то есть
29.2 Исследование общего уравнения прямой на плоскости
Исследуем общее уравнение прямой:
Ax+By+C=0 (29.5)
с условием
(29.6)
Рассмотрим поочередно случаи, когда коэффициенты в уравнении (29.5) равны или не равны нулю – всего 5 частных случаев (когда один или два коэффициента в (29.5) обращаются в ноль; случаи A=B=0 и A=B=C=0 не удовлетворяют условию (29.6)) и один общий случай (когда все коэффициенты в (29.5) отличны от нуля).
Частный случай |
Уравнение прямой
|
Особенность поведения прямой |
Обоснование |
1.A=0
|
y= -C/B |
Прямая l коллинеарна оси абсцисс OX |
См. уравнение (29.3) |
2.B=0 |
x= -C/A |
прямая l коллинеарна оси ординат OY |
См. уравнение (29.2) |
3.C=0 |
Ax+By=0 |
|
При C=0 координаты
точки
|
4.A=C=0 |
y=0 |
|
Сопоставим случаи 1. и 3., О(0;0) |
5.B=C=0 |
x=0 |
|
Сопоставим случаи 2. и 3. точка O(0;0) OY |
,
то есть прямая l
проходит через начало координат
удовлетворяют уравнению (29.5)
,
то есть прямая является осью абсцисс
OX
,
то есть прямая является осью ординат
ABC
(достаточно общий случай).
Тогда, поделив обе части уравнения
(29.5) на « -С», получим
.
Обозначив за
и
,
из последнего уравнения имеем
(29.9)
К уравнению (29.9) мы ещё вернемся в §31.
29.3 Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть
(то
есть прямая l не
коллинеарна оси ординат (см.(29.2)). Тогда,
поделив обе части уравнения (29.5) на «-В»,
получим
Положив
и
,
из последнего уравнения имеем
(29.10)
Найдем геометрический смысл коэффициентов
k и b
в уравнении (29.10). Положив x=0,
из (29.10) находим y=b,
а в случае y=0,
будет
.
То есть точки
и
находятся на прямой
.
Пусть – угол, под которым прямая l пересекает ось OX. Тогда
(29.11) (см. чертеж 29.1)
рис.29.1
0
Из уравнения (29.11) имеем, что величина
в уравнении (29.10) является тангенсом
угла наклона прямой l
к оси абсцисс ОХ.