Материал: 5856
36
Третья причина обусловлена тем, что, в соответствии с теорией преоб-
разований Фурье, любая функция конечной длительности во времени имеет бесконечно широкий спектр и наоборот. Поэтому, даже если исходное со-
общение u(t) имело ограниченный спектр 0...FB, но из бесконечной серии его отсчетов, взятых с шагом t = 1/2FВ, по линии связи была передана конечная последовательность, состоящая из n отсчетов, при восстановлении отрезка сигнала u(t), даже на интервале его передачи, возникнет ошибка.
Фактически, при передаче отрезка сигнала нарушены требования теоремы отсчетов. Рис. 2.4. иллюстрирует приемы точного анализа величины ошибки. Грубо величину ошибки можно определить по формуле
2 1 n, |
(2.14) |
которая для статистически стационарного сигнала при n >> 1 дает вполне удовлетворительную точность.
Очевидно, что в реальных условиях неизбежно совместное появление ошибок всех видов, поэтому частоту квантования Fк выбирают с некоторым запасом. Например, стандартный аналоговый телефонный сигнал занимает полосу частот 300...3400 Гц, а стандартная частота квантования для него установлена Fк = 8000 отсчетов/с.
2.5 Модуляция импульсной несущей аналоговым сигналом
В результате квантования по времени непрерывная функция u(t) заменяется последовательностью отсчетов. В итоге сообщение становится дискретным во времени, но каждый из отсчетов является реализацией непрерывной случайной величины.
Существуют три основных метода аналоговой передачи последовательности отсчетов.
Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ): передаваемый сигнал есть периодическая последовательность прямоугольных импульсов, следующих с периодом t и имеющих одинаковую длительность τ, но амплитуда каждого импульса пропорциональна значению передаваемого сообщения (отсчета) в соответствующий момент времени (рис. 2.6).
При широтно-импульсной модуляции (ШИМ) амплитуда импульсов не меняется, но длительность каждого импульса пропорциональна значению соответствующего отсчета. На практике более удобна односторонняя ШИМ (ОШИМ), когда длительность каждого импульса изменяется за счет сдвига одного фронта, например заднего, а положение переднего фронта всегда совпадает с тактовым моментом времени (моментом взятия отсчета).
При время-импульсной модуляции (ВИМ) амплитуды и длительности импульсов постоянны, а задержка каждого импульса относительно тактового момента времени пропорциональна величине отсчета.
37
Разновидности АИМ, ШИМ и ВИМ, а также формы спектров таких сигналов детально рассматриваются, например, в [11]. Теоретически спектр каждого из сигналов бесконечно широкий, и приходится ограничивать полосу передаваемых частот интервалом 0...fс, где fс≈(2...4)/Δt. При уменьшении fс увеличивается длительность фронтов импульсов, это затрудняет измерение информационного параметра (амплитуды, длительности или задержки импульса).
Универсальный метод демодуляции – это использование ФНЧ с часто-
u(t)
0
t
АИМ
0
t
ОШИМ
0
t
ВИМ
0
t
Рис. 2.6. Передаваемое сообщение u(t) и сигналы с АИМ, ОШИМ, ВИМ
той среза |f|>Fв. Из энергетических соображений сигнал с ВИМ перед демодуляцией обычно предварительно преобразуют в сигнал с ОШИМ.
В настоящее время перечисленные методы передачи используются сравнительно редко. Предпочтение отдается цифровым методам, когда значение каждого отсчета представляется в виде комбинации из k двоичных символов.
2.6 Аналого-цифровое и цифроаналоговое преобразования
Цель аналого-цифрового преобразования (АЦП) – заменить непрерывную функцию u(t) последовательностью М-ичных символов.
38
АЦП осуществляется в два этапа. Первый этап – это квантование во времени непрерывного сигнала u(t) (разд. 2.4). В результате получается последовательность импульсов-отсчетов, следующих с шагом t (рис. 2.3в).
Второй этап – это оцифровка каждого отсчета. Подготовка к этой операции заключается в следующем. Диапазон возможных значений напряжений (umin, umax) делится на М интервалов длиной
u (umax umin ) M |
(2.15) |
каждый. Величина u называется шагом квантования по уровню (рис. 2.7). Далее интервалы нумеруют М-ичными цифрами снизу вверх, начиная с цифры 0.
N2 |
NM |
uj u(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
umax |
|
|||
111 |
7 |
|
u7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
110 |
6 |
|
u6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
101 |
5 |
|
u5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
4 |
|
u4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
011 |
3 |
|
u3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
010 |
2 |
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
001 |
1 |
|
u1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
000 |
0 |
|
u0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
umin |
|
M-ичные |
3 |
2 |
0 |
5 |
7 |
6 |
1 |
t |
|||||||||
|
|||||||||||||||||
Двоичные |
011 |
010 |
000 |
101 |
111 |
110 |
001 |
|
|||||||||
Рис. 2.7. Пример аналого-цифрового преобразования непрерывного сигнала u(t) для М=8 (к=3)
Для оцифровки очередной импульс-отсчет ”прикладываем” к шкале и заменяем его М-ичной цифрой NM, равной номеру того интервала, в который попала вершина импульса. В итоге, вместо серии, состоящей из n отсчетов, передается последовательность М-ичных цифр длиной n.
Поскольку в технике наиболее часто для передачи используются двоичные символы, то значение М выбирают по формуле
M 2k , |
(2.16) |
и номер очередного интервала передается в виде k-разрядной двоичной комбинации (N2 на рис.2.7). В итоге количество передаваемых символов-цифр увеличивается в k раз.
Обратное, т.е. цифроаналоговое преобразование (ЦАП) также прово-
дится в два этапа.
Первый этап – это формирование импульсов, соответствующих каждой М-ичной цифре (или k-разрядной комбинации при передаче двоичных символов). В качестве подготовки к этой операции внутри каждого из М интервалов выбирается точка. Обычно она соответствует центру интервала – это точки u0, u1, …, uM-1 на рис.2.7. Тогда амплитуда очередного импульса, соответствующего цифре j, устанавливается равной uj. Таким образом, в итоге проводится округление значения каждого отсчета.
39
Ошибка такого округления e = u – uj, где u – истинное значение отсчета. Если шаг квантования u достаточно мал (соответственно, число интервалов М велико), величина случайной ошибки е имеет почти равномерное распределение в интервале ширины u, поэтому среднеквадратическое значение ошибки квантования по уровню равно
|
|
|
(2.17) |
k u ( 2 3). |
|||
Второй этап ЦАП – это преобразование серии импульсов-отсчетов в непрерывную функцию – проводится как обычно (разд. 2.4) при помощи ФНЧ с прямоугольной частотной характеристикой.
Такое квантование по уровню, когда все М интервалов имеют одинаковую длину (2.15), называется равномерным и является наиболее простым в техническом отношении. При фиксированном значении М эта процедура обеспечивает минимальное значение среднеквадратической ошибки квантования лишь для таких сигналов u(t), у которых величина напряжения равномерно распределена в интервале (umin, umax). Реальные сигналы, такие как звуковой, характеризуются распределением вероятностей, имеющим узкий центральный пик и длинные “хвосты” (рис.2.8).
Для таких сигналов предпочтительней неравномерное квантование по уровню, когда длины интервалов берут меньшими в области наиболее вероятных значений напряжения и увеличивают их в области малых вероятностей.
W(u)
0 
u
Рис. 2.8. Распределение вероятностей уровня сигнала и шкала неравномерного квантования
Тот же эффект достигается более простыми техническими средствами. Сначала сигнал u(t) подвергают компрессии по уровню, т.е. пропускают через устройство, амплитудная характеристика которого линейна лишь в области малых значений входного напряжения, а при других значениях описывается логарифмической кривой (рис.2.9). В итоге распределение напряжения сигнала на выходе компрессора становится существенно ближе к равномерному.
uвых
0 uвх
Рис. 2.9. Амплитудная характеристика компрессора
40
После компрессии проводят стандартную процедуру АЦП с равномерным квантованием. В пункте приема, после стандартного ЦАП следует провести обратное нелинейное преобразование, хотя, как показывает практика, нередко можно обойтись и без него.
Для проведения АЦП телефонного сигнала используют стандартные значения параметров: Fк=8000 отсчетов/с, k=8 бит/отсчет, т.е. М=256. В итоге получается стандартный цифровой телефонный сигнал, который характеризуется скоростью цифрового потока на выходе АЦП, равной
V=8000 8=64 кбит/с [2,6].
Серия двоичных импульсов, получаемая в результате такого преобразования телефонного сигнала, называется сигналом с импульсно-кодовой мо-
дуляцией (ИКМ).
При записи музыкальных произведений на компакт-диск значения этих параметров равны: Fк=44100 отсчетов/с, k=16 бит/отсчет, т.е. М=65536, V=705,6 кбит/с.
2.7 Линейная цифровая фильтрация и генерирование последовательностей символов
На вход цифрового фильтра подается сколь угодно длинная последовательность чисел …, uj, uj+1,…, а на выходе формируется последовательность чисел …, vj, vj+1,…, синхронная во времени с входной последовательностью. В линейном фильтре очередной выходной символ vj получается в результате линейной операции, проводимой с входными символами …uj-1, uj, поступившими к данному моменту.
Для описания последовательностей чисел удобно использовать поли-
номы
..., u j , u j 1, u j 2... |
|
|
|
|
|
|
||
u(x) ... u |
j |
x j u |
j 1 |
x j 1 |
u |
j 2 |
x j 2 |
...; |
|
|
|
|
|
(2.18) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
..., vj , vj 1, v j 2 ,...
v(x) ... vj x j vj 1 x j 1 vj 2 x j 2 ...
Вматематике то же самое представление применяют в виде z-
преобразования, которое получается из (2.18) путем формальной замены x = z–1.
Например, пусть начало последовательности на входе имеет следую-
щий вид: u0, u1, u2…=3, 5, 7, 1, 0, 1, …, тогда ей соответствует полином u(x) = 3 + 5x + 7x2 + x3 + x5 + ...
Трансверсальный фильтр r-го порядка (фильтр с конечной импульсной характеристикой) содержит r-разрядный регистр сдвига, управляемый последовательностью тактовых импульсов (ТИ), синхронных во времени с моментами поступления очередных входных символов. Ради наглядности на