Материал: А27402 Афанасьева НА Булат ЛП Электротехника и электроника Учебн пособие

1.2. Классификация электрических цепей

Основной характеристикой электрических цепей является вольт-амперная характеристика (ВАХ) – зависимость напряжения от тока. По виду ВАХ различают линейные и нелинейные цепи.

Элементы электрической цепи характеризуются электрическим сопротивлением, которое у одних приемников зависит от приложенного напряжения, причем ток пропорционален напряжению и R = const, а у других не зависит. В первом случае эти элементы называются линейными, они имеют линейную ВАХ (рис. 3, а).

Зависимость тока от напряжения в таком элементе определяется законом Ома: , где R – сопротивление линейного элемента.

Во втором случае эти элементы называются нелинейными, они имеют нелинейную ВАХ (рис. 3, б). Это – выпрямительные диоды, стабилитроны, терморезисторы и др.

Электрические цепи также различают по способу соединения их элементов: неразветвлённые (рис. 4, а) и разветвлённые (рис. 4, б).

По числу источников электрической энергии цепи бывают с одним источником ЭДС и с несколькими (рис. 5).

Обозначение источника электрической энергии может отсутствовать на схеме. В этом случае указывается напряжение, подводимое к электрической цепи от источника, а последний лишь подразумевается, положительное направление напряжения выбирается произвольно и указывается стрелкой (рис. 6).

1.3. Параметры элементов электрических цепей постоянного тока. Схемы замещения

Каждый элемент электрической цепи обладает определенными свойствами. Чтобы охарактеризовать эти свойства, вводят понятие параметров цепи. В цепях постоянного тока при стационарном режиме элементы характеризуют только одним параметром сопротивления. Параметр сопротивления R характеризует свойство элемента поглощать энергию из электрической цепи и преобразовывать ее в другой вид энергии (тепловую). Известно, что мощность (Р) преобразования электрической энергии постоянного тока пропорциональна квадрату тока , поэтому этот параметр можно определить отношением R = .

Кроме специально изготовленных устройств с одним параметром встречаются устройства, работу которых приближенно описывают также одним параметром. Например, лампы накаливания, печи нагрева характеризуют только одним параметром сопротивления R .

Элементы электрической цепи делятся на активные и пассивные. Все источники электрической энергии являются активными элементами, они характеризуются определенным значением ЭДС и внутренним сопротивлением. Приемники электрической энергии могут быть как пассивными (чаще всего), так и активными.

Вольт-амперная характеристика (рис. 7, а) активного приемника (рис. 7, б) может быть математически описана уравнением

U = E + R_вт I,

где R_вт – внутреннее сопротивление источника ЭДС.

Схемы замещения отображают свойства электрической цепи при определенных условиях; элементы схемы замещения соответствуют элементам реальной электрической цепи. Одной и той же электрической цепи может соответствовать несколько различных схем замещения в зависимости от того, для каких целей предназначены эти схемы.

Для однозначности описания процессов, происходящих в каком-либо элементе цепи, необходимо знать не только значения его тока и напряжения, но также их направления в каждом элементе. Стрелки, поставленные на схемах замещения, указывают положительные направления ЭДС, напряжений и токов.

1.4. Применение законов Ома и Кирхгофа для описания электрического состояния цепей постоянного тока

Закон Ома

Закон Ома для участка цепи, не содержащего источника ЭДС (рис. 8), устанавливает связь между током, напряжением и сопротивлением этого участка.

U_аb = _{a –} _b,

где _a и _b – потенциалы точек a и b.

I = U_ab / R, откуда U_ab = IR.

Законы Кирхгофа

Основными законами, используемыми для анализа и расчета электрических целей, являются I и II законы Кирхгофа.

I закон Кирхгофа является следствием закона сохранения элект-рического заряда, согласно которому в любом узле электрической цепи заряд одного знака не может ни накапливаться, ни убывать. Согласно I закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю (рис. 9).

Распространена и другая формулировка I закона Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из него. При этом токи, направленные к узлу, берут с одним, произвольно выбранным знаком, а токи, направленные от узла, – с противоположным.

,

где n – число всех токов, направленных от узла и к узлу; k – порядковый номер тока.

I₁ – I₂ – I₃ = 0

II закон Кирхгофа является следствием закона сохранения энергии, в силу которого изменение потенциала в замкнутом контуре равно нулю. Согласно II закону Кирхгофа, алгебраическая сумма напряжений всех участков замкнутого контура равна нулю.

Применительно к схемам замещения с источниками ЭДС II закон Кирхгофа формулируется следующим образом: алгебраическая сумма падений напряжений на резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС источников, входящих в этот контур.

При составлении уравнений слагаемые берут со знаком «+» в случае, когда направление обхода контура совпадает с направлением тока или ЭДС, в противном случае слагаемые берут со знаком «–» (рис. 10).

,

где m – число резисторов в контуре.

,

где m – число резистивных элементов; n – число источников ЭДС в контуре.

I (R ₁ + R ₂) = E.

2. Анализ сложных цепей постоянного тока

В электротехнике и промышленной электронике находят применение сложные электрические цепи с несколькими источниками и несколькими приемниками электрической энергии, имеющие достаточно большое количество узлов, ветвей и контуров. Расчет таких цепей осуществляется различными методами, которые основаны на применении I и II законов Кирхгофа и закона Ома. К этим методам относятся:

– метод непосредственного применения законов Кирхгофа;

– метод контурных токов;

– метод суперпозиции (наложения);

– метод узловых потенциалов (метод двух узлов);

– метод эквивалентного генератора.

2.1. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Классическим методом расчета сложных цепей является непосредственное применение законов Кирхгофа. Все остальные методы исходят из этих фундаментальных законов.

Рассмотрим применение законов Кирхгофа для определения токов ветвей цепи, если сопротивления и ЭДС всех элементов известны. Рекомендуется следующий порядок расчета:

– определить число узлов, ветвей, независимых контуров в схеме (число ветвей соответствует числу неизвестных токов);

– произвольно выбрать положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме (удобнее, в тех ветвях, где есть источники ЭДС и указано их направление, направление тока взять совпадающим с направлением ЭДС);

– произвольно выбрать положительные направления обхода контуров для составления уравнений по II закону Кирхгофа;

– составить систему уравнений, количество которых должно быть равно количеству неизвестных токов, причем учесть, что число независимых уравнений, составленных по I закону Кирхгофа, должно равняться: n = q – 1, где q – число узлов в схеме;

– остальные недостающие уравнения составить по II закону Кирхгофа;

– решить полученную систему уравнений, определив, таким образом, все неизвестные токи.

Схема, представленная на рис.11, имеет 5 ветвей и 3 узла. Геометрические узлы 1–1 не являются потенциальными, так как они имеют одинаковый потенциал; поэтому по I закону Кирхгофа для этой схемы надо составить два независимых уравнения:

для узла 1: I ₁ – I ₂ – I ₃ – I ₄ = 0,

для узла 2: I ₅ + I ₂ – I ₁ = 0.

Добавляем три недостающих до замкнутой системы уравнения, составленных по II закону Кирхгофа, для контуров I, II, III:

для контура I: R₁ I₁ +R₂ I₂ = E₁ – E₂,

для контура II: R₃ I₃ + R₆ I₅ – R₂ I₂ = E₂,

для контура III: (R₄ + R₅ ) I₄ – R₃ I₃ = E₃.

Решаем систему из пяти уравнений и определяем все пять неизвестных токов I₁; I₂; I₃; I₄; I₅. Если в результате решения этих уравнений получается отрицательное значение тока, это значит, что истинное направление тока в ветви противоположно тому направлению, которое взято при составлении уравнений.

2.2. Метод контурных токов

В основу данного метода положено понятие о контурных токах, замыкающихся только по собственным контурам. Этот метод позволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений, так как составляется система уравнений только по II закону Кирхгофа для независимых контуров электрической цепи, содержащей большое количество узлов и ветвей.

Рассмотрим три независимых контура – I, II, III для схемы цепи, представленной на рис. 11. Будем считать, что в каждом контуре имеется свой контурный ток: I₁₁; I₂₂; I₃₃. Пусть направление этих токов будет одинаковым – по часовой стрелке. Сопоставляя контурные токи с действительными токами ветвей, можно показать, что значения контурных токов совпадает со значениями действительных токов только во внешних ветвях: I₁ = I₁₁; I₄ = I₃₃; I₅ = I₂₂. Токи смежных ветвей равны алгебраической сумме контурных токов соседних контуров: I ₂ = I₁₁ – I₂₂; I₃ = I₂₂ – I₃₃.

Таким образом, по найденным контурным токам легко можно найти действительные токи всех ветвей. Для определения контурных токов цепи, представленной на рис. 11, необходимо составить для трех контуров уравнения по II закону Кирхгофа:

для контура I: (R₁ + R₂) I₁₁ – R₂ I₂₂ = E ₁ – E₂;

для контура II: (R₂ + R₃ + R ₆) I₂₂ – R ₂I₁₁ – R₃I₃₃ = E₂;

для контура III: (R ₃ + R₄ + R₅) I₃₃ – R ₃I₂₂ = E₃.

Данную систему уравнений можно решить различными методами, включая численные методы решения на ЭВМ или ПК (персональном компьютере). Будем решать эту систему уравнений с помощью определителей. Для этого представляем её в общем виде:

R₁₁I₁₁ – R₁₂I₂₂ + R₁₃I₃₃ = E₁₁;

–R₂₁I₁₁ + R₂₂I₂₂ – R₂₃I₃₃ = E₂₂;

R₃₁I₁₁ – R₃₂I₂₂ + R₃₃I₃₃ = E₃₃,

где R₁₁; R₂₂; R₃₃ – сумма всех сопротивлений ветвей рассматриваемых контуров; E₁₁; E₂₂; E₃₃ – алгебраическая сумма ЭДС соответствующих контуров.

R11 =	R 1 + R 2;		E11 =	E1 – E 2;
R22 =	R 2 + R 3 +R 6;		E22 =	E2;
R33 =	R 3 + R 4 + R 5.		E33 =	E3 .