Материал: А27402 Афанасьева НА Булат ЛП Электротехника и электроника Учебн пособие

3.1. Основные понятия

Переменными называются ЭДС, токи и напряжения, изменяющиеся с течением времени. Они могут меняться или по величине, или по знаку, или по величине и по знаку. В электротехнике наибольшее применение получил переменный ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону.

Рассмотрим основные определения синусоидального тока.

1. Переменные электрические величины являются функциями времени, их значения в любой момент времени, называются мгновенными и обозначаются строчными буквами i, u, e.

2. Максимальные значения тока, напряжения, ЭДС за период называются амплитудными значениями и обозначаются I_m, U_m, E_m.

3. Средние значения тока, напряжения или ЭДС – значения, эквивалентные постоянному току по переносу электрического заряда за положительный полупериод (T / 2). Они обозначаются I_ср, U_ср, E_ср и определяются формулами:

I_ср = , U_ср = , E_ср = .

4. Действующие значения тока, напряжения или ЭДС – значения, эквивалентные постоянному току по тепловому выделению за период T . Они обозначаются I, U, E и определяются формулами:

I = ; U = ; E = .

Если имеем синусоиду тока (рис. 12), то выражение мгновенного значения синусоидального тока определяется тригонометрической функцией i = I _m sin (ωt + _i)

Здесь I _m – амплитудное значение тока; Т – период синусоиды; _i – начальная фаза – величина, равная фазному углу в момент начала отсчета времени (t = 0);  = 2f – угловая частота, где f = 1/T– частота синусоидального тока.

При совместном рассмотрении нескольких синусоидальных величин (e, u, i) обычно интересуются разностью их фазных углов. Угол сдвига фаз – это разность начальных фаз двух синусоидальных величин. Угол сдвига фаз между током и напряжением участка цепи определяется вычитанием начальной фазы тока из начальной фазы напряжения  = _u – _i. Угол  – величина алгебраическая, может быть как положительная, так и отрицательная, в зависимости от того, опережает одна синусоидальная величина другую по фазе или отстает от нее.

3.2. Способы представления синусоидальных величин

Существует несколько способов представления величин, изменяющихся по синусоидальному закону:

– в виде тригонометрических функций, например:

i = I _m sin (ωt – ); u = U _m sin (ωt + ); e = E _m sin ω t;

– в виде графиков зависимости величин от времени – временных диаграмм (рис. 13);

– в виде вращающихся векторов – векторный метод представления;

– в виде комплексных чисел – комплексное изображение.

Рассмотрим более подробно последние два способа.

Векторный метод представления (рис. 14)

Вектор A_m вращается в декартовой плоскости против часовой стрелки. В соответствии с определением синуса проекция вращающе-гося радиуса-вектора на ось y равна

в момент времени t = 0: a = a ₀ = A _m sin ψ_a;

в момент времени t₁: a₁ = A _m sin (t₁ + ψ_a).

Здесь _a – начальная фаза, ₁ =  _а + t₁; ₂ = _а + t₂.

На рис. 14 справа построена синусоида, мгновенные значения которой для любого момента времени t найдены как соответствующие проекции вращающегося радиуса-вектора на ось y. На основании этих построений можно утверждать, что любая синусоидальная функция может быть изображена (условно) однозначно соответствующим ей вращающимся радиусом-вектором, длина которого равна амплитудному значению синусоиды, а начальное положение относительно оси x определяется начальной фазой синусоиды.

Совокупность радиусов-векторов, изображающих синусоидальные функции времени, называется векторной диаграммой. Применение вращающихся векторов позволяет компактно представить на одном рисунке совокупность различных синусоидально изменяющихся величин одинаковой частоты. Суммирование и вычитание векторов гораздо проще, чем тригонометрических функций, поэтому метод очень распространён – он прост и нагляден.

Комплексное изображение синусоидальных функций времени

Данный метод совмещает простоту и наглядность векторных диаграмм с возможностью проведения точных аналитических расчетов.

Перенесем радиус-вектор, изображающий синусоидальную функцию времени (см. рис. 14) в декартовой плоскости, на комплексную плоскость. При этом совместим ось x с осью действительных чисел (+1, Re), а ось y – с осью мнимых чисел (+j, Im) – рис. 15.

