Материал: 2570

Математическая модель свободных колебаний

Рассмотрим свободные колебания системы при заданном начальном отклонении от положения равновесия. Свободные колебания показывают собственные частоты системы и степень ee демпфирования.

Уравнения свободных колебаний получим из (1), приравняв правые части уравнений нулю:

(2)

Для численного решения системы дифференциальных уравнений приведем исходную систему (2) к форме Коши, получим:

(3)

Начальные условия зададим в виде:

Решение в системе MATHCAD задачи о свободных колебаниях

Решим полученную систему (3) в системе MATHCAD.

Заменим обобщенные переменные системы (математические переменные) переменными MATHCAD (часто называемые машинными переменными), учитывая, что индексы в MATHCAD изменяются от нулевого значения:

Для новых переменных уравнения движения в форме Коши имеют вид:

(4)

Для решения в пакете MATHCAD дифференциальные уравнения в форме Коши (4) должны быть записаны в символьную функцию. В приведенной ниже формуле это функция D(t,x), правая часть – вектор, имеющий размерность решаемой системы.

Рис. 2. Фрагмент документа MATHCAD

Константы, входящие в функцию D(t,x), должны быть определены до их использования. Исходные данные в примере соответствуют экипажу электровоза ВЛ80с.

Для численного решения в пакете MATHCAD версии 7.0 pro используются функции:

rkfixed – метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом,

Rkadapt – адаптивный метод с автоматическим выбором шага.

В пакете MATHCAD 2000 pro список функций для численного решения систем дифференциальных уравнений расширен. Особенности этой версии будут рассмотрены ниже.

Рассмотрим построение вычислительной схемы на примере метода Рунге-Кутта с фиксированным шагом.

Метод Рунге-Кутта устойчив для решения многих задач динамики и обычно решение многих проблем начинают с него. В задачах динамики шаг интегрирования выбирают исходя из наибольшей парциальной частоты в системе. Для контроля точности решения рекомендуют уменьшить шаг интегрирования.

Для нашей задачи выбран интервал интегрирования t = 0 … 2 (переменные t0, t1). Количество точек на интервале N = 400. При этом шаг интегрирования h = 0.005.

Начальные условия задаются в виде вектора x.

Решение формируется в виде матрицы R, содержащей в столбцах: независимую переменную (время), далее – выбранные обобщенные переменные (рис. 3).

Рис. 3. Фрагмент документа MATHCAD

Для вывода результатов введены новые переменные (векторы T, Z1, Z2, V1, V2), которым присвоено значение столбцов матрицы результатов решения.

Результаты представлены в графическом виде

- перемещения в зависимости от времени (пример на рис.4);

- скорости в зависимости от времени;

- фазовые диаграммы.

Как видно из рис 4. система имеет две собственные частоты колебаний. Колебания с более высокой частотой затухают быстрее (для принятых исходных данных). Особенностью подвешивания железнодорожных экипажей является большое демпфирование.

На полученной модели в пакете MATHCAD можно исследовать влияние параметров подвешивания на собственные колебания. При изменении исходных данных система пересчитывает связанные с ними формулы.

Рис. 4. Фрагмент документа MATHCAD

Реализация в системе MATHCAD

Двухмассовая система. Свободные колебания

Исходные данные

Масса, т

Жесткость, кН/м

Демпфирование, кН*с/м

Система дифференциальных уравнений

Параметры интегрирования

Начальные условия

Решение системы диф.уравнений

Формирование выходных данных

Перемещения в зависимости от времени

Скорости в зависимости от времени

Фазовые диаграммы

Решение в системе MATHCAD задачи о вынужденных колебаниях

Для решения системы уравнений вынужденных колебаний системы (1) проведем замену переменных:

Уравнения вынужденных колебаний системы в форме Коши с учетом замены переменных запишем в виде:

(5)

Начальные условия:

Полученная система (5) отличается от рассмотренной выше системы (4) наличием переменных, описывающих возмущение от неровностей пути под колесом.

Для исследования вынужденных колебаний используются различные виды возмущений со стороны пути: дискретные, детерминированные, стохастические.

Кинематическое возмущение со стороны пути может быть задано функцией и ее производной.

Рассмотрим решение задачи о вынужденных колебаниях при гармоническом возмущении.

Структура документа MATHCAD в этом случае подобна документу, описывающему свободные колебания. Для описания гармонического возмущения введена функция . Производная обозначена как функция . При сложном виде функции возмущения ее производная может быть вычислена с помощью символьных преобразований MATHCAD.

Решение проведено при нулевых начальных условиях. Для решения использован адаптивный метод – функция Rkadapt (рис. 5). Для гладких функций это метод затрачивает меньше времени для получения решения по сравнению с методом Рунге-Кутта с фиксированным шагом.

Рис. 5. Фрагмент документа MATHCAD

Результаты решения удобно представлять в виде фазовой диаграммы, представляющей зависимость скорости парциальной массы от ее линейного перемещения (рис. 6). Полученное решение показывает, что после переходного процесса устанавливаются колебания постоянной амплитуды с частотой возмущения.

Анализ решения показывает, что амплитуда колебаний зависит от частоты возмущения, следовательно, от скорости движения.

Рис. 6. Фрагмент документа MATHCAD

Изменяя скорость движения можно определить критические скорости и соответствующие им максимальные перемещения в системе подвешивания. Изменяя параметры подвешивания можно наметить пути уменьшения негативных явлений.

Описанный выше подход иногда называют прямым моделированием, иногда – решением «в лоб». Решение задачи методом прямого численного интегрирования дифференциальных уравнений движения позволяет оценить основные процессы, протекающие в системе при различном внешнем воздействии. Преимуществом такого подхода (в первую очередь перед аналитическим) является то, что в систему легко вводятся нелинейные функции. Структура модели при этом не меняется. Упрощенная модель в дальнейшем развивается и дополняется, а результаты моделирования служат начальной оценкой для более сложных моделей.

Реализация в системе MATHCAD

Двухмассовая система. Возмущенное движение по синусоидальной неровности

Исходные данные

Масса, т

Жесткость, кН/м

Демпфирование, кН*с/м

Скорость, м/с

Длина неровности, м

Амплитуда неровности, м

Частота возмущения

3. Задания к лабораторной работе

В системе MATHCAD составить описанные выше программы для свободных и вынужденных колебаний, убедиться, что модели строят аналогичные графики.

По заданию преподавателя каждый студент должен изменить параметры моделей на те, которые указаны в таблицах для своего варианта. Построить новые графики, проанализировать их отличие от исходных.

Варианты заданий для свободных колебаний: