Материал: 2492

.

Теперь используем формулу cosδ =

AB

AC

AB

И

AC

Считаем:

1 Д1

AB

AC

= 1 (− 4)

+ 2 4

+1 (− 3) = −4 + 8 − 3 = 1

;

=

12

+ 22 +12

=

;

AB

6

=

А

=

(− 4)2 + 42 + (−

3)2

=

;

AC

16 +16 + 9

41

б

.

cosδ =

=

6

41

246

Ответ: cosδ

=

1

.

246

С

3. Вычислить площадьипараллелограмма, построенного на век-

торах a и b :

a = p + 3 q; b = p − q; p =

2; q = 3; p,q = π .

6

a ×

b

= 4

q × p

= 4

p

q

sin p,q =

4.

Вычислить

объём

тетраэдра

с

вершинами

в

точках

A1, A2 , A3, A4

и его высоту, опущенную на грань A1A2 A3 .

A4

A2

A1

И

A3

A1(0,1, 2); A2

(3,1, −1);

A3 (2,1, 4);

Д

A4 (2, −

2, 2).

А

Решение. Ищем координаты векторов:

б

A1A2

= {3,0, − 3};

и

= {2, 0, 2};

A1 A3

= {2, − 3,0}.

A1A4

1

1

3

0

− 3

1

(18 +18)

36

3

.)

V

=

A A A A A A

=

2 0

2

=

=

= 6(ед

пир

6

С1 2 1 3

1 4

6

2

− 3

0

6

6

С другой стороны,

.

= 1 S

V

H .

(1)

Найдём

пир

3

осн

= 1

S

= S

×

=

осн

∆A A A

A A

A A

1

2

1

3

1

2

3

2

1

i

j

k

1

0

− 3

3

− 3

3

0

=

3

0

− 3

=

− j

+ k

=

i

0

2

2

2

2

0

2

2

0

2

2

1

1

1

12 = 6(ед.2 ).

02 + (−12)2 + 02 =

=

0 i −12 j + 0 k

=

2

2

2

6 =

1 6 H;

3

H = 3(ед.).

Ответ: V = 6 (ед3.);

H = 3(ед.).

5. Дана сила F ,

точки А и В: F{0, −1, − 4 }; A(−1,3,1);

B(2,5, − 3).

Д

а) Какую работу производит сила F , когда точка ее приложения,

двигаясь прямолинейно, перемещается из точкиИА в точку В?

б) Определить момент силы F относительно точки В.

б

Решение. а) Работа силы равна скалярному произведению вектора си-

и

лы F на вектор перемещения

AB

А= {2 +1; 5 − 3; − 3 −1}= {3; 2; − 4}.

Находим работу:

А=

= 0 3 + (−1) 2 + (−4) (−4) = 0 − 2 +16 = 14 .

F

AB

б) Момент силы

F , приложенной к точке А относительно точки

В, это вектор,Сравный векторному произведению вектора перемеще-

ния

= {− 3; − 2; 4} на вектор силы F :

BA

F 0 =

i

j

k

=

×

=

− 3 − 2

4

BA

F

0 −1

− 4

= i (8 + 4) − j (12 − 0) + k (3 − 0) = 12i −12 j + 3k .

Ответ: А=14;

=12i −12 j + 3k .

F0

3.

Находить длину, орт, направляющие косинусы вектора.

4.

Вычислять скалярные, векторные, смешанные произведения

векторов.

5.

Находить углы между векторами.

6.

Находить расстояния между точками, площадь треугольника,

высоту треугольника, высоту пирамиды, решать геометрические задачи.

1.

И

с векторами, их

Понятие вектора, арифметические операции

свойства.

Д

2.

Проекция вектора на ось, основная теорема о проекциях.

3.

Базис и координаты вектора на плоскости и в пространстве,

действия с векторами в координатнойАформе записи.

4.

Орт и коорд наты вектора.

5.

Скалярное про зведениебвекторов, его

основные свойства,

критерий перпенд кулярности, использование.

6.

и

Вычисление скалярного произведения через координаты век-

торов.

7.

Векторное произведение векторов, его основные свойства,

С

критерий коллинеарности, использование.

8.

Вычисление векторного произведения через координаты век-

торов.

9.

Смешанное произведение векторов,

его

геометрический