Тогда любому вектору , расположенному на комплексной плоскости, однозначно соответствует комплексное число, которое может быть записано в трёх формах:

1) алгебраическая форма записи: ;

2) тригонометрическая форма записи: где – модуль комплексного числа (действующее значение); – аргумент комплексного числа (начальная фаза синусоиды), _а = arctg а₂ /а₁;

3) показательная форма записи: ,

где e – основание натурального логарифма. Напомним, что число, равное , или , или называется сопряженным комплексным числом числа

При анализе сложных цепей переменного тока большой интерес представляет сопоставление величин токов и напряжений по амплитуде и фазе. Удобнее всего это делать с помощью комплексных чисел. В случае представления синусоидальных величин комплексными числами можно применить весьма эффективный комплексный метод анализа цепей синусоидального тока, который в настоящее время нашел широкое применение.

3.3. Элементы электрических цепей переменного тока

Зависимости между токами и напряжениями резистивных, индуктивных и емкостных элементов определяются происходящими в них физическими процессами. Математическое описание физических явлений для каждого из этих элементов зависит от выбранного способа представления синусоидальных величин.

А. Резистивный элемент. Резистор – электротехническое устройство, обладающее сопротивлением R и применяемое для ограничения электрического тока. Активное сопротивление R – идеализированный элемент, в котором происходит преобразование электрической энергии в другие виды энергии, мощность этого элемента называется активной мощностью, которая равна: P = I ²R , измеряется она в ваттах.

Пусть R-элемент подключён к источнику с синусоидальным напряжением:

u= U_m sin (ωt + _u).

Схема замещения такого элемента изображена на рис. 16, а. На этом же рисунке представлены его временная (рис. 16, б) и векторная диаграммы (рис. 16, в).

Из закона Ома: u = Ri, следовательно, при заданном синусоидальном напряжении ток тоже будет синусоидальным, т. е.

sin (ωt + ψ_u) = I_m sin (ωt + ψ_i).

Из этого выражения видно, что ток и напряжение совпадают по фазе и имеют одинаковую частоту.

В комплексном виде:

= R e ⁰ = R.

Здесь – комплексное сопротивление цепи, т. е. комплексное сопротивление резистивного элемента является положительным действительным числом, равным активному сопротивлению R.

Б. Индуктивный элемент. Индуктивность L – идеализированный элемент электрической цепи, в котором накапливается энергия магнитного поля.

где _L – потокосцепление.

Пусть L-элемент подключен к источнику синусоидального тока, т. е.

I = I_m sin ( t + _i),

тогда потокосцепление

_L = Li = LI_msin (t + _i).

Изменяющийся поток  наводит в индуктивном элементе ЭДС самоиндукции e_L

.

По закону электромагнитной индукции напряжение на индуктивном элементе равно

.

Величина Lω = 2πfL = x_L называется индуктивным сопротивлением (Ом); начальные фазы напряжения и тока связаны соотношением

. Тогда ,

где угол  – угол сдвига фаз между током и напряжением.

Таким образом, при синусоидальном токе напряжение на L-эле-менте также синусоидальное; ток и напряжение изменяются с одинаковой частотой, причём напряжение опережает ток на угол .

Схема замещения L-элемента представлена на рис. 17, а; временная и векторная диаграммы – на рис. 17, б и 17, в.

Следует иметь в виду, что положительным направлением вращения векторов принято считать направление их вращения против часовой стрелки.

В комплексном виде сопротивление равно

,

где – индуктивное сопротивление,

,

т. е. комплексное сопротивление L-элемента, является положительным мнимым числом, модуль которого равен x _L.

В цепи с L-элементом не совершается работа, а происходит периодический обмен энергией между источником и магнитным полем. Интенсивность этого обмена называется индуктивной реактивной мощностью, которая обозначается Q_L и равна:

Q _L = U_L I _L = x _L I _L² = U_L² / x_L.

Для измерения реактивной индуктивной мощности используется своя единица: вольт-ампер реактивный ( вар).

В. Емкостной элемент. Конденсатор с электрической емкостью C – идеализированный элемент электрической цепи, в котором накапливается энергия электрического поля

W_э= ,

где q – накопленный заряд, который равен Cu.

Пусть С-элемент подключен к источнику синусоидального напряжения

u = U_m sin (t + _u).

В цепи возникает ток i, который равен

так как ; откуда (х_С называется емкостным сопротивлением измеряемым в Ом).