Курсовая работа (т): P-адические числа и операции над ними

P-адические числа и операции над ними

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Московский Педагогический Государственный Университет

Математический факультет

Кафедра алгебры

Курсовая работа

На тему: «P-адические числа и операции над ними»

Выполнила:

Добромыслова Татьяна Леонидовна

курс 1 группа

Научный руководитель:

Кандидат физико-математических наук,

Доцент кафедры алгебры

Фарукшин Владимир Хамзинович

Москва 2014г

Содержание

Введение

. Целые р-адические числа

2. Кольцо целых р-адических чисел

3. Дробные р-адические числа

. Объяснение р-адических чисел с помощью ввода новых математических объектов

. Примеры выполнения арифметических операций над р-адическими числами

Заключение

Список литературы

Введение

В моей курсовой работе цель исследования это - р-адические числа. Для каждого простого p существует нормирование на поле рациональных чисел, пополнение относительно которого называется p-адическими числами. Эти пополнения играют важную роль в теории чисел и смежных областях математики. Моей задачей будет объяснить, что же все-таки р-адические числа и какие операции можно производить над ними. Поскольку в учебниках и энциклопедиях они вводятся таким образом, что непосвящённому очень трудно понять, о чём идёт речь, то я вводя новые математические объекты, условно названные «квазибесконечными числами» и описывая некоторые их свойства, попытаюсь плавно перейти к р-адическим числам, попытаюсь более доступно описать их значимость в теории чисел и смежных математических областях.

1. Целые -адические числа

Определение:

пусть - некоторое простое число. Последовательность целых чисел =, обладающих тем свойством,что  для всех n, определяет новый объект,называемый целым -адическим числом.

Сложение и умножение целых p-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы кольца <#"877667.files/image006.gif">.

Итак, рассмотрим сравнение:

по степеням простого числа 7. При n=1 сравнение имеет два решения:

Положим теперь n=2. Из

cледует  так что решение сравнения второго надо искать в виде  ,где - одно из чисел, определяемых сравнением первым. Теперь найдем решения вида . (при это решения рассматриваются так же).Подставляем это выражение для  во второе сравнение , получаем:

9+6*+

1+6,

.

Таким образом,получаем решение

Аналогично при n=3 получаем  и из сравнения

находим т.е.

Этот процесс мы можем продолжать бесконечно.

Мы получим последовательность

Она обладает свойствами:

,

,

.

Итак, процесс построения последовательности

,

,

.

Чем-то напоминает процесс извлечения квадратного корня из 2.

Например:

.

В нашем случае строится последовательность целых чисел ,для которых

Делится на . Такакя аналогия становится более отчетливой,если условиться два целых числа называть близкими ( точнее -близкими, где - некоторое простое число), когда их разность делится на достаточно большую степень  Тогда можно сказать, что квадраты чисел последовательности

,

,

.

При возрастании n становится сколь угодно 7-близкими к 2.

Задание последовательности  определяет вещественное число .

Можно предположить,что наша последовательность так же определяет число a некоторой новой природы, причем такое,что =2.

Если же последовательность рациональных чисел  такова,что  при всех n,то ее пределом так же будет . Все это приводит нас к определению. Две последовательности  и  тогда и только тогда определяютодно и то же целое -адическое число, когда, для всех n

Множество всех целых -адических чисел мы будем обозначать через . В отличае от целых -адических чисел обычные целые числа будут называться рациональными.

Каждому целому рациональному числу  сопоставим целое -адическое чисело, определяемое последовательностью . Это целое  -адическое число, соответствущее рациональному , мы будем обозначать той же буквой

Два различных целых рациональных числа  определяют разные целые  -адические числа.

Так и есть, из их равенства как целых -адических чисел следовали бы при всех n сравнения  , что возможно только при . Именно поэтому мы будем рассматривать множество  целых рациональных чисел как часть множества  целых рациональных чисел.

Для лучшего представления укажем способ,при помощи,которого можно из множества всех последовательностей, определяющих данное целое  -адическое число, выбрать одну стандартную.

Пусть целое  -адическое число задается последовательностью

Обозначим наименьшее неотрицательное число,сравнимое с  по модулю ,через :

Сравнение показывает, что

,

Так что последовательность определяет некоторое целое  -адическое число, и притом в силу

То же самое, что и последовательность Последовательность, все члены которой удовлетворяют условиям  и 0, будем называть канонической.

Мы доказали,следовательно,что каждое  -адическое число определяется некоторой канонической последовательностью.

Легко видеть,что две разные канонические последовательности определяют разные целые  -адические числа. Действительно, если канонические последовательности и определяют одно и то же целое  -адическое число, то в силу сравнений

И условий 0 получаем что  при всех n

Таким образом, целые  -адические числа находятся во взаимно однозначном соответствии с каноническими последовательностями. Из условия  следует,что 0 и 0 0

Следовательно, всякая каноническая последовательность имеет вид

{,,}, где 0Очевидно, что и, наоборот , каждая последовательность такого вида является канонической последовательностью, определяющей некоторое целое  -адическое число. Исходя из этого легко доказать, что множество канонических последовательностей , а следовательно и множество всех целых  -адических чисел имеют мощность континуума.

. Кольцо целых -адических чисел

Определение:

Суммой и произведением целых  -адических чисел  определяемых последовательностями и , называются целые - адические числа, определяемые соответственно последовательностями и .

Чтобы быть уверенным в корректности этого определения,мы должны доказать,что последовательности и определяют некоторые целые - адические числа и что эти числа зависят только от , а не от выбора определяющих их последовательностей. Оба эти свойства доказываются путем очевидной проверки.

Очевидно,что при данном нам определении действий над целыми - адическими числами они образуют коммуникативное кольцо, содержащее кольцо целых рациональных чисел в качестве подкольца.

Делимость целых - адических чисел определяется так же ,как и в любом другом кольце: , если существует такое целое - адическое число  , что

Для исследования свойств деления важно знать, каковы те целые - адические числа,для которых существуют обратные целые - адические числа. Такие числа называют делителями единицы или единицами. Мы их будем называть - адическими единицами.