Материал: 5856

41

схеме рис. 2.10 обозначения входных и выходных символов выстроены в порядке очереди, движущейся слева направо. Значения сомножителей g0, g1,…,gr, участвующих в операциях умножения, – это константы, задаваемые заранее, а сумматор (∑) проводит обычное арифметическое суммирование.

Из схемы видно, что очередной символ выходной последовательности вычисляется по формуле

которая в дискретной форме задает операцию свертки отсчетов входного

…vj+1,vj…

Рис. 2.10. Трансверсальный цифровой фильтр

Ради удобства все эти отсчеты обычно нормируют, т.е. умножают на постоянное число так, чтобы было g0=1.

Легко проверить, что соотношение между полиномами определяется формулой

где полином g(x) , коэффициенты которого равны отсчетам импульсной характеристики фильтра, называется его передаточной функцией. Пусть последовательности чисел …, uj, uj+1,… и …, vj, vj+1,… – это отсчеты двух непрерывных сигналов U(t) и V (t) с ограниченным спектром, полученные с шагом t, который удовлетворяет требованиям теоремы отсчетов. Тогда частотную характеристику K( ) непрерывного линейного фильтра, который преобразовывал бы сигнал U(t) в сигнал V (t) , можно получить из передаточной функ-

ции эквивалентного цифрового фильтра путем замены x exp(i t) .

Если число отсчетов сигнала на входе u0,…, ur конечно, то можно построить цифровой фильтр, согласованный с сигналом U(t) . Его импульсная характеристика является зеркальным отображением ряда отсчетов сигнала g0 ur , ... , gr u0 , и числовая последовательность на выходе фильтра совпадает с отсчетами автокорреляционной функции сигнала U(t) . Если же на вход фильтра поступает другой сигнал X (t) , то на выходе имеем отсчеты взаимнокорреляционной функции этих сигналов U(t) и X (t) .

42

Рекурсивный фильтр r-го порядка (фильтр с бесконечной импульсной характеристикой) отличается тем, что содержит цепи обратной связи.

Наиболее наглядно схему такого фильтра можно определить следующим образом. Потребуем, чтобы этот фильтр выполнял операцию, обратную операции (2.19), тогда каждый символ на выходе vj можно определять, решив систему уравнений вида

Видно, что фильтр, схема которого изображена на рис.2.11, выполняет именно такую операцию. Очевидно, что для полиномов справедливо соотношение

истинность которого при желании можно еще раз проверить, проводя деление полиномов столбиком.

Рис. 2.11. Рекурсивный цифровой фильтр

Итак, схема рисунка 2.10 соответствует операции умножения входного полинома на полином g(x), а схема рис. 2.11 – операции деления на g(x). Следовательно, последовательность g0, g1,…,gr не является отсчетами импульсной характеристики рекурсивного фильтра рис. 2.11. Чтобы найти эти отсчеты h0, h1,…, нужно вычислить соответствующий полином, проведя операцию деления

Очевидно, что эта последовательность будет иметь бесконечную длину, что и определяет название фильтра. Тогда вместо (2.23) можно использовать соотношение, подобное формуле (2.20)

ичных цифр (нулей или единиц). Во-первых, отпадает необходимость использования специальных элементов-перемножителей двух сигналов, по-

43

скольку умножение сигнала на 1 или 0 соответствует включению или выключению этого сигнала (есть проводник для подачи этого сигнала или его нет). Во-вторых, все операции суммирования двоичных чисел выполняются по модулю два.

И, наконец, имеется еще одно важное применение рекурсивного цифрового фильтра, то есть, регистра сдвига с обратными связями. Если вход фильтра отключить от источника сигнала (либо, то же самое, продолжить подавать серию нулей), то при поступлении очередного тактового импульса на выходе схемы будет появляться очередное число vj, то есть, на выходе фильтра будем иметь бесконечную числовую последовательность. Ее вид зависит от исходного состояния регистра. Если во всех ячейках были нули, то очевидно, что выходная последовательность никакого интереса не представляет, поскольку будет состоять из одних нулей. В противном случае на выходе получим ненулевую периодическую последовательность, то есть регистр сдвига с обратными связями превратился в генератор числовой последовательности.

Наибольший интерес, благодаря своим замечательным свойствам, вы-

зывают двоичные псевдослучайные последовательности (ПСП) максималь-

ной длины (М-последовательности). Первое название обусловлено тем, что при заданном количестве r ячеек в регистре сдвига (рис. 2.11) такая последовательность имеет максимально-возможный период (количество тактов, через которое вид последовательности в точности повторяется), и он равен

полиномов для r n k 11 даны в Приложении 1, а о некоторых их свойствах будет дополнительно сказано в разд. 3.5.

Итак, укажем основные свойства ПСП.

1)Периодичность (2.26) .

2)В любом отрезке последовательности, длина которого равна периоду, количество нулей и единиц почти одинаково (нулей на один меньше).

3)В любом отрезке последовательности, длина которого равна М+1, среди М пар типа 00, 01, 10, 11, образованных из рядом стоящих символов, каждый тип встречается почти одинаково часто (пара 00 встречается на один раз меньше, чем любая из трех остальных).

4)Такое же равенство частот наблюдается для всевозможных троек, четверок и т.д. соседних символов вплоть до r-разрядных комбинаций.

5)Если из бесконечной ПСП взять два М-разрядных отрезка, сдвинутых на произвольное число тактов, не кратное периоду М, то эти две конечные последовательности оказываются почти ортогональными: при попарном сравнении символов, стоящих на одинаковых позициях, количество совпадающих пар на одну меньше чем количество несовпадающих.

44

6) Спектр плотности мощности биполярного двоичного сигнала, переносящего значения элементов ПСП (0 – прямоугольный импульс положительной полярности, 1 – импульс отрицательной полярности той же длительности τ), имеет почти такую же форму, как спектр плотности мощности одиночного импульса. Автокорреляционная функция отрезка ПСП длиной в период М, совпадающая по форме с сигналом на выходе согласованного филь-

Рис. 2.12. Сигнал на выходе фильтра, согласованного с импульсным двоичным входным сигналом (сверху), заданным последовательностью вида:

–1, –1, –1, 1, –1, –1, 1, 1, –1, 1, –1, 1, 1, 1, 1

тра (рис. 2.12), имеет узкий центральный пик и малые боковые лепестки, то есть, имеет почти такой же вид, как автокорреляционная функция последовательности случайных независимых импульсов. Итак, ПСП обладает почти такими же свойствами, как длинная истинно случайная последователь-

ность, полученная, например, в результате многократного подбрасывания монеты. Обратите внимание на регулярное использование слова “почти”, ограничительный смысл которого тем меньше, чем больше период М. В то же время ПСП не является случайной, так как, зная схему генератора (производящий полином g(x)) и исходную двоичную комбинацию в регистре, мы можем предсказать ее значения на сколь угодно тактов вперед.

Такая последовательность детерминирована, но для постороннего наблюдателя обладает свойствами случайной последовательности, поэтому она нашла многочисленные применения, например, при кодовом разделении каналов (разд. 6.4).

2.8 Модуляция гармонической несущей цифровым сигналом

Простейший способ передачи в двоичном канале – это применение од-

нополярного двухуровневого кодирования без возврата к нулю, то есть без пауз между соседними символами, когда символу 1 соответствует прямоугольный импульс длительности τ, а символу 0 – пауза той же длительности (u(t) на рис. 2.13). Этот способ применяется во внутри- и межблочных соединениях в радиоэлектронной аппаратуре, а также при передаче сигналов по