Материал: 2443

21

при условии, что переход системы из состояния в состояние происходит не в фиксированные, а в случайные моменты времени.

В экономике часто встречаются ситуации, которые указать заранее невозможно. Например, любая деталь или агрегат автомобиля могут выйти из строя в любой, непредсказуемый заранее момент времени. Для описания таких систем в отдельных случаях можно использовать математический аппарат непрерывной цепи Маркова.

Пусть система характеризуется п состояниями S0, S1, S2,..., Sn, а переход из состояния в состояние может осуществляться в любой момент времени. Обозначим по-прежнему через Pi (t) вероятность того, что в момент времени t система S будет находиться в состоянии Si. Требуется определить для любого t вероятности P0 (t), P1 (t),... Pn (t).

Для процесса с непрерывным временем вместо переходных вероятностей pij рассматриваются плотности вероятностей перехода ij ,

представляющие собой предел отношения вероятности перехода системы за время t из состояния Si в Sj:.

однородный.

При рассмотрении непрерывных марковских процессов принято представлять переходы системы S из состояния в состояние как происходящие под влиянием некоторых потоков событий. Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим через какие-то, вообще говоря, случайные интервалы времени. Плотность вероятности перехода интерпретируется как интенсивность ij соответствующих потоков. Если все потоки пуассоновские, то процесс будет марковским.

При изучении марковских случайных процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем в графе состояний над стрелками, ведущими из состояния Si в Sj проставляют соответствующие интенсивности ij . Такой граф состояний называют

размеченным.

Пусть система S имеет конечное число состояний S0, S1, ..., Sn. Случайный процесс, протекающий в этой системе, описывается вероятностями состояний Р0 (t), P1 (t), ... Рn (t), при этом:

22

n

Pi k 1.

i 1

Вероятности состояний Pi (t) находятся путём решения системы дифференциальных уравнений Колмогорова, имеющих вид:

системы, пользуясь следующим мнемоническим правилом:

Производная вероятности каждого состояния равна сумме всех потоков вероятности, идущих из других состояний в данное состояние, минус сумма всех потоков вероятности, идущих из данного состояния в другие.

Например, для графа, изображённого на рис. 2.1, система уравнений Колмогорова имеет вид:

. (2.4)

Чтобы решить систему дифференциальных уравнений, нужно знать начальное распределение вероятностей. Обычно для решения таких систем применяют численные методы (Рунге-Кутта) и решают их в специальных программных средах, например Mathcad имеет функцию rkfixed, реализующую эту процедуру.

2.4.Финальные вероятности состояний

Если процесс, протекающий в системе, длится достаточно долго, то имеет смысл говорить о предельном поведении вероятностей

Pi (t) при t .

23

В некоторых случаях существуют финальные (предельные) вероятности состояний, независящие от того, в каком состоянии система S находилась в начальный момент. Говорят, что в системе S устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого она переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний Рi уже не меняются. Система, для которой существуют финальные вероятности, называется эргодической, а соответствующий случайный процесс – эргодическим.

Финальные вероятности состояний (если они существуют) могут быть получены путём решения системы линейных алгебраических уравнений, которые получаются из дифференциальных уравнений Колмогорова. Действительно, в установившемся режиме P0 (t),…,Pn(t) становятся постоянными, а производная от const равна 0. При этом вероятностные функции состояний в правых частях уравнений (2.3) заменяются соответственно на неизвестные финальные вероятности

Р0, Р1,..., Рп.

Таким образом, для системы S с п + 1 состояниями получается система п +1 линейных однородных алгебраических уравнений с п+1 неизвестными Р0, P1,..., Рп, которые можно найти с точностью до произвольного множителя. Для нахождения точного значения Р0, Р1, ..., Рп к уравнениям добавляют нормировочное условие Р0 + P1+ ...+Рп =1, пользуясь которым можно выразить любую из вероятностей Рi.

Необходимые и достаточныеусловиясуществования финальных вероятностей

Для существования финальных вероятностей одного условияij const недостаточно, требуется выполнение ещё некоторых условий, проверить которые можно по графу состояний, выделив в нём так называемые существенные и несущественные состояния.

Определение. Состояние Si называется существенным, если нет другого состояния Sj, т. е. такого, что, перейдя однажды каким-то способом из Si в Sj, система уже не может вернуться в Si.. Все состояния, не обладающие таким свойством, называются

несущественными.

Рассмотрим примep, представленный на рисунке 2.3.

24

Рис. 2.3. Существенные и несущественные состояния системы

Состояния S1, S2 и S5 – несущественные, так как из S1 можно уйти, например, в состояние S2 и не вернуться, а из состояния S2 в состояние S3 или S4 и не вернуться, аналогично из состояния S5 в состояние S6 и S7. Состояния S3, S4, S6 и S7 – существенные состояния.

Теорема. При конечном числе состояний для существования финальных вероятностей необходимо и достаточно, чтобы из каждого существенного состояния можно было (за какое-то число шагов) перейти в каждое другое существенное состояние.

Граф из примера (рис. 2.3) этому условию не удовлетворяет, так как из существенного состояния S4 нельзя перейти в существенное состояние S7.

Если система S имеет конечное число состояний, то для существования финальных вероятностей достаточно, чтобы из любого состояния системы можно было (за какое-то число шагов) перейти в любое другое состояние.

Если число состояний бесконечно, то это условие перестаёт быть достаточным, и существование финальных вероятностей зависит не только от графа состояний, но и от интенсивности ij .

2.5.Математическоепредставлениепотока событий

При исследовании непрерывных марковских цепей бывает удобно представить переход системы из состояния в состояние как воздействие каких-то потоков событий (поток заявок на обслуживание, поток автомобилей, поток документов и т. п.).

Поток событий представляет собой в общем случае просто последовательность случайных точек 1, 2,…, n,… на оси времени 0t (см. рис. 2.4) с разделяющими их случайными интервалами t1, t2,…,

tn-1, tn,…, так что t1 = 2 – 1, t2 = 3 – 2,…, tn = n+1 – n.

25

Рис. 2.4. Представление потока случайных событий на временной оси

Потоки событий различаются между собой по их внутренней структуре: по законам распределения интервалов t1, t2,… между событиями. Для описания распределения интервалов между событиями могут использоваться различные законы распределения:

нормальный, равномерный, экспоненциальный (наиболее часто используемый). Также потоки различаются по их взаимной зависимости или независимости и т. д.

С первого взгляда наиболее простым представляется поток событий, в котором интервалы между событиями строго одинаковы и равны определённой неслучайной величине . Такой поток событий называется регулярным. Примеры регулярных потоков представляют собой поток изменений минутной цифры на вокзальных электронных часах, поток изменений состояний ЭВМ, определяемый тактом её работы и т. п.

Регулярный поток событий довольно редко встречается на практике. Он представляет определённый интерес как предельный случай для других потоков. Однако, несмотря на свою видимую простоту, регулярный поток не имеет преимуществ при проведении расчётов.

Математическаямодель простейшего пуассоновскогопотока

На практике чаще всего ограничиваются рассмотрением простейшего (пуассоновского) потока заявок.

Определение. Поток событий, обладающий свойствами

ординарности, стационарности и отсутствия последействия,

называется простейшим (или стационарным пуассоновским)

потоком. Для простейшего потока событий вероятность того, что на участке времени длины наступит ровно k событий, имеет распределение Пуассона и определяется по формуле:

Р{X(t, ) = k} = ak e-a/k! (k=0, 1, 2,…),

где а = , – интенсивность потока.