Документ: 5691, страницы 11-15 | База учебных материалов

11

чением – множество X Y 3, 4, 5, 6 . Все эти множества конечны,

ограничены, имеют точные нижние и точные верхние границы (укажите их).

Пусть X	1, 6 , Y 3, 8 . Объединением этих множеств является
отрезок X Y	1, 8 , а пересечением – отрезок X Y 3,6 . Все эти

множества бесконечны, ограничены, имеют точные границы. Например, inf X Y 3, sup X Y 6 . Читателю рекомендуем сделать изображение этих множеств на координатной прямой.

Обратимся к рассмотренным выше множествам N и Z. Оба множества бесконечны. Множество натуральных чисел ограничено снизу, а сверху не ограничено. Любые числа m 1 будут его нижними границами, при

этом inf	1; sup	. Множество целых чисел не ограничено ни
снизу, ни сверху; inf		, sup	.
Все промежутки a,b		являются ограниченными множествами. Точ-

ной нижней границей любого такого промежутка является число a , а точной верхней границей – число b .

Все числовые лучи являются неограниченными множествами. Дополнительные вопросы по этим множествам будут поставлены в упражнениях.

Метод математической индукции

Метод математической индукции является одной из форм математического рассуждения и позволяет доказывать тождества и неравенства, одна или обе части которых зависят от натурального числа n .

В основу метода математической индукции положены аксиомы Д. Пеано:

1) для каждого натурального числа n существует одно и только одно следующее за ним натуральное число n 1;

2)единица является натуральным числом, причём она не следует ни за каким натуральным числом;

3)ни одно натуральное число не следует за двумя различными натуральными числами;

4)если множество A содержит единицу и вместе с каждым числом

k содержит следующее за ним число k	1, то множество A содержит все
натуральные числа.
Пример 1. Докажем методом математической индукции, что для всех
n 1 верно равенство
1 2 n		n(n 1)	.
1 2 n	2		.
	2

12

Первым этапом проверим утверждение для n

1.

Действительно,

1

1(1 1)

.Вторым этапом предположим, что равенство справедливо при

2

n k . Для упрощения выкладок введём обозначение

S(k) 1

2 k , тогда выполняется

S(k)

k(k

1)

.

2

Третьим этапом докажем, что исходное равенство верно и для

n k

1,

т.е.

S(k

1)

(k

1)(k

2)

.

2

Действительно,

S(k 1) 1 2 k (k 1) S(k) (k 1)

k(k 1)

(k 1)

(k

1)(k

2)

,

2

что и требовалось доказать.

Пример 2. Доказать, что

для любых n

положительных

чисел

y1,

y2 ,...,

yn , удовлетворяющих условию

y1y2 ...yn

1,

(1.3)

имеет место соотношение

y1

y2

... yn

n.

(1.4)

Решение. При

n 1 из условия (1.3) следует, что

y1

1. Поэтому

соотношение (1.4) выполнено.

Пусть при n

k из условия (1.3) следует соотношение (1.4) и пусть

k

1 положительных чисел

y1,

y2 ,...,

yk ,

yk

1 удовлетворяют усло-

вию (1.3). Докажем, что для них выполнено соотношение (1.4). Если все эти числа равны 1, то их сумма равна k 1и соотношение (1.4) имеет место. Если же среди указанных чисел есть хотя бы одно, отличное от 1, то обязательно найдётся ещё одно число, не равное 1. При этом если одно число больше 1, то другое меньше 1. Не умаляя общности, предположим, что yk 1, yk 1 1. Произведение k чисел y1, y2 ,..., yk 1, yk , yk 1

в силу условия (1.3) равно 1. Поэтому по индуктивному предположению

y1	y2 ...			yk	1	yk yk	1	k.
Отсюда получаем
y1 y2	...	yk	1	yk yk		1 k		yk yk	1,
или
y1 y2 ...	yk	1	k	1	yk	yk	1	yk yk	1 1

13

k	1 (1 yk 1)( yk	1)	k 1,
т.е. соотношение (1.4)	выполнено при n	k	1. Таким образом, для лю-

бых n положительных чисел, удовлетворяющих условию (1.3), выполнено соотношение (1.4).

