Документ: Poper_zgyn_plastyn, страницы 26-30 | База учебных материалов

Материал: Poper_zgyn_plastyn

Смотрите также:

Число отриманих скінчено-різницевих рівнянь дорівнює числу внутрішніх вузлів сітки. За допомогою граничних умов з рівнянь виключаються значення функції прогинів у контурних та поза контурних точках. Отже, кількість рівнянь співпадає з кількістю невідомих. Для виключення з рівнянь невідомої циліндричної жорсткості D, яка залежить від невідомої товщини пластини, обидві частини рівнянь поділимо на δ 2 та введемо в

розгляд нові невідомі

w = wD δ 2 .

(47)

Тепер систему можна розв’язати, але попередньо бажано перевірити правильність її складання. Для правильно складеної системи матриця коефіцієнтів при невідомих або відразу є симетричною, або її можна привести до такого вигляду за допомогою множення та ділення окремих рядків на прості множники.

Після			знаходження									коренів							системи				легко можна знайти				значення згинальних
						2	w					2		w
				∂			w			+ µ			∂	w
								2							2
	M x = −D			∂x				2					∂y		2
моментів				∂x									∂y
моментів						2	w					2		w
						2						2
				∂						+ µ			∂
								2							2
	M y = −D			∂y				2					∂x		2
				∂y									∂x
у вузлових точках сітки, наприклад у точці 0 (рис.8):
			w − 2w + w															w		2	− 2w + w			= −[(w		− 2w + w )+ µ(w					)].
			w − 2w + w															w			− 2w + w
M	x		= −D	1							0			3			+ µ					0	4						− 2w + w
M			= −D														+ µ												− 2w + w
		0							δ 2												δ 2			1		0	3	2	0	4
		0							δ 2												δ 2			1		0	3	2	0	4
Аналогічно:
			w		2	−			2w + w							4			w − 2w + w					= −[(w		− 2w + w )+ µ(w			− 2w + w )].
			w			−			2w + w										w − 2w + w
M	y	= −D									0						+ µ			1		0	3		2
M		= −D									2						+ µ					2
		0								δ	2										δ	2				0	4	1	0	3
										δ											δ

По знайдених значеннях погонних згинальних моментів у вузлових точках будуються епюри M x , M y .

Аналізуючи отримані епюри згинальних моментів, можна визначити найнебезпечніший переріз пластини. У складних випадках навантаження необхідно обчислити еквівалентний згинальний момент

M екв = M x2 + M y2 − M x M y

для різних перерізів та вибрати переріз, в якому він буде найбільшим. По гранях елемента пластини, вирізаного в небезпечному перерізі, будуть діяти нормальні напруження

σx =	M	x	, σ y =	M y	, де W =	h2	– осьовий момент опору.
	W			W		6

Рахуючи, що матеріал пластини є пластичним, застосовуємо четверту теорію міцності:

26

σ розрIV = (σ x −σ y )2 +σ xσ y ≤ R ,

(48)

де R – розрахунковий опір.

Підставляючи у вираз (48) значення напружень, знайдемо товщину пластини з умови міцності за формулою:

h ≥	6(M x − M y )2	+ M x M y	=	6M	екв .
	R
				R

Отримане значення треба перевірити на виконання умови жорсткості:

	wmax	≤	1	.	(49)
	b		300

Якщо умова жорсткості виконується,			то розрахунок		закінчено, якщо не

виконується , то з умови (49) визначають величину максимального прогину, а по ній та

пластини, при якій одночасно виконуються і умова міцності, і умова жорсткості. Розглянемо приклад розрахунку прямокутної пластинки на поперечний згин

методом сіток.

8.4 Приклад розрахунку пластини методом сіток.

y			Вихідні дані:
y			Вихідні дані:
				a=8.4 м


			µ=0.3


		q	q=0.01 МПа


				Е=2 105 МПа



			R=210 МПа


				ωmax	=1/300
				ωmax	=1/300
	x			a
	x			a

a

27

Рис.9

Завдання:

1.Для заданої прямокутної пластини вибрати сітку з квадратними комірками таким чином, щоб на меншій стороні прямокутника розміщалось не менше чотирьох комірок.

2.Записати скінчено-різницеві рівняння для кожного внутрішнього вузла сітки.

3.Використовуючи граничні умови, знайти зв’язок між значеннями функцій прогинів wi у позаконтурних та внутрішніх вузлах сітки.

4.Перейти до координат wi та розв’язати отриману систему лінійних рівнянь.

5.Побудувати епюри згинальних моментів M x , M y в небезпечних перерізах

пластини.

6.З умови міцності визначити товщину пластини h .

δ = 8.44 = 2.1

f

g

h

g

f

a

O I

VI

VII

VI

В I

a

b

c

d

II

III

IV

1

2

3

4

5

6

1

2

3

II		III		IV

b

c

d

e

V	А
		i
		i

VIII

k

IX l

k

VIII

i

V

e

7.Перевірити виконання умови жорсткості. У випадку, якщо ця умова не виконується, перерахувати товщину пластини з умови жорсткості.

Розв’язок.

28

1.Вибираємо сітку з квадратними комірками (рис.10).

2.Записуємо скінчено-різницеві рівняння для кожної внутрішньої точки, враховуючи симетричність конструкції та навантаження.

т.1

δD4 [20 w1 −8 (w2 + wII + wVI + w4 )+ 2 (wIII + wI + wVII + w5 )+ w3 + wb + wg + w1 ]= q ;

т.2

δD4 [20 w2 −8 (wIII + w3 + w1 + w5 )+ 2 (wIV + wII + w4 + w6 )+ wc + w2 + wVIII + wVI ]= q 2 ;

т.3

δD4 [20 w3 −8 (wIV + wVIII + w6 + w2 )+ 2 (wV + wIII + w5 + wIX )+ wd + w1 + w3 + wk ]= 0 ;

т.4

δD4 [20 w4 −8 (2w1 + w5 + wVII )+ 2 (2w2 + 2wVI )+ 2wII + wh + w6 ]= q ;

т.5

δD4 [20 w5 −8 (2w2 + w4 + w6 )+ 2 (2w3 + 2w1 )+ 2wIII + wVII + wIX ]= q 2 ;

т.6

δD4 [20 w6 −8 (2w3 + wIX + w5 )+ 2 (2wVIII + 2w2 )+ 2wIV + w4 + wl ]= 0 ;

3.Визначаємо контурні та позаконтурні значення функції прогинів з граничних умов.

Граничні умови на краю ОА ( жорстко закріплений):

w	OA = 0 ;	wI = wII = wIII = wIV = wV = 0 ;

29

∂w	OA	= 0 ;	∂w	I	=	wVI − wa	;


∂y			∂y
						2δ

Граничні умови на краю ОВ ( жорстко закріплений):

w	OB = 0 ;	wVI = wVII = wVIII = wIX = 0 ;

∂w

OB

= 0 ;

∂w

VI

=

w1

− wg

;

∂x

2δ

wb = w1 wc = w2 ; wd = w3

wg = w1

wh = w4 ; wk = w3

wl = w6

4.Підставляємо співвідношення, отримані в п.3, у скінчено-різницеві рівняння.

1)δD4 (23w1 −8w2 + w3 −8w4 + 2w5 )= q ;

2)δD4 (−8w1 + 22w2 −8w3 + 2w4 −8w5 + 2w6 )= q 2 ;

3)δD4 (w1 −8w2 + 23w3 + 2w5 −8w6 )= 0 ;

4)δD4 (−16w1 + 4w2 + 21w4 −8w5 + w6 )= q ;

5)δD4 (4w1 −16w2 + 4w3 −8w4 + 20w5 −8w6 )= q 2 ;

6)δD4 (4w2 −16w3 + w4 −8w5 + 21w6 )= 0

Виконуємо заміну значень функції прогинів в і-й точці wi на змінні wi за формулою:

	=	D wi	.
w

i		δ 2

30

формулах (47) та формулі циліндричної жорсткості

знаходять товщину