Материал: 4626

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется зависимая переменная при изменении фактора Х _j на один процент. Однако он не учитывает степень колеблемости факторов.

Бета-коэффициент показывает, на какую часть величины средне­го квадратичного отклонения S_y изменится зависи­мая переменная Y с изменением соответствующей независимой пере­менной Х_j на величину своего среднеквадратичного отклонения при фиксирован­ном на постоянном уровне значении остальных независимых пере­менных.

Указанные коэффициенты позволяют упорядочить факторы по степени их влияния на зависимую переменную.

Долю влияния фактора i в суммарном влиянии всех факторов мож­но оценить по величине дельта - коэффициентов  (j):

(13)

где - коэффициент парной корреляции между фактором х _j (j = 1,...,m) и зависимой переменной y.

Одной из целей моделирования является прогнозирование поведения исследуемого объекта. При использовании модели для прогнозирования делается предположение о сохранении в период прогнозирования существовавших ранее взаимосвязей переменных.

Для того чтобы определить область возможных значений резуль­тативного показателя, при рассчитанных значениях факторов следует учитывать два возможных источника ошибок: рассеивание на­блюдений относительно линии регрессии и ошибки, обусловленные математическим аппаратом построения самой линии регрессии. Ошибки первого рода измеряются с помощью характеристик точ­ности, в частности, величиной S_ε. Ошибки второго рода обусловле­ны фиксацией численных значений коэффициентов регрессии, в то время как они в действительности являются случайными, нормально распределенными величинами.

Для линейной модели регрессии доверительный интервал рассчи­тывается следующим образом. Оценивается величина отклонения от линии регрессии (обозначим ее U):

(14)

где

Пример. Построить модель для предсказания объема реализации одного из продуктов фирмы. Объем реализации – это зависимая переменная Y (млн. руб.) В качестве независимых, объясняющих переменных выбраны: время - X₁, расходы на рекламу X ₂ (тыс. руб.), цена товара X₃ (руб.), средняя цена товара у конкурентов X₄ (руб.), индекс потребительских расходов X₅ (%) [1].

Статистические данные по всем переменным приведены в таблице 1. В этом примере n = 16, m = 5.

Таблица 1- Данные объема реализации одного из продуктов фирмы

1) Осуществим выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели. Для этого проведем корреляционный анализ данных (таблица 2):

Таблица 2 - Результат корреляционного анализа.

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции (табл.2) показывает, что зависимая переменная, т.е. объем реализации имеет тесную связь с индексом потребительских расходов (r_yx5= 0.816), с расходами на рекламу (r_yx2 = 0.646) и со временем (r_yx1 = 0.678). Однако факторы Х₂ и Х₅ тесно связаны между собой (r _{х 1x5} = 0.96), что свидетельствует о наличии мультиколлинеарности. Из этих двух переменных оставим в модели Х₅ - индекс потребительских расходов. После исключения незначимых факторов n = 16, k =2.

2) Оценим параметры регрессии по методу наименьших квадратов. Расчеты произведем в программе EXCEL (таблицы 3 – 6):

Таблица 3- Регрессионная статистика.

Таблица 4 – Дисперсионный анализ

Таблица 5 – Коэффициенты модели

Уравнение регрессии зависимости объема реализации от затрат на рекламу и индекса потребительских расходов можно записать в следующем виде: y = -1471,314 + 9,568х₁ + 15,754х₂.

Таблица 6 – Вывод остатка

3

Коэффициент множественной корреляции равен R=0,927. Он показывает тесноту связи зависимой переменной Y с двумя включенными в модель объясняющими факторами.

4) Проверку значимости уравнения регрессии произведем на основе вычисления F_рас - критерия Фишера. Расчетное значение критерия равно 39,639. Табличное значение F_табл- критерия при доверительной вероятности 0,95 при f₁= k =2 и f₂=n – k -1= 16 – 2 - 1=13 составляет 3,81. Поскольку F >F , уравнение регрессии следует признать адекватным.

5) Оценим с помощью t - критерия Стъюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии. Расчетные значения t – критерия приведены в таблице 5. Табличное значение t-критерия при 5% уровне значимости и степенях свободы (16-2-1=13) составляет 2,16. Так как |t |>t , то коэффициенты a₁, а и существенны (значимы).

6) Проанализируем влияние факторов на зависимую переменную по модели (для каждого коэффициента регрессии вычисляем коэффициент эластичности Э,  - коэффициенты.

9,5689,294/306,813=0,2898; 15,7529107,231/306,813=5,506;

9,5684,913/102,865=0,457; 15,75294,5128/102,865=0,691.

7) Определим точечный и интервальный прогнозные оценки объема реализации на два квартала вперед (t_0,7 = 1,12). Исходные данные представлены временными рядами, поэтому прогнозные значения , и , можно определить с помощью методов экспертных оценок, с помощью средних абсолютных приростов или вычислить на основе экстраполяционных методов.

Для фактора Х₁ «Затраты на рекламу» выбрана модель:

Х₁ = 12,83-11,616t +4,319t² –0,552t³+0,020t⁴-0,0006t⁵,

по модели получаем прогноз на 2 месяца вперед. График модели временного ряда «Затраты на рекламу» приведен на рисунке 1.