Упражнения

1.Укажите конечные и бесконечные из перечисленных множеств:

1)множество всех студентов данного факультета;

2)множество всех пятикурсников этого факультета;

3)множество корней многочлена данной степени;

4)множество параллелограммов на плоскости;

5)множество ромбов на плоскости;

6)множество чётных чисел;

7) множество решений неравенства х2

25 0;

8)множество зёрен на початке кукурузы;

9)множество натуральных чисел, кратных числу 3. Какие из этих множеств являются числовыми?

2. Следующие множества запишите с помощью перечисления их элементов:

1) множество корней уравнения х2

1 0 ;

2)множество нечётных чисел;

3)множество точек на координатной прямой, расстояние от которых до

начала координат равно r (например, r 5 ); 4) множество решений уравнения х 5 .

3.Следующие множества запишите с помощью характеристического свойства элементов указанного множества:

1)множество действительных чисел, абсолютная величина которых менее пяти;

2)множество действительных чисел, абсолютная величина которых не более пяти;

3)множество точек координатной прямой, расстояние от которых до точки M 1 не превосходит пяти;

4)множество точек координатной прямой, расстояние от которых до точки M 1 более пяти;

5)множество точек координатой прямой, расстояние от которых до точки M 1 не менее пяти.

4.Требуется расставить знаки включения , между следующи-

			14
ми множествами или частью из них: Z, N, I, Q, ,
a,b ,	a,b , a,b , a,	,	a,	, x R : x 2n, n	.
5.	Верны ли включения N	Z	Q	R?
6.	Верно ли включение X	X ?

7.Укажите равные среди следующих множеств:

1)множество N натуральных чисел;

2) множество чисел, удовлетворяющих равенству х 2 ;

3)множество нечётных чисел;

4)множество точек координатной прямой, расстояние от которых до начала координат меньше двух;

5)x : x 0 ;

6)2, 2 ;

7)	x	R :	x	2	;

8)	x	R :	x	2	;
9)	x	R : x		2n	1, n	;

10)	x R :	x	2 ;
11)	интервал		2, 2 ;
12)	отрезок		2, 2 .

8.Является ли пустым множество 0 ?

9.Что можно сказать о множестве действительных решений уравне-

ния х2 1 0 ?

10. Найдите объединение и пересечение следующих множеств:

1)	X	2,	1,	0, 1,	2 ,Y	1, 0, 1 ;
2)	X	3, 5, 7 , Y			1, 3, 5, 7, 9 ;
3)	X	2, 4, 6 , Y			1, 3, 5 ;
4)	X	5 , Y		5, 10, 15 ;
5)	X	0, 1	, Y	0, 1 ;
6)	X	1, 3, 5,..., 2n			1, ... , Y	2, 4, 6,..., 2n, ... , n N;
7)	X	5, 15 , Y		8, 12 ;
8)	X	3, 6	, Y	1, 10 ;

15

9) X		2, 10 , Y		5, 15 ;
10)	X	5, 5 ,	Y	0,	; ;
11)	X	0, 3 , Y		1, 2 ;
12)	X	10, 15 ,	Y	1, 5 ;
13)	X	1, 4 , Y		3, 8	;
14)	X	,0 ,	Y	0,	.

11. Найдите объединение и пересечение множеств:


1)	отрезка	a, b и интервала a, b ;
2)	отрезка	a, b и полуотрезка					a, b ;
3)	отрезка	a, b и полуотрезка					a, b ;
4)	отрезка	a, b и луча			a,		;
5)	отрезка	a, b и луча			a,		;
6)	интервала		a, b	и луча		a,	;
7)	интервала		a, b	и луча		a,	;

8)отрезка a, b и a, b ;

9)интервала a, b и a, b .

12.Что представляет собой пересечение множества рациональных с множеством иррациональных чисел?

13.Верны ли равенства

1)	X Y		Y X ,	2) X Y	Y X ?
	14.	Верны ли следующие утверждения:
1)	X X		X ;		2) X X X ;
3) если X			Y , то X Y	Y ;	4) если X	Y , то X Y			X ?
	15.	Выясните, какие из десятичных дробей выражают рациональные
числа и			какие – иррациональные числа:			2,999...	;	3,000...	; 0,333	...;
2,71888...			; 0,12345678910111213...; 4,172737...;5,121212...				;	2,7182818284590...		;

3,14159... Рациональные из этих чисел запишите в виде обыкновенных дробей.

16.Что можно сказать о парах следующих чисел:

1)0,5000... и 0,4999...;

2)4,3000... и 4,2999...;

Материал: 5691

Смотрите также: