Материал: Poper_zgyn_plastyn

Рівняння, що описує циліндричний згин пластини, співпадає з рівнянням згину балки, у якої жорсткість перерізу на згин дорівнює EJ = D . Звідси й назва величини D – циліндрична жорсткість.

Проінтегруємо отримане рівняння. Нехай, наприклад, q = q0 ax , тоді загальний інтеграл рівняння (32) буде мати вигляд:

Якщо пластинка має скінчені розміри, то для утворення її циліндричного згину на кромках, паралельних х, повинні бути прикладені моменти Му аналогічно тому, як це зображено для смужки, вирізаної з безмежної пластини.

7.2 Чистий згин пластини.

Чистим згином пластинки називається такий згин, при якому в усіх її поперечних перерізах поперечна сила відсутня.

Розглянемо прямокутну пластинку, вільну від закріплень, на контурі якої прикладені згинальні моменти (рис.6):

Початок координат розмістимо в центрі пластинки. Для визначення прогинів скористуємося диференціальним рівнянням (26), яке задовольняється, якщо прийняти w = 0,5C1 x2 + 0,5C2 y2 . Константи С1 та С2 знайдемо з граничних умов (35):

M x = −D(C1 + µC2 ) = m1 ;

16

M y = −D(C2 + µC1 ) = m2 ;

Н=0.

x

m1

m2

y z

Рис.6

Розв’язуючи ці рівняння відносно С1 та С2, визначимо:

та рівняння поверхні прогинів запишеться у вигляді:

w = 2D(11− µ2 ) [(µ m2 − m1 )x2 + (µ m1 − m2 )y2 ].

Отже, в усіх перерізах пластини, паралельних осям х та у , діють тільки згинальні моменти сталого значення. Інших зусиль в цих перерізах не виникає: H = Qx = Qy = 0 .

8.Методи розв’язання основного рівняння згину пластинки.

Взагальному випадку відшукування функції w(x, y) , яка б задовольняла рівнянню

(26)та граничним умовам, є досить складною задачею, тому її зазвичай не розв’язують у замкнутій формі, а застосовують чисельні або наближені методи. Найбільш поширеними є розв’язок у подвійних тригонометричних рядах (розв’язок Нав’є), розв’язок у одинарних тригонометричних рядах (розв’язок Леві) та чисельний метод скінчених різниць. Розглянемо більш детально кожен з них.

8.1 Розв’язок у подвійних тригонометричних рядах (розв’язок Нав’є).

Цей розв’язок, запропонований Нав’є, придатний при дії довільного поперечного навантаження, якщо всі сторони прямокутної пластини є шарнірно опертими.

Розв’язок шукаємо у вигляді нескінченого ряду:

17

де Аmn – константи, коефіцієнти ряда.

Для шарнірно опертої по контуру пластинки маємо такі граничні умови:

Легко перевірити, що граничні умови (37) для функції прогинів та для похідних:

Визначимо коефіцієнти ряду Аmn. Для цього функцію w(x,y), представлену у вигляді (36), підставимо в основне рівняння згину пластинки. Після простих перетворень отримуємо:

Інтенсивність навантаження q(x,y) розкладемо у подвійний тригонометричний ряд

Два ряди є рівними, якщо рівні їхні коефіцієнти, отже з (38) та (39) випливає:

18

Розглянемо один з часткових випадків, коли q = const .

Отже, максимальне значення прогину виникає в центрі пластинки та дорівнює:

співвідношення ba та може бути табульованим.

Підставляючи функцію прогинів у формули (20), (21) для згинальних моментів, отримуємо:

m=1,3,5,….., n=1,3,5,…..

Максимальні згинальні моменти виникають також у центрі пластинки та дорівнюють:

19

де коефіцієнти β, β1 залежать від співвідношення довжин сторін пластинки a/b та використовуються для табулювання.

8.2 Розв’язок у одинарних тригонометричних рядах (розв’язок Леві).

Наведений вище розв’язок Нав’є обмежений тим, що всі чотири кромки пластини повинні мати шарнірне закріплення. Запропонований М.Леві розв’язок, що використовує одинарні тригонометричні ряди, суттєво розширює клас розв’язуваних задач. Він придатний для прямокутної пластинки, два протилежних краї якої шарнірно оперті, а два інших мають довільне закріплення (або вільні).

Розглянемо пластинку, у якої шарнірно опертими є краї ОС та АВ (рис.7). Граничні умови на цих краях:

де α = naπ

20