Материал: 3647

Исследование уравнений регрессии, полученных с помощью полного факторного эксперимента, проводится с использованием следующих формул:

- дисперсия погрешностей коэффициентов регрессии, вычисленных по формуле (3), равна

(3)

где - дисперсия ошибки опытов, оцененная по параллельным опытам в лабораторной работе №1;

- остаточная сумма квадратов вычисляется по формуле

(4)

где - значение зависимой переменной в u-ой строке матрицы планирования;

- значение зависимой переменной, рассчитанное по модели (1) для u-ой строки матрицы планирования;

- адекватность модели регрессии проверяется по критерию Фишера:

(5)

Если расчетное значение F меньше табличного значения критерия Фишера, выбранного для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы f_r и f_y, то полученная модель считается адекватной;

- значимость коэффициентов регрессии проверяется по критерию Стьюдента:

(6)

Расчетное значение сопоставляется с критическим значением критерия Стьюдента, выбранным для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы, с которым была определена ошибка эксперимента . Если расчетное значение критерия больше критического, коэффициент регрессии считается значимым.

Незначимые коэффициенты отбрасываются без повторного пересчета значимых коэффициентов регрессии, так как матрица планирования ортогональная.

Если хотя бы один коэффициент регрессии при парном взаимодействии будет значимым, то в этом случае отвергается гипотеза линейности регрессионной модели.

Пример

Объект исследования задан математической моделью вида

y=200-4*(x₁-5)²-4*(x₂-5)²-4*(x₃-5)²+e . (7)

В заданном интервале варьирования переменных (табл.2) изучаемый объект может описываться линейной моделью.

Таблица 2 – Интервалы варьирования переменных

Факторные переменные	х1	х2	х3
Основной уровень "0"	8	8	8
Шаг варьирования Δxi	1	1	1
Верхний уровень +1	9	9	9
Нижний уровень -1	7	7	7

Имеем дело с тремя независимыми переменными и каждую из переменных варьируем на двух уровнях, условно обозначаемых +1 и -1. Все возможные комбинации для трех факторов, варьируемых на двух уровнях, будут исчерпаны, если поставить восемь опытов. Матрица планирования эксперимента с наложением ошибок измерений «е», описываемых нормальным законом распределения с дисперсией, равной =1, приведена в таблице 3.

Таблица 3 – Матрица планирования эксперимента с наложением

ошибок измерений

Примечание: При расчете зависимой переменной «у» по формуле (7) вместо кодовых обозначений факторных переменных подставлялись соответствующие им фактические значения из таблицы 2.

По формуле (3) вычисляем коэффициенты уравнения регрессии:

b₀ = 80,057; b₁ = -23,68; b₂ = -24,28; b₃ = -23,93.

В результате модельного эксперимента получено уравнение регрессии, в котором факторные переменные представлены в кодированном виде:

y = 80,057 – 23,68x₁ - 24,28 x₂ – 23,93 x₃ . (8)

Проведем исследование уравнения регрессии, полученного с помощью полного факторного эксперимента.

1) Дисперсия погрешностей коэффициентов регрессии, вычисленная по формуле (3), равна:

2) Проверяем значимость коэффициента регрессии b₁ по критерию Стьюдента (6):

Критерий Стьюдента, выбранный для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы 7, равен t=2,36.

Расчетное значение критерия больше критического, что подтверждает значимость коэффициент регрессии b₁. Проверка остальных коэффициентов подтвердила их значимость.

По матрице планирования были вычислены коэффициенты парных взаимодействий, которые приняли значения b₁₂= 0,428; b₁₃= 0,303. Проверка по критерию Стьюдента показала их статистическую незначимость.

Незначимые коэффициенты отбрасываются без повторного пересчета значимых коэффициентов регрессии, так как матрица планирования ортогональная.

3) Коэффициенты при независимых переменных указывают на силу влияния фактора. Чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор. Коэффициенты в уравнении регрессии (8) имеют знак минус, что указывают на обратную связь между факторами и зависимой переменной. Величина коэффициента соответствует вкладу данного фактора в величину зависимой переменной при переходе фактора с нулевого на верхний или нижний уровень.

4) Для определения остаточной суммы квадратов модели по уравнению регрессии (8) вычисляются значения зависимой переменной для всех строк матрицы планирования. Результаты вычислений записаны в последнем столбце таблицы 3. Остаточная сумма квадратов модели, рассчитанная по формуле (4), составила величину

5) Адекватность модели регрессии проверяется по критерию Фишера:

Табличное значение критерия Фишера, выбранное для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы f_r=(8-3-1)=4 и f_y=7 равно F_кр=4,12. Расчетное значение F меньше F_кр, поэтому полученная модель (8) считается адекватной.

3. Порядок выполнения лабораторной работы

1) Ознакомиться с методикой планирования полного факторного эксперимента и анализом полученного уравнения регрессии.

2) Получить у преподавателя вариант задания.

3) Составить матрицу планирования полного факторного эксперимента.

4) Реализовать модельный эксперимент, вычислить коэффициенты уравнения регрессии.

5) Исследовать уравнение регрессии, полученного с помощью полного факторного эксперимента:

- оценить дисперсию погрешностей коэффициентов регрессии;

- проверить значимость коэффициентов регрессии при линейных членах и парных взаимодействиях факторов;

- определить остаточную сумму квадратов модели регрессии;

- оценить адекватность модели регрессии.

6) Сделать выводы по результатам модельного эксперимента.

7) Оформить отчет по выполненной работе.

4. Содержание отчета по лабораторной работе

1) Название, цель работы и номер варианта задания.

2) Математическая модель объекта и интервалы варьирования переменных.

3) Матрица планирования эксперимента с наложением ошибок измерений.

4) Вычисления коэффициентов уравнения регрессии, оценка дисперсии погрешности коэффициентов уравнения регрессии.

5) Проверка значимости линейных и парных коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента.

6) Расчетное определение остаточной суммы квадратов модели. Оценка адекватности модели.

7) Выводы по результатам выполненной лабораторной работы.

5. Контрольные вопросы

1) Что называется полным факторным экспериментом?

2) Какова процедура поиска коэффициентов линейной модели?

3) Как численно оцениваются эффекты взаимодействия?

4) В чем состоит исследование уравнений регрессии, полученных с помощью полного факторного эксперимента?

5) Как оценивается дисперсия погрешностей коэффициентов регрессии и их значимость?

6) Как рассчитывается остаточная сумма квадратов модели и проверяется адекватность линейности регрессионной модели?

6. Список литературы

1. В.В. Налимов, Н.А. Чернова. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. Изд. «Наука», Москва, 1965. – 340с.

2. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учеб. для вузов-3-е изд., перераб. и доп. –М.:Высш. Шк.., 2001.-343с. ISBN 5-06-003860-2.

7. Варианты индивидуальных заданий

Освоить методику проведения полного факторного эксперимента и исследование уравнений регрессии на модели объекта.