Материал: 5691

3.1.Определение предела последовательности…..…………………....34

3.2.Бесконечно большие последовательности…..…………………….38

3.3.Бесконечно малые последовательности и их свойства……..…….41

3.4.Основные свойства сходящихся последовательностей……..…....46

3.5.Предел суммы, произведения, частного и

степенно-показательного выражения…………………………….48

3.6. Особые случаи и неопределённые выражения…..………………..50 3.7. Предельный переход в равенстве и неравенствах…..........……….54

3.8.Пределы монотонных последовательностей………..…………….56

3.9.Принцип стягивающихся отрезков…………..…………………….59

3.10. Число Эйлера е ………………………..…………………………...60

3.11.Некоторые приложения понятия предела……..…………………65 3.12. Определение и основные свойства

подпоследовательностей………………………………………....66

3.13. Критерий Коши………………………………………………….....69 Упражнения………………………………………………………71

Глава 4. Арифметическое n-мерное пространство…………………………....79

4.1.Определение арифметического n-мерного пространства..……….79

4.2.Последовательности точек пространства Rn и их пределы…..….83

4.3.Некоторые геометрические вопросы пространства Rn ………...…88

4.4.Ограниченные, открытые, замкнутые, связные и

выпуклые множества в пространстве Rn………………………..92

Упражнения………………..……………………………………….100

4

Введение

Учебное пособие соответствует государственному стандарту дисциплины «Математический анализ» для студентов специальности «Математические методы в экономике». Оно может быть использовано для экономических специальностей с углубленным изучением общего курса математики (экономическая теория, антикризисное управление, экономика труда, статистика).

Впособии подробно изложена теория пределов последовательностей

водномерном и n-мерном арифметических пространствах. Имеются некоторые приложения, в том числе экономического содержания. Теоретические положения и выводы иллюстрируются n примерами. Имеется значительный набор упражнений для закрепления изучаемого материала на практических занятиях и при самостоятельной работе.

Фактически пособие является введением в математический анализ, и будет применяться в теории пределов функций одной и многих переменных, в теории рядов, дифференциальном и интегральном исчислениях.

5

Глава 1. Множества

В математике при формулировке определений и теорем используют-

ся слова «существует», «существует единственный», «для любого» и др.;

для краткости записи вместо этих слов будем использовать логические символы (знаки):

–существует, найдётся;

!– существует единственный;

–любой, всякий, каждый;

–следует, влечёт за собой;

–равносильно, тогда и только тогда, необходимо и достаточно;

–принадлежит;

Одним из исходных и неопределяемых понятий в математике является понятие множества. Создатель теории множеств Георг Кантор дал следующее определение: «Множество (совокупность, семейство) – это собрание определённых и различных объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое в качестве целого. Объекты, составляющее множество, называются его элементами».

Запись x X означает, что элемент x принадлежит множеству X ( x входит в множество X ). Определённое (конкретное) множество будет считаться заданным, если относительно любого элемента (объекта, предмета) верно одно и только одно их двух утверждений: либо этот элемент входит в данное множество, либо не входит (элемент не принадлежит этому множеству).

Множества задаются двумя способами: либо с помощью перечисления элементов данного множества, либо с помощью указания характеристического свойства элементов этого множества. Множество X , состоящее из элементов x , обладающих свойством P , обозначается

Множество называется конечным, если можно говорить о числе его элементов, т.е. если количество элементов можно выразить каким-то целым положительным числом. В противном случае оно называется бесконечным множеством. У пустого множества число элементов равно нулю.

Определение 1. Множество X называется подмножеством множе-