Материал: 3647

При выполнении соотношения принимается гипотеза о том, что опыты воспроизводимы. Оценки дисперсий, полученные в сериях опытов считаются однородными, принадлежащими к одной генеральной совокупности. С использованием однородных дисперсий вычисляют дисперсию воспроизводимости опытов

(7)

где f_y – число степеней свободы, связанное с дисперсией воспроизводимости опытов.

Оценка дисперсии воспроизводимости используется при анализе результатов активного эксперимента для проверки статистических гипотез об адекватности уравнения регрессии и значимости коэффициентов регрессии.

Пример 2

Рассмотрим пример проверки гипотезы о воспроизводимости опытов. Модель объекта описывается уравнением

y= 200-4*(x₁-5)²-4*(x₂-5)²-4*(x₃-5)² + e,

где х_i – факторные переменные; е – ошибка измерений, описываемая нормальным законом распределений (подлежит проверке).

Выполним эксперимент на имитационной модели объекта, состоящий из 3-х серий по два параллельных опыта. Результаты эксперимента приведены в табл. 7.

Таблица 7 - Параллельные опыты

В седьмом столбце таблицы 7 записаны ошибки измерений, описываемые нормальным законом распределения с параметрами N ≈ (0, 1).

Результаты расчетов средних значений зависимой переменной и оценок дисперсий, выполненные по (5), приведены в столбцах 9 и 10 табл. 7.

Рассчитаем значение критерия Кохрена

.

Критическое значение критерия Кохрена для N=3, f=k-1=2-1=1 берем из табл. 6, которое равно G = 0,967.

Соотношение выполняется, следовательно принимается гипотеза о воспроизводимости опытов.

Вычислим оценку дисперсии воспроизводимости опытов (7), приведенных в табл. 7.

Оценка дисперсии воспроизводимости используется при анализе результатов активного эксперимента для проверки гипотезы об адекватности уравнения регрессии и значимости коэффициентов регрессии.

3. Порядок выполнения лабораторной работы

1) Ознакомиться с методикой проверки гипотез о нормальном законе распределения ошибок эксперимента и воспроизводимости опытов, приведенной выше.

2) Получить у преподавателя вариант задания.

3) Реализовать модельный эксперимент по проверке гипотезы о нормальном законе распределения ошибок эксперимента.

4) Сделать выводы по результатам модельного эксперимента.

5) Реализовать модельный эксперимент по проверке гипотезы о воспроизводимости опытов с помощью критерия Кохрена.

6) Сделать выводы по результатам модельного эксперимента.

7) Оценить дисперсию воспроизводимости опытов в модельном эксперименте.

8) Оформить отчет по выполненной работе.

4. Содержание отчета по лабораторной работе

1) Название, цель работы и номер варианта задания.

2) Таблица с результатами модельного эксперимента для проверки гипотезы нормальности закона распределения ошибок измерений.

3) Вычисления критерия W и проверки гипотезы о нормальном законе распределения ошибок эксперимента.

4) Таблица с результатами модельного эксперимента по проверке гипотезы воспроизводимости опытов.

5) Вычисления значение критерия Кохрена и проверка гипотезы о воспроизводимости опытов в эксперименте.

6) Результаты оценки дисперсии воспроизводимости опытов и связанного с ним числа степеней свободы в модельном эксперименте.

7) Выводы по результатам выполненной лабораторной работы.

5. Контрольные вопросы

1) Какие предпосылки должны выполняться для использования регрессионного анализа?

2) С какой целью проверяется гипотеза о нормальном законе распределения ошибок эксперимента?

3) Как находят расчетное значение критерия W_p и приходят к выводу, что распределение ошибок в эксперименте подчиняется нормальному закону?

4) Что необходимо для проверки гипотезы о воспроизводимости опытов?

5) Как оценивается дисперсия в сериях параллельных опытов?

6) Что надо иметь для расчета значения критерия Кохрена?

7) Как вычисляется оценка дисперсии воспроизводимости по серии опытов и значение числа степеней свободы, связанное с дисперсией воспроизводимости?

6. Список литературы

1. Математические методы планирования и анализа эксперимента. Метод. указания к лабораторным работам. Ленинградский технологический институт им. Ленсовета. Ленинград, 1979.-С.17.

2. Н.В. Смирнов, И.В. Дунин-Барковсакий. Краткий курс математической статистики для техничексих приложений. Физматгиз, Москва. 1959. –С. 436.

7. Варианты индивидуальных заданий

Освоить методику проведения предварительного анализа объекта исследования, проверки гипотезы о нормальном законе распределения ошибок эксперимента и воспроизводимости опытов на модели объекта.

Лабораторная работа №2 Полный факторный эксперимент

1. Цель работы

Цель данной работы - приобретение практических навыков планирования полного факторного эксперимента и исследование уравнений регрессии, полученных с помощью эксперимента.

2. Общие сведения

Факторные планы позволяют упростить методику вычисления коэффициентов регрессионной модели эксперимента и сократить число опытов, достаточных для построения модели [1, 2].

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом. Наиболее простой вариант полного факторного эксперимента – эксперименты типа 2^k. Удобно представлять результаты экспериментов в виде матрицы планирования (табл. 1).

Таблица 1 – Матрица планирования эксперимента 2²

Матрица планирования должна обладать следующими свойствами:

1. Симметричность относительно центра эксперимента;

2. Условие нормировки;

3. Свойство ортогональности;

4. Свойство ротатабельности.

Для планирования эксперимента необходима модель самого эксперимента, как правило, математическая. В качестве таковой рассматривается линейная модель следующего вида:

y = b₀ + b₁ x₁ + b₂ x₂ + b₃ x₃ + …+ b_kx_k (1)

Цель работы сводится к поиску неизвестных коэффициентов функции отклика. Коэффициенты вычисляются по формуле:

(2)

Коэффициенты при независимых переменных указывают на силу влияния фактора. Чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор. Если коэффициент имеет знак плюс, то между данным фактором и параметром оптимизации наблюдается прямая связь. Если же коэффициент имеет знак минус, то между данным фактором и параметром оптимизации обратная связь. Величина коэффициента соответствует вкладу данного фактора в величину зависимой переменной «у» при переходе фактора с нулевого на верхний или нижний уровень.