Курсовая работа (т): P-адические числа и операции над ними

Теорема 1:

Целое - адическое число  ,определяемое последовательностью , тогда и только тогда является единицей, когда .

Доказательство:

Пусть является единицей, тогда существует такое целое - адическое число , что . Если  определяется последовательностью  то условие  означает,что . В частности,  , а значит,  Обратно, пусть  Из условия  легко следует, что , так что . Следовательно, для любого n можно найти такое  , что будет справедливо сравнение . Так как  и , то . Это значит, что последовательность определяет некоторое целое - адическое число  Сравнения  показывают, что , т.е. что  является единицей.

Из доказанной теоремы следует, что целое рациональное число . Будучи рассмотрено как элемент кольца  , тогда и только тогда является единицей, когда  . Если это условие выполнено,то  содержится в . Отсюда следует, что любое целое рациональное b делитсяна такое a в  ,т.е. что любое рациональное число вида b/a, где a и b целые и , содержится в  Рациональные числа такого вида называются -целыми. Они образуют очевидным образом кольцо. Полученный нами результат можно теперь сформулировать так:

Следствие:   

Кольцо  целых - адических чисел содержит подкольцо, изоморфное кольцу - целых рациональных чисел.

. Дробные p-адические числа

Определение:

Дробь вида  ,  , k >= 0 определяет дробное p -адическое число или просто p -адическое число. Две дроби,  и  , определяют одно и тоже p -адическое число, если в .

Совокупность всех p -адических чисел обозначается _p. Легко проверить, что операции сложения и умножения продолжаются с _p на _p и превращают _p в поле.

2.9.Теорема. Всякое p -адическое число  единственным образом представляется в виде

где m - целое число, а  - единица кольца _p.

2.10. Теорема. Всякое отличное от нуля p -адическое число однозначно представляется в виде

M= .

Свойства: Поле p-адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел <#"877667.files/image125.gif"> _p , а кратное p однозначно записывается в виде , где x не кратно p и поэтому обратимо, а  . Поэтому любой ненулевой элемент поля  _p может быть записан в виде , где x не кратно p, а m любое; если m отрицательно, то, исходя из представления целых p-адических чисел в виде последовательности цифр в p-ичной системе счисления, мы можем записать такое p-адическое число в виде последовательности , то есть, формально представить в виде p-ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа.

. Объяснение р-адических чисел с помощью ввода новых математических объектов

Определение:

«Квазибесконечным числом» (КБЧ) называется бесконечная последовательность цифр (из какой-либо системы счисления, например десятичной), идущая справа налево.

Пример: ...3819248393684028831439284578

Эти числа названы «квазибесконечными», потому что они кажутся бесконечными, но на самом деле не являются таковыми.

 Целые числа. адическое число деление

Рассмотрим те КБЧ, в которых влево от некоторой позиции идут одни нули, например:

...000000, ...000001, ...000002, ...001936, ...

Нетрудно заметить, что такие числа при сложении и умножении ведут себя как обычные неотрицательные целые числа.

 Целые отрицательные числа.

Попробуем вычесть из нуля (...00000) единицу (...00001). Формально следуя алгоритму вычитания столбиком с заимствованием из следующего разряда, мы получим ...99999. Снова вычитая единицу, мы получим ...99998, ...99997 и т. д. Нетрудно заметить, что это обычный дополнительный код, широко используемый в компьютерах для представления отрицательных чисел (хотя в компьютерах обычно используется двоичная система, а не десятичная).

Таким образом, чтобы получить −x (т. е. число, которое при сложении с x даёт ...00000), нужно:

) Каждую цифру x_i заменить на (N−1)−x_i (где N - основание системы счисления)

) К получившемуся числу прибавить ...00001.

Например, в десятичной системе:

−...000000023 = ...999999977

В двоичной системе:

−...000000101 = ...111111011

Таким образом, те КБЧ, в которых влево от некоторой позиции идут одни только наибольшие цифры данной системы счисления, можно отождествить с обычными отрицательными целыми числами.

Арифметические операции.

Сумма двух КБЧ вычисляется справа налево по обычному методу сложения столбиком (вычисляется сумма двух цифр очередного разряда, прибавляется единица при наличии переноса из предыдущего разряда, затем определяется цифра суммы данного разряда и наличие переноса в следующий разряд). [В нижеприведённых таблицах наличие переноса обозначается чертой над соответствующей цифрой.] Например: