Материал: 5479

41

-оптимальное решение не меняется от увеличения каждого элемента матрицы на постоянное число;

-оптимальное решение не меняется при добавлении новых систем, если среди них нет более эффективных;

-если две системы являются оптимальными, то их вероятностная смесь также оптимальна.

В зависимости от предпочтений ЛПР в неопределённых операциях используются критерии среднего выигрыша, Лапласа, осторожного наблюдателя (Вальда), максимакса, пессимизмаоптимизма (Гурвица), минимального риска (Сэвиджа).

3.6.Метод анализа иерархий

Метод анализа иерархий используется для оценки последствий принимаемых решений в иерархических системах планирования. Сами системы состоят из специфических элементов: фокус иерархии, акторы, цели, политики, исходы и общий исход. В фокусе иерархии отражается общая цель; акторы – это действующие силы, влияющие на исходы; цели – желаемые пределы или величины в планируемом решении; политики – разрешённые средства достижения целей; исходы – потенциальные состояния системы (после применения политик). Обобщённый исход интегрирует значения отдельных исходов и определяет оценки.

Общая структура метода анализа иерархий может включать несколько иерархических уровней, для каждого из которых определены свои критерии. Сложность метода заключается в определении весовых коэффициентов для оценки альтернатив. Если на данном уровне иерархии имеется к критериев, то требуется матрица парных сравнений к-ого порядка. В ней отражаются суждения ЛПР относительно важности каждого из этих критериев. Для сравнения используются числа от 1 до 9. Если критерии одинаково важны, то соответствующий элемент матрицы равен 1 (т.е. все диагональные элементы в матрице равны 1). Оценка 5 ставится, если критерий значительно важнее другого критерия, а оценка 9 – для чрезвычайно важного по сравнению с другим. Остальные числа используются как промежуточные оценки важности. Согласованность этих оценок обеспечивается

42

требованием, чтобы симметричный элемент матрицы равнялся обратному числу, т.е. если

А мк = 3, то А км = 13 .

Для того чтобы полученную матрицу можно было использовать в методе, её следует нормализовать и проверить на согласованность. Если в нормализованной матрице получились одинаковые столбцы, то результирующие относительные веса не зависят от того, как выполнялось сравнение (матрицы 2х2 всегда согласованы).

Поскольку матрицы получаются на основе человеческих суждений, то столбцы в них обычно различные и требуется проверка на допустимый уровень рассогласованности. Условие согласованности матрицы

Ах = nх,

где х – собственный вектор матрицы А, n – собственное число матрицы А.

В методе анализа иерархий значения х и n находят приближённо, поэтому используется коэффициент согласованности

СR = CI /(RI) , CI = (n max – n)/ (n-1) , RI = 1,98 (n-2)/n.

Если CR≤ 0,1 , то уровень согласованности приемлемый и матрицу можно использовать для дальнейших расчётов; если CR> 0,1, то матрицу рекомендуется пересмотреть.

Пример метода анализа иерархий. Отделу кадров требуется выбрать сотрудника из трёх кандидатур К, Л, М, используя три критерия: собеседование С, опыт работы О и рекомендации Р. Известны матрицы парных сравнений. В матрице А сравниваются критерии С, О и Р. В матрице Ас сравниваются кандидатуры К, Л, М по критерию собеседования С, в матрице Ао сравниваются кандидатуры по критерию опыта работы О и в матрице Ар сравниваются кандидатуры по критерию рекомендации P.

43

Требуется выполнить выбор кандидатуры, используя метод анализа иерархий. Структура задачи изображена на рисунке 3.

на согласованность. Рассмотрим подробно нормализацию и проверку на согласованность матрицы А. Для каждого столбца матрицы А посчитаем

сумму его элементов и в нормализованной матрице N A в качестве элемен-

тов запишем отношение каждого элемента к сумме элементов столбца, в котором он находится. Для первого столбца сумма равна 5,5 (1+ ½ +4) и, переходя к десятичным дробям, получаем элементы первого столбца:

0,181; 0,09; 0,729.

45

0,181 0,25 0,17

0,729 0,625 0,69

цы. Поскольку полученные столбцы матрицы N A существенно отличают-

ся друг от друга, то требуется проверка матрицы на согласованность. Для этого вычисляем w (среднее значение в строчке).

wс = (0,181 + 0,25 +0,17)/3 = 0,2; wо = 0,12 и wр = 0,68.

Далее находим произведение матрицы А и вектора w. Координаты по-

лученного вектора (0,58; 0,35; 2,08) определяют

n max = 3,01 (0,58 + 0,35 + 2,08), CI = (3,01 – 3)/2 = 0,005, RI = 1,98/3 = 0,66 и CR = 0,005/ 0,66 = 0,0076.

Полученное значение 0,0076 меньше 0,1, значит, матрица А согласо-

ванная. Для матриц Ас, Ао и Ар необходима аналогичная проверка, поскольку их нормализованные матрицы имеют разные столбцы.

Для матрицы Ас имеем n max = 3,13 и вектор (0,66; 0,08; 0,26); для матрицы Ао имеем n max =3,15 и вектор (0,16; 0,53; 0,31); для матрицы Ар имеем n max = 3,12 и вектор (0,2; 0,33; 0,47). На основании этих значений матрица Ао имеет CR = 0,113 и, так как CR больше 0,1, то матрицу Ао требуется откорректировать. В данном примере вычисления продолжаются с исходной матрицей. Чтобы определить лучшую по данным критериям кандидатуру следует выбрать кандидата, набравшего максимальную оценку, зависящую от рассчитанных весовых коэффициентов.

К: 0,2*0,66+0,68*0,2+0,12*0,16 = 0,27

Л: 0,2* 0,08+ 0,68*0.33+0,12*0,53 = 0,29

М: 0,2* 0,26+ 0,68*0,47+ 0,12*0,31 = 0,43.