Материал: 2
Определение 29.4: Поэтому уравнение (29.10) называется уравнение прямой с угловым коэффициентом (а множитель k- её угловым коэффициентом).
К уравнению 29.10 можно свести всякую
прямую, не коллинеарную оси ординат
(если
OY,
то есть l
OX
, то
и
).
Отметим, что в отличие от уравнения (29.5) (см. § 30), уравнение (29.10) однозначно определяет прямую l.
§30. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых
30.1 Случай уравнения прямых с угловыми коэффициентами
l 1
l 2
Р
ассмотрим
прямые:
П
рис.30.1
Т
l1
внешний
угол в треугольнике, внутренними углами
которого являются
и
(см.
черт. 30.1, 30.2) то
(
–
угол между прямыми
и
)
(30.3) . Тогда из равенства (30.3) имеем
2
l2
П оэтому:
(30.4)
Т о есть угол между прямыми и можно найти по формуле (30.4).
рис.30.2
1. Условие параллельности:
(см. черт. 30.2)
(30.5)
(и
,
иначе
)
2. Условие перпендикулярности:
(см. чертеж 30.1)
(см. равенство(30.4))
(30.6)
3.Точка пересечения прямых и .
Абсциссу точки пересечения прямых можно найти приравняв, правые части уравнений (30.1) и (30.2):
Решая уравнение (30.7), получим
А подставив полученную в (30.8) абсциссу точки пересечения прямых в уравнение (30.1) (или в (30.2)), найдем и ординату их точки пересечения :
=
30.2 Случай общего уравнения прямых линий
N2
l1
N1
П
усть
прямые
и
заданы уравнениями:
Н
рис.30.3
Тогда (см. чертеж 30.3) угол между прямыми
и
можно определить как угол между их
нормалями
и
,
и из §24 имеем:
(30.12)
Координаты точки пересечения прямых и можно найти, решая систему из двух линейных уравнений (30.10) и (30.11). По формулам Крамера (см. §8) имеем:
x
(30.13)
y=
Для взаимного расположения прямых и рассмотрим матрицы:
и
(R - является матрицей системы линейных уравнений (30.10) и (30.11), а Q – её расширенной матрицей третий столбец которой, взят с противоположным знаком).
По теореме Кронекер-Капелли и критерию определенности системы (см. §13) имеем:
1.
=
и
имеют бесконечно много точек пересечения,
следовательно, система линейных уравнений
(30.10) и (30.11) не определена
(30.14).
2.
||
и
не
имеют общих точек, следовательно, система
линейных уравнений (30.10) и (30.11) не совместна
(30.15)
(ввиду условия (29.6)
,
а
-
ранг матрицы R).
3.
и
пересекаются в одной точке, следовательно,
система линейных уравнений (30.10) и (30.11)
определена
(30.16)
и координаты их точки пересечения можно
найти по формуле (30.13).