Материал: 2492

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

λ < 0 λ a ↑↓ a .

Операция умножения вектора на число обладает свойствами:

λ (a +

)= λa+ λ

(дистрибутивность относительно

сложения векторов);

(λ + µ)a = λ a + µ a

(дистрибутивность

относитель-

но сложения чисел);

λ(µ a )= (λµ)a (ассоциативность);

1 a = a (умножение на единицу).

Пусть a1,a2 , ,an

− векторы; λ1, λ2 , , λn − числа.

Вектор λ1a1 + λ2a2 + + λnan

называется линейной комбина-

цией векторов a ,a , ,a

с коэффициентами λ , λ , , λ .

1 2

И1 2

Проекция вектора на ось

Дан вектор а =

бВ

АВ

и направленный отрезок или луч

– ось.

Спроектируем вектор АВ на U и получим вектор

А1В1

Ось

В1 А1

Рис. 4

A1B1 − геометрическая проекция вектора AB на ось U (рис. 4).

A1B1

, если

A1B1 ↑↑U;

Число

Пр

AB =

–

алгебраическая

−

A1B1

, если A1B1 ↑↓U

проекция

на ось

Теорема (основная теорема о проекциях). Пусть а1,а2 , ,аn −

векторы; λ1, λ2 , , λn − числа;

− ось.

Тогда

ПрU

(λ1а1 + λ2а2 + + λnаn ) =

= λ1ПрU

а1 + λ2 ПрU

а2 + + λn ПрU

аn .

Следствия.

1. ПрU

(a +

)= ПрU

a + ПрU

2. ПрU

(λ

)= λ ПрU

a .

Пример.

В треугольникеАABC сторона AB точками M и N

разделена на три равные части:

Найти вектор

, если

;

СM

CА

(

− a )

Решение. Имеем AB = b − a AM =

Так как

, то

СM

(

− a )=

(2 a +

)

= 2 a +

= a +

Вопросы и задания для самопроверки [2,3,5,6]

1.Что называется геометрическим вектором?

2.Что называется длиной геометрического вектора?

3.Какие векторы называются одинаково направленными?

4.Какие векторы называются коллинеарными?

5.Дайте определение сложения двух геометрических векторов.

6.Определите умножение геометрического вектора на число.

7.Что называется проекцией вектора на ось?

§2. Базис и координаты
Векторы а1, а2 , , аn называются линейно зависимыми, если
существуют числа	λ1, λ2 , , λn		(не		все	равные 0), такие, что
λ1 а1 + λ2 а2 + + λn аn = 0 , т.е. линейная комбинация векторов об-
ращается в ноль.
Два вектора на плоскости а			и b линейно независимы тогда и
только тогда, когда они неколлинеарны: a \|\| b (рис. 5).
а							а
а					И
с
b
b				Д			b
а) а , b – неколлинеарны, a \|\| b ;				Д			b – коллинеарны, a \|\| b .
а) а , b – неколлинеарны, a \|\| b ;					б) а	,	b – коллинеарны, a \|\| b .
		АРис. 5
Три вектора,	меющбе общее начало,					называются компланар-
ными, если они лежат в одной плоскости. Или: три произвольные
	и
вектора компланарны, если они параллельны одной плоскости.
Три вектора в пространстве линейно независимы тогда и только
тогда, когда они некомпланарны.
С
	Базис и координаты

Базисом на плоскости называются любые два линейно независимых вектора (любые два неколлинеарные вектора) (рис. 6).

Рис. 6

Любой вектор на плоскости является линейной комбинацией базисных векторов.

a = λ1e1 + λ2e2 − разложение вектора a по базису (e1, e2 ).

(λ1, λ2 )− координаты a в базисе (e1, e2 ).

Стандартный

базис на

плоскости – (i

, j),причем

=1,

j (рис. 7).

Рис. 7

Базис в пространстве

− это любые три линейно независимые

вектора в пространствеС. Любой вектор в пространстве является линейной комбинацией баз сных векторов (прил. 2).

Если e1, e2 , e3 − базис в пространстве, то a = λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 e3 .

а = (λ1, λ2 , λ3 )− координаты a в базисе (e1, e2 , e3 ).

Рис. 8

В пространстве базис образуют любые три некомпланарные вектора (рис. 8).

Векторы i , j, k − стандартный базис: i = j = k = 1; i j k

(рис. 9).

Рис. 9

Действия с векторами в координатной форме записи

Если а = (x1, y1, z1 );

= (x2 , y2

, z

2 ) – координаты векторов, то

сумма векторов – это вектор с координатами

= (x

бА

+ zИ) (прил. 3);

a +

+ x

; y

+ y

;

λ a = (λ x; λ y; λ z)−умножение вектора на число λ ;

a = (x, y, z). Длина вектора a находится по формуле

a= x2 + y2 + z2 ;

4)A = (x1С, y1, z1 ); B = (x2 , y2 , z2 ) − две точки. Тогда координаты вектора AB равны (рис. 10): (z − z )).(y − y );AB = ((x − x );и

	z
		B
x	0	y
x
		Рис. 10

Источник: https://studfile.net/preview/16408549/

Смотрите также:

DLP-системы
Государственная поддержка сельскохозяйственного производства на региональном уровне с учетом требований ВТО
Дело 01-0062_2019. Приговор. документ - обезличенная копия
МПС3
Расстановка скобок в арифметическом выражении
Теоретические аспекты контроллинга
Шум и средства защиты от него

Материал: 2492

§2. Базис и координаты

Смотрите также: