Документ: Poper_zgyn_plastyn, страницы 6-10 | База учебных материалов

Для визначення невідомих функцій f1 ,			f2 скористуємося гіпотезою 2 про
недеформованість серединної поверхні: u(0) = u0 = f1 (x, y) = 0,					v(0) = v0 = f2 (x, y) = 0 .
Отже,
u = −z	∂w	, v = −z	∂w	.	(8)

	∂x		∂y

Складові деформації пластинки, які відрізняються від нуля, можуть бути знайдені з

(8) та співвідношень Коші (5):

ε

x

=

∂u

= −z

∂2 w

;

∂x

∂x2

ε

y

=

∂v

= −z

∂2 w

;

(9)

∂y

∂y2

γ

xy

=

∂u

+

∂v

= −2z

∂2 w

∂y

∂x

∂x∂y

Таким чином, складові переміщень та деформації в пластинці визначаються через

функцію прогинів серединної поверхні пластинки.

3. Напруження в пластинці.

Використовуючи закон Гука (7) та співвідношення (9), отримуємо вирази для

нормальних напружень в пластинці:

σx

=

E

(εx

+ µεy ) = −

Ez

(

∂2 w

+ µ

∂2 w

)

1

− µ2

1

− µ2

∂x2

∂y2

(10)

E

Ez

∂2 w

σ y

=

(εy

+ µεx ) = −

(

+ µ

)

1

− µ2

1

− µ2

∂y2

∂x2

τ

xy

=

E

γ

xy

= −

Ez

∂2 w

2(1

+ µ)

1 + µ ∂x∂y

Дотичні напруження в двох інших площинах, якщо виходити з припущень (1), дорівнюють нулю. Але для виконання рівнянь рівноваги (3) вони повинні бути ненульовими:

∂τxz

∂σ x

∂τxy

Ez

∂3 w

∂

3 w

Ez

∂3 w

Ez

∂

∂2 w

3 + µ

.(11)

= −

−

=

2

+

2

=

2

2 +

2

∂z

∂x

∂y

1

− µ

2

∂x

∂y

∂x∂y

1 − µ

∂x

∂y

∂x

1 + µ

∂x

Вводячи диференціальний оператор Лапласа, що визначається для функції φформулою:

∆ϕ = 2ϕ =

∂2ϕ

+

∂2ϕ

, співвідношення (11) можна переписати у вигляді:

∂x2

∂y2

∂τxz

=

Ez

∂

2 w

(12)

∂z

1 − µ2

∂x

6

Для знаходження дотичного напруження інтегруємо (12) по координаті z:

τzx =τxz =

Ez 2

∂

2

w + f3 (x, y).

2

(1 − µ2 ) ∂x

Довільна функція f3 знаходиться з умови відсутності дотичних напружень на

верхній та нижній поверхнях пластинки:

τzx = 0 при z = ±

h

, отже

2

0 =

Eh2

∂

2

w + f3 (x, y) f3

= −

Eh2

∂

2

w .

8(1 − µ2 ) ∂x

8(1

− µ2 )

∂x

Таким чином,

E

h2

2

∂ 2

− z

w

(13)

τzx = −

2

(1 − µ

4

∂x

)

Взагалі, в перерізах пластинки, перпендикулярних її серединній поверхні, виникають такі напруження:

σx

=

E

(εx

+ µεy ) = −

Ez

(

∂2 w

+

µ

1

− µ2

1

− µ2

∂x2

σ y

=

E

(εy

+ µεx ) = −

Ez

(

∂2 w

+

µ

1

− µ2

1

− µ2

∂y2

τ

xy

=

E

γ

xy

= −

Ez

∂2 w

2(1

+ µ)

1

+ µ ∂x∂y

E

h2

2

∂

2

τzx = −

− z

w

2

(1 − µ

4

∂x

)

E

h2

2

∂

2

τ yz = −

− z

w

2

(1 − µ

4

∂y

)

σy	τxy

τzy	τyx

y

z

∂2 w) ∂y2

∂2 w) ∂x2

σx

(14)

τzx

x

7

На рис.1 показані закони зміни відповідних напружень по товщині пластинки.

Зформул (14) та рис.1 видно, що нормальні напруження та дотичне напруження

τxy =τ yx змінюються лінійно, досягаючи своїх максимальних значень на поверхнях

пластинки, а дотичні напруження τxz , τ yz змінюються по параболі, приймаючи

максимальне значення в точках серединної поверхні.

Відмітимо, що аналогічно розподіляються напруження при поперечному згині балок прямокутного перерізу.

4. Зусилля в пластинці.

