Материал: 2

2.Двуполостной гиперболоид

Определение 47.3. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению

(47.20)

Общий вид двуполостного гиперболоида изображён на рис.47.7

Рис.47.8 Рис.47.9

При вращении гиперболы вокруг пересекающей её оси симметрии получится двуполостной гиперболоид вращения. (см. рис. 47.8)

В сечении двуполостного гиперболоида плоскостями могут получаться (см.рис 47.9, на котором гиперболоид и все секущие его плоскости изображены «сбоку»);

-эллипс(из рис.47.9 видно, что в сечении двуполостного гиперболоида плоскостью эллипс должна получиться некоторая ограниченная кривая второго порядка, т.е. эллипс);

-гипербола (согласно рис. 47.9, в сечении двуполостного гиперболоида плоскостью гипербола получается разрывная кривая второго порядка, т.е гипербола);

-парабола (получается в сечении двуполостного гиперболоида плоскостью, параллельной образующей его асимптотического конуса; читателю предлагаем самостоятельно из рис. 47.9 установить, что тогда в сечении возникает некоторая неограниченная непрерывная кривая второго порядка, т.е. парабола)

-одна точка (если секущая плоскость касается двуполостного гиперболоида);

-пустое множество (когда плоскость двуполостный гиперболоид не пересекает).

Остальные линии второго порядка в сечении двуполостного гиперболоида плоскостью получить нельзя.

В отличие от эллипсоидов, все виды которого можно перевести друг в друга (и, в том числе, и в сферу) с помощью некоторого линейного преобразования (например, непропорциального сжатия осей), однополостный и двуполостный гиперболоиды – совсем разные поверхности, которые нельзя перевести друг в друга никаким линейным преобразованием координат. Это , например, следует из того, что в сечении однополостного гиперболоида некоторой плоскостью можно получить две пересекающихся прямых линии, что нельзя сделать для двуполостного гиперболоида.

Более того, однополостный гиперболоид – связная (точнее, даже линейно связная) поверхность (т.е всякие две его точки можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей на данной поверхности), а двуполостный гиперболоид связной поверхностью не являются.

47.4 Параболоиды

I.Эллиптический параболоид

Определение 47.4. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению:

(47.24)

Рис 47.10 Рис.47.11 Рис.47.12

Общий вид эллиптического параболоида изображён на рис.47.10, при этом начало координат (для уравнения (47.24)) будет вершиной параболоида, а ось аппликат OZ (являющаяся его осью симметрии, что легко проверить, ибо если точка лежит на эллиптическом параболоиде, т.е. её координаты удовлетворяют уравнению (47.24), то и координаты симметричной ей относительно оси аппликат точки также удовлетворяют уравнению (47.24), т.е. эта симметричная точка также находится на эллиптическом параболоиде) является осью эллиптического параболоида.

Эллиптический (точнее - круговой) параболоид вращения получится, если мы параболу будем вращать вокруг её оси симметрии (см.рис. 47.11)

В сечении эллиптического параболоида плоскостями могут получиться:

-парабола (если секущая плоскость параллельна оси параболоида или проходит через неё; исходя из рис.47.12 читателю предлагаем самостоятельно доказать, что в сечении эллиптического параболоида такой плоскостью будет некоторая неограниченная непрерывная кривая второго порядка, т.е. парабола);

-эллипс (когда секущая плоскость не параллельна его оси, пересекает, но не касается эллиптического параболоида; читателю предлагает показать самостоятельно, исходя из рис. 47.12, что в этом случае в сечении возникает некоторая ограниченная кривая второго порядка, т.е. эллипс);

- одна точка (если плоскость касается эллиптического параболоида);

-пустое множество (когда плоскость не пересекает эллиптический параболоид).

Остальные линии в сечении эллиптического параболоида плоскостями получить нельзя.

II Гиперболический параболоид

Определение 47.5

Гиперболический параболоидом называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению.

(47.25)

Гиперболический параболоид имеет вид «седла», и его общий вид показан на рис. 47.13. Его также можно представить следующим образом: пусть имеются две параболы во взаимно перпендикулярных плоскостях; ветви одной из них (неподвижной) направлены вверх, а ветви другой (подвижной) параболы – вниз. Будем двигать вторую параболу по первой так, чтобы её вершина (подвижной параболы) всегда находилась бы на неподвижной параболе. Тогда поверхность, которая будет образовываться при движении параболы, и будет гиперболическим параболоидом.

Рис. 47.13 Рис.47.14

В сечении гиперболического параболоида плоскостями могут быть:

-парабола (для поверхности, заданной уравнением (47.25),парабола получится в случае, если секущая плоскость параллельна оси аппликат OZ или проходит через неё, ибо, как видно из рис. 47.14 (на этом рисунке гиперболический параболоид и все секущие плоскости представлены как вид «сбоку»), в сечении поверхности такой плоскостью

должна получиться некоторая неограниченная непрерывная кривая второго порядка, т.е. парабола);

-гипербола (из рис. 47.14 читателю предлагается самостоятельно установить, что в сечении гиперболического параболоида плоскостью гипербола должна быть разрывная кривая второго порядка, т.е. гипербола);

-две пересекающихся прямые линии (получается, например, в сечении гиперболического параболоида, заданного уравнением (47.25), координатной плоскостью (z=0); читателю предлагается самостоятельно проверить, что при подстановке в уравнение (47.25) значения z=0 получится уравнение пересекающихся прямых линий).

Остальные линии в сечении гиперболического параболоида плоскостями (в том числе одну точку и пустое множество) получить нельзя.

Как и гиперболоиды, оба параболоида(эллиптический и гиперболический) – совсем разные поверхности, которые нельзя получить друг из друга никаким линейным преобразованием координат. Это вытекает, например, из того, что в сечении гиперболического параболоида плоскостью (некоторой) можно получить две пересекающихся прямых линии, что нельзя сделать для эллиптического параболоида.

47.5 Цилиндрические поверхности второго порядка

Определение 47.6 Цилиндрической будем называть поверхность, удовлетворяющей следующему условию:

Существует такая прямая линия , что для всякой точки , лежащей на заданной поверхности, вся прямая, параллельная и проходящая через точку , также лежит на данной поверхности.

Определение 47.7 Прямая в определении 47.6 называется образующей цилиндрической поверхности.

Подходящим образом подобрав систему координат, можно считать, что образующая цилиндрической поверхности параллельна оси OZ. Тогда, если точка лежит на цилиндрической поверхности (т.е. удовлетворяют уравнению цилиндрической поверхности), то и для любого z точка также должна находиться на этой поверхности (ибо тогда вектор совпадает с направляющим вектором прямой, параллельной оси OZ , т.е. прямая параллельна образующей цилиндрической поверхности). И, следовательно, должна удовлетворять уравнению цилиндрической поверхности. Тогда уравнение цилиндрической поверхности не должно зависеть от z ,т.е. не должно содержать переменную z

I.Эллиптический цилиндр

Определение 47.8 Эллиптическим цилиндром называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе удовлетворяют уравнению

(33.4)

Общий вид эллиптического цилиндра изображён на рис. 47.15. Эллиптический (точнее- круговой) цилиндр вращения получится, если мы будем вращать одну из пары параллельных прямых вокруг другой из них(см. рис. 47.16)

Рис.47.15 Рис.47.16

В сечении эллиптического цилиндра плоскостями могут получиться:

-эллипс (если плоскость не параллельна образующей цилиндра или не проходит через неё; читателю предлагается самостоятельно показать, что в сечении эллиптического цилиндра такой плоскостью должна получиться некоторая ограниченная кривая второго порядка, т.е. эллипс);

-две прямые параллельные линии (когда плоскость параллельна образующей цилиндра или проходит через неё, а также пересекает, но не касается эллиптического цилиндра)

-одна прямая линия (для плоскости, касающейся эллиптического цилиндра);

-пустое множество (в случае, когда плоскость не пересекает эллиптический цилиндр).

II. Гиперболический цилиндр

Определение 47.9 Гиперболическим цилиндром называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению:

(34.1)

Общий вид гиперболического цилиндра изображён на рис.47.17

В сечении гиперболического цилиндра плоскостями могут получиться:

-гипербола (когда секущая плоскость не параллельна образующей гиперболического цилиндра или не пересекает её; читателю предлагаем самостоятельно доказать, что в этом случае в секущей плоскости должна получиться некоторая разрывная кривая второго порядка, т.е. гипербола);

- две прямые параллельные линии (в случае, если плоскость параллельна образующей гиперболического цилиндра (оси аппликат OZ) или проходит через неё, а также пересекает поверхность, но не касается её);

-одна прямая линия (для плоскости, касающейся цилиндрической поверхности);

-пустое множество (в случае, когда плоскость не пересекает гиперболический цилиндр).

III. Параболический цилиндр

Определение 47.10. Параболическим цилиндром называется поверхность, координаты всех точек которой в некоторой системе координат удовлетворяют уравнению:

(34.3)

Общий вид параболического цилиндра изображён на рис. 47.18.

В сечении параболического цилиндра плоскостями могут получаться:

-парабола (когда секущая плоскость не параллельна образующей параболического цилиндра или не пересекает её; читателю предлагаем самостоятельно доказать, что в этом случае в секущей плоскости должна получиться некоторая неограниченная непрерывная кривая второго порядка, т.е. парабола)

- две прямые параллельные линии (если секущая плоскость параллельна образующей параболического цилиндра (оси аппликат OZ) или проходит через неё, а также пересекает поверхность, но не касается её); или параллельна плоскости

Поэтому, согласно п.47.1 и параграфу 35, цилиндрические поверхности второго порядка должны удовлетворять уравнениям (33.4), (34.1), (34.3), (35.21), (35.30), (35.32), (35.31), (35.23) и (35.20). Рассмотрим эти уравнения.