Материал: 3647
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Владимирский государственный университет имени
Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»
(ВлГУ)
Институт инновационных технологий
Факультет информационных технологий
Кафедра Информационных систем и программной инженерии
Р.И. Макаров
ОСНОВЫ ПЛАНИРОВАНИЯ И ОБРАБОТКИ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
Методические указания
к лабораторным занятиям
по дисциплине «Основы планирования и обработки
экспериментальных данных» для студентов ВлГУ,
обучающихся по направлению 231000.62 «Программная инженерия». Профиль подготовки «Разработка программно-информационных систем»
Учебное электронное издание
Владимир 2014
УДК 004 (076)
ББК 32.97я7.
М15
Методические указания к лабораторным занятиям по дисциплине «Основы планирования и обработки экспериментальных данных» предназначены для подготовки бакалавров по дисциплине профессионального цикла по направлению подготовки 231000.62 «Программная инженерия», профиль подготовки «Разработка программно-информационных систем».
Курс знакомит студентов с основами планирования экспериментов и обработки экспериментальных данных с целью повышения эффективности действующих и создаваемых программно-информационных систем.
В результате изучения дисциплины студент должен владеть методами и средствами планирования активного эксперимента, поиска оптимальных условий функционирования систем, обработки статистических данных, полученных с действующих информационных систем с целью повышения эффективности их функционирования.
© Владимирский государственный университет, 2014
Лабораторная работа №1 Предварительный анализ объекта исследования
1. Цель работы
Цель данной работы - приобретение практических навыков в проверке статистических гипотез о распределении ошибок эксперимента по нормальному закону и о воспроизводимости опытов.
2. Общие сведения
Обработка активного эксперимента осуществляется на основе регрессионного анализа. Для использования регрессионного анализа должны выполняться следующие предпосылки:
- ошибки экспериментов должны распределяться по нормальному закону;
- опыты должны быть воспроизводимыми.
Поэтому, перед выполнением активного эксперимента необходимо провести предварительную серию опытов на изучаемом объекте (системе, процессе) для выявления наличия или отсутствия выше указанных предпосылок.
В лабораторной работе объект исследования имитируется математической моделью, а погрешности измерений моделируются нормально распределенными случайными числами. Работа выполняется в программе EXCEL.
2.1. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения ошибок эксперимента
Для проверки гипотезы о нормальном законе распределения ошибок часто используют W- критерий [1]. Для анализа требуется провести от 3 до 50 параллельных опытов, выполняемых в одинаковых условиях. Проверка выполняется в следующей последовательности:
1) Результаты опытов располагаются в возрастающей последовательности
y1<=y2<=….<=yk
2) Вычисляется значение величины
(1)
3) Вычисляют значение величины
(2)
Коэффициенты ai берутся из таблицы 1
Таблица 1 - Коэффициенты ai используемые при проверке гипотезы с
помощью W- критерия
i |
k |
||||
3 |
4 |
5 |
6 |
10 |
|
1 |
0,7071 |
0,6872 |
0,6646 |
0,6431 |
0,5739 |
2 |
|
0,1677 |
0,2413 |
0,2806 |
0,3291 |
3 |
|
|
|
0,0875 |
0,2141 |
4 |
|
|
|
|
0,1224 |
5 |
|
|
|
|
0,0399 |
4) Находят расчетное значение критерия
(3)
5) По таблице 2 определяют критическое значение W- критерия для уровня значимости 0,05
Таблица 2 – Критическое значение W-критерия для уровня
значимости 0,05
-
k
3
4
5
6
10
W
0,767
0,748
0,762
0,788
0,842
При выполнении неравенства
(4)
принимается гипотеза о нормальном законе распределения ошибок эксперимента.
Пример 1
Рассмотрим пример проверки гипотезы с помощью W-критерия. Модель объекта описывается уравнением
y= 200-4*(x1-5)2-4*(x2-5)2-4*(x3-5)2 + e,
где хi – факторные переменные; е – ошибка измерений, описываемая нормальным законом распределений (подлежит проверке).
Факторные переменные изменяются в пределах, указанных в табл. 3.
Таблица 3 – Диапазон изменения факторных переменных
-
Факторные переменные
х1
х2
х3
Верхнее предельное значение
10
10
10
Нижнее предельное значение
0
0
0
Экспериментатор реализовал 10 опытов при одинаковых значениях факторных переменных (табл. 4), на результаты опытов наложил ошибки измерений, описываемые нормальным законом распределения с параметрами
N ≈ (0, 1).
Распределим результаты измерений в порядке возрастания
34,76983 |
35,27362 |
35,39197 |
35,98818 |
35,98864 |
36,0119 |
36,23937 |
36,82188 |
37,49322 |
37,61634 |
Расчетное значение величины s2 равно 7,731716.
Таблица 4 – Эксперимент для проверки гипотезы нормальности закона
распределения ошибок измерений
-
Опыты
х1
х2
х3
y
е
у+е
1
5
10
1
36
1,493217
37,49322
2
5
10
1
36
-0,04182
35,95818
3
5
10
1
36
-1,23017
34,76983
4
5
10
1
36
0,239374
36,23937
5
5
10
1
36
1,616336
37,61634
6
5
10
1
36
-0,60803
35,39197
7
5
10
1
36
-0,72638
35,27362
8
5
10
1
36
0,821879
36,82188
9
5
10
1
36
0,011896
36,0119
10
5
10
1
36
-0,01136
35,98864
Для расчета величины b (2) коэффициенты ai выбираем из таблицы 1 с учетом того, что l=0,5*10=5
a10=0,5739 ; a9=0,3292 ; a8=0,2141 ;a7=0,1224 ; a6=0,0399 .
Расчетное значение величины b равно 2,7019.
Вычислим
значение
критерия
(3)
Критическое значение критерия W для уровня значимости 0,05 находим из табл. 5 для k=10, значение равно W=0,842.
Таблица 5 - Критическое значение W-критерия для уровня значимости 0,05
-
k
3
4
5
6
10
W
0,767
0,748
0,762
0,788
0,842
Сравнивая величины приходим к выводу, что распределение ошибок в эксперименте подчиняется нормальному закону.
2.2. Проверка гипотезы о воспроизводимости опытов с помощью
критерия Кохрена
Для проверки гипотезы необходимы результаты нескольких серий параллельных опытов, в каждой серии количество опытов должно быть одинаковым. Обычно число серий принимают равным 2-3 и количество опытов в каждой серии должно быть небольшим, равным 2-3 [1].
Для каждой серии параллельных опытов вычисляют среднее арифметическое значение и оценку дисперсии по формулам:
(5)
где j – номер серии;
I – номер опыта в серии;
k – число параллельных опытов.
Расчетное значение критерия Кохрена представляет отношение наибольшей оценки дисперсии к сумме всех найденных оценок дисперсий [1, 2]
(6)
Критическое значение критерия Кохрена для уровня значимости 0,05, числе серий опытов N и степеней свободы fj=k-1 находят по табл. 6.
Таблица 6 - Значение критерия Кохрена при уровне значимости 0,05
-
N
k
1
2
3
4
5
2
0,999
0,975
0,939
0,906
0,877
3
0,967
0,871
0,798
0,746
0,707
4
0,907
0,768
0,684
0,629
0,59
5
0,841
0,684
0,598
0,544
0,507