Розглянемо, які зусилля відповідають напруженням (14) в перерізах пластинки, перпендикулярних до її серединної поверхні. Для цього розглянемо нескінченно малий елемент пластинки, вирізаний такими перерізами.

Розглянемо площадку з нормаллю, паралельною осі Ох. На ній діють складові напружень σx , τ yx , τzx .

dy

h/2			dz	x
z	τxy	τyx	σx
	τxy		σx
			τzx
			τzx

h/2

σy τzy

y

z Рис.2

Позначимо через Nх нормальну силу, яка приходиться на одиницю ширини перерізу, що розглядається (рис.2). Вона дорівнює проекції на вісь х рівнодіючої внутрішніх сил в перерізі з нормаллю, паралельною осі х. На цю вісь проектується тільки нормальне напруження σx . Відповідна йому внутрішня сила дорівнюватиме σx dy dz , а на одиницю

8

ширини перерізу прийдеться сила σx dz . Для знаходження нормальної сили треба проінтегрувати отриманий вираз, враховуючи (14):

h

2

E

∂

2

w

∂

2

w

2

N x = ∫σx dz

= −

+

µ

∫zdz = 0 .

(15)

2

1 − µ

∂x

∂y

−

h

−

h

2

Аналогічно знаходимо згинальний момент:

h

2

E

∂

2

w

∂

2

w

2

∂

2

w

∂

2

w

M x = ∫σx zdz = −

+

µ

∫z

2

dz

+ µ

,

(16)

2

1

− µ

2

∂x

∂y

= −D

∂x

∂y

−

h

−

h

2

де

D =

Eh3

-

циліндрична

жорсткість.

Вона є

фізико-геометричною

12(1

− µ2 )

характеристикою пластинки при згині та грає роль, аналогічну жорсткості перерізу балки при згині EJ.

Поперечна сила:

h

2

E

∂

2

h

2

∂

2

Qx = ∫τzx dz = −

− z

2

w

(17)

2

2(1

− µ

) ∂x

w ∫

4

dz = −D

∂x

−

h

−

h

2

Зсувна сила:

h

Sx = ∫2

τ yx dz = 0

(18)

−

h

2

Крутний момент:

h

M yx = ∫2

τ yx zdz = −D (1 − µ)

∂2 w

(19)

∂x∂y

−

h

2

Аналогічно знаходяться зусилля в перерізі з нормаллю, паралельною осі у. Взагалі, під дією поперечного навантаження в перерізах пластинки, перпендикулярних до її серединної поверхні, виникають такі зусилля:

-згинальні моменти:

	M x = −D (	∂2 w	+ µ	∂2 w	)	(20)
		∂x2		∂y2

	M y = −D (	∂2 w	+ µ	∂2 w	)	(21)
		∂y2		∂x2

-	поперечні сили:

9

	Qx	= −D	∂		2 w				(22)
	Qx	= −D	∂x		2 w				(22)
			∂x
	Qy	= −D		∂		2 w			(23)
	Qy	= −D		∂y		2 w			(23)
				∂y
-	крутний момент:
	M yx = M xy				= H = −D (1 − µ)		∂2 w		(24)
	M yx = M xy				= H = −D (1 − µ)		∂x∂y		(24)
							∂x∂y
Моменти M x , M y , H , а також сили Qx , Qy вважаються додатними, якщо для точки
пластинки з координатою z > 0 вони дають відповідне напруження,								більше	нуля в
координатах xyz.	Звернемо увагу на індекси при зусиллях. Наприклад,							M x , Qx	мають

індекс х, який показує, що дане зусилля діє в перерізі, нормаль до якого паралельна осі х. Отже показано, що внутрішні силові фактори, як і переміщення та деформації, можна виразити через функцію прогинів w(x,y). Подальший розв’язок задачі зводиться до

визначення цієї функції.

5. Диференціальне рівняння зігнутої серединної поверхні пластинки.

Виріжемо з серединної площини пластинки нескінченно малий елемент розмірами dx ×dy та покажемо прикладені до нього зусилля (рис.3).

	x		Qy		H
y	Qx				H
y	Qx		qdxdy	My	M		+	∂M x	dx
	Mx		qdxdy	My		x		∂M x
								∂x
z								∂x
z
					dy			H +	∂H
H	M y +	∂M y dy						H +	∂x dx
			∂y

dx

Qy + ∂∂Qyy dy

H + ∂∂Hy dy

∂Q Qx + ∂xx dx

Рис.3 Будемо враховувати, що в силу неперервності функцій на двох паралельних гранях,

які відстоять одна від одної на dx , виникають внутрішні зусилля:

10

Материал: Poper_zgyn_plastyn

Смотрите также: