Материал: 2492

Приложение 2

Базис и координаты

1. Базис на плоскости – любые два неколлинеарные вектора:

e1

e2

Стандартный базис на плоскости – (i , j) :

i

= j

=1, i j :

j

i

2. Базис в пространстве − это любые три некомпланарные векто-

ра в пространстве.

И

e3

e2

Д

e1

А

Стандартный баз сбв пространстве

−

i ,

j, k :

i = j = k = 1;

i j k .

и

С

k

i

j

3. Координаты вектора.

Если e1, e2 , e3 − базис в пространстве,

то a = λ1 e1 + λ2

e2 + λ3 e3 = (λ1, λ2 , λ3 ).

(λ1, λ2 , λ3 )− координаты a в

базисе (e1, e2 , e3 ).

77

Приложение 3

Действия с векторами в координатной форме записи

1.

Сумма векторов – это вектор с координатами

если а = (x1, y1, z1 );

a + b = (x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ),

b = (x2 ,

y2 , z2 ).

2.

Умножение вектора на число λ :

λ a = (λ x; λ y; λ z).

3.

Длина вектора a = (x, y, z):

a = x2 + y2 + z2 .

4.

Координаты вектора AB:

AB = ((x2 − x1 ); (y2 − y1 ); (z2 − z1 )),

A = (x1,

y1, z1 );

B = (x2 , y2 , z2 ) − две точки.

И

z

B

0

Д

x

y

А

5.

Орт вектора a

: вектор

а

о , имеющий то же направление, что

и a , и модуль,

равный 1:

б

иа о =

1

а ,

а

а о =1;

а о ↑↑ а .

С

y, z):

6.

Координаты орта вектора а = (x,

а)

x

;

y

;

z

а о =

2

2

2

2

2

2

2

2

2

.

x

+ y

+ z

x

+ y

+ z

x

+ y

+ z

б)

a o = (cosα, cos β, cosγ ),

т.е. координаты орта равны направ-

ляющим косинусам.

7.

Основное свойство направляющих косинусов вектора:

cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1.

78