Материал: 7. Тригонометрия
Обозначив
,
получим:
.
Корни это-го уравнения:
.
Вернемся к переменной х:
1)
.
Это уравнение решений не имеет.
2)
.
Корень этого уравнения, лежащий в
интервале
,
равен
Ответ
:
.
Пример 9.
Найти сумму
корней уравнения
,
если
.
Решение.
Так как
,
то исходное уравнение равносильно уравнению
а)
;
,
т.е.
,
63
При
получаем решение
из
заданного интерва-ла
.
При остальных значениях
соответствующие значения
не принадлежат промежутку
.
б)
;
;
,
В интервале
лежит только одно решение
заданного уравнения.
.
Ответ :
.
Пример 10. Сколько
корней имеет уравнение
в промежутке
?
Решение.
Умножим обе части уравнения на
:
.
Отсюда
;
,
.
;
.
При других значениях
соответствующие
значения
не принадле-
жат заданному отрезку.
Ответ:
2.
Пример 11.
Сколько корней имеет уравнение
в промежутке
?
Решение.
Так как
,
то данное уравнение можно записать в
виде
.
(1)
64
Решим
уравнение
.
Обозначив
,
получим
.
Корни этого уравне-ния:
.
Вернемся к переменной
.
а)
.
Это уравнение решений не имеет.
б)
.
.
Рассмотрим
эти две серии значений
отдельно.
1)
(3)
.
Так как
и
,
то
– решение системы (2).
.
Это значение
не является ре-
шением системы (2),
так как
.
65
При
остальных значениях
соответствующие значения
из (3) не принадлежат заданному интервалу.
2)
.
(4)
.
Так
как
и
,
то
– решение системы (2).
.
Это значение
не является решением системы (2), так как
.
При
остальных значениях
соответствующие значения
из (4) не принадлежат заданному интервалу.
Итак, исходное уравнение в интервале
имеет два
решения:
.
Ответ:
.
Пример 12. Решить
неравенство
Решение.
Перепишем исходное неравенство в
следующем виде:
.
(5)
Так как
при всех
,
то неравенство (5) равно-сильно неравенству
,
т.е.
.
Прямая
пересекает числовую окружность в точках
66
и
.
Неравенству
соответствуют точки открытой дуги
.
Дуга
– это дуга с началом в точке
и кон-цом в точке
при движении по окружности против
часовой стрелки.
Точка
соответствует числу
,
а точка
– числу
.
Итак, решения неравенства
,
принадлежащие
промежутку
длиной
,
таковы:
.
Вследствие
периодичности косинуса остальные
решения получаются прибавлением к
найденным чисел
,
где
.
Приходим
к ответу:
,
.
Ответ: , .
67
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Упростить выражение:
а)
;
(Ответ:
2)
б)
;
(Ответ:
0,75)
в)
;
(Ответ:
1)
г)
.
(Ответ:
1)
2. Вычислить:
а)
;
(Ответ:
3)
б)
;
(Ответ:
1)
в)
;
(Ответ:
– 2)
г)
;
(Ответ:
4)
д)
;
(Ответ:
4,5)
е)
;
(Ответ:
– 0,2)
ж)
.
(Ответ:
0,48)
68
3. Найти значение выражения:
а)
,
если
;
(Ответ:
7)