Курсовая работа (т): Анализ напряженного состояния стержня при одновременном действии изгиба и кручения

Анализ напряженного состояния стержня при одновременном действии изгиба и кручения

Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

ФГБОУ ВПО «Дальневосточный государственный университет путей сообщения»

Естественнонаучный институт

Кафедра «Системы автоматизированного проектирования»

анализ Напряженного состояния стержня при одновременном действии изгиба и кручения

Курсовая работа

КР.230104.65.М.03.00.933

Исполнитель

студент В.С. Бурцева

Руководитель

доцент О.П. Ткаченко

Хабаровск 2012

Содержание

1. Введение

. Теоретическая часть

.1 Совместное действие изгиба с кручением

.2 Определение внутренних усилий при кручении с изгибом

.3 Расчет валов кругового (кольцевого) поперечного сечения на кручение с изгибом

.4 Расчет брусьев прямоугольного сечения на кручение с изгибом

. Практическая часть

Заключение

Список используемой литературы

изгиб кручение стержень

1. Введение

Курсовая работа предусматривает две части: теоретическую и практическую.

Теоретическая часть посвящена изучению состояния стержня при одновременном действии изгиба и кручения. Актуальность данной темы заключается в том, что многие элементы строительных машин и механизмов работают как на изгиб, ­так и на кручение. ­Наиболее характерными деталями машин, работающими в таких условиях, ­являются валы. Поэтому правильность расчета прочности таких валов является не последней по значимости темой современной теории сопротивления материалов.

В теоретической части рассмотрены такие вопросы как определение внутренних усилий при кручении с изгибом, расчет валов кругового (кольцевого) поперечного сечения на кручение с изгибом и расчет брусьев прямоугольного сечения на кручение с изгибом, а так же раскрыт вопрос, касающийся расчета напряжений в валах и стержнях из разного материала.

Практическая часть включает в себя пример решения задачи по данной теме.

2. Теоретическая часть

.1 Совместное действие изгиба с кручением

На практике деформации кручения часто сопутствует изгиб. Как правило, при работе вал изгибается собственным весом, весом шкивов, давлением на зубья шестерен, натяжением ремней и т.д. Сочетание изгиба с кручением имеет место в пространственных рамах, коленчатых валах и других элементах конструкций.

В случае изгиба с кручением от крутящего момента в поперечных сечениях бруса возникают касательные напряжения, которые рассчитываются по-разному для круглых и прямоугольных брусьев. Вследствие этого, рассматривать расчет сечений произвольной формы не представляется возможным.

Кручение с изгибом - частный случай сложного сопротивления, который может рассматриваться как сочетание чистого кручения и поперечного изгиба.

.2 Определение внутренних усилий при кручении с изгибом

Для определения внутренних усилий пользуются методом сечений:

Обычно две составляющие поперечной силы (Qy, Qz) и изгибающего момента (My, Mx) приводят к их полным результирующим:

;

Заметим, что часто поперечной силой пренебрегают (для достаточно длинных валов) и рассматривают кручение с изгибом как совместное действие крутящего (Mz, Mкр, T) и изгибающего (Mи) моментов.

.3 Расчет валов кругового (кольцевого) поперечного сечения на кручение с изгибом

Исследуем этот вид деформации стержня на примере расчета вала кругового (кольцевого) поперечного сечения на совместное действие изгиба и кручения (рис. 1).

Рисунок 1 - Пример вала кругового сечения

Примем следующий порядок расчета.

1)  Все внешние силы разлагаются на составляющие

F1x, F2x,..., Fnx и F1y, F2y,..., Fny.

) Строим эпюры изгибающих моментов Mx и My. от этих групп сил.

У кругового и кольцевого поперечного сечений все центральные оси главные, поэтому косого изгиба у вала вообще не может быть. Следовательно, нет смысла в каждом сечении иметь два изгибающих момента Mx, и My, а целесообразно их заменить результирующим (суммарным) изгибающим моментом:

,

который вызывает прямой изгиб в плоскости его действия. Эпюра суммарного момента имеет пространственное очертание и поэтому неудобна для построения и анализа. Обратим внимание на то, что центральный участок этой эпюры является нелинейным.

) Строится эпюра крутящего момента Мz. Эпюра крутящих моментов строится так же, как и при чистом кручении.

) Находится опасное сечение вала.

Опасное сечение вала будем искать, как и прежде, по эпюрам внутренних усилий. При построении эпюр внутренних усилий при кручении с изгибом необходимо иметь ввиду следующие правила:

эпюры крутящего момента Mx, а также эпюры составляющих поперечной силы Qy, Qz и изгибающего момента My, Mz строятся по той же процедуре, что и ранее;

результирующая поперечная сила Q может не лежать в плоскости действия результирующего изгибающего момента Mи, а потому между ними уже не будет соблюдаться зависимость Журавского (dM/dx=Q), а, следовательно, и правила проверки эпюр, введенные для плоского изгиба;

эпюра полного изгибающего момента будет прямой только на тех участках, где My и Mz ограничены прямыми с общей нулевой точкой, на участках, где такая общая точка отсутствует эпюра Mи будет описываться вогнутой кривой и строится по точкам (связано с тем, что вектор Mи в разных сечениях имеет различное направление).

Опасное сечение при кручении с изгибом устанавливается из совместного анализа эпюр крутящего Mx и полного изгибающего Mи моментов. Если в сечении вала постоянного диаметра с наибольшим изгибающим моментом М действует наибольший крутящий момент Мкр, то это сечение является опасным.

Если же такого явного совпадения нет, то опасным может оказаться сечение, в котором ни М ни Мкр не являются наибольшими. Еще больше осложняется задача при валах переменного диаметра; у таких валов наиболее опасным может оказаться такое сечение, в котором действуют значительно меньшие изгибающие и крутящие моменты, чем в других сечениях.

В случаях, когда опасное сечение не может быть установлено непосредственно по эпюрам М и Мкр , необходимо проверить прочность вала в нескольких предположительно опасных сечениях.

) После установления опасного сечения вала в нем находят опасные точки. В сечении возникают одновременно нормальные напряжения от изгибающего момента и касательные напряжения от крутящего момента и поперечной силы. В валах круглого сечения, длина которых во много раз больше диаметра, величины наибольших касательных напряжений от поперечной силы относительно невелики и при расчете прочности валов на совместное действие изгиба и кручения не учитываются.

Наибольшие напряжения изгиба возникают в точках k и k', наиболее удаленных от нейтральной оси n-n (рис. 2),

,

где Wизг - момент сопротивления при изгибе.

В этих же точках имеют место и наибольшие касательные напряжения кручения

где Wр- момент сопротивления при кручении.

Рисунок 2 - Сечение вала

Как видно из рисунка 2, в данном случае имеет место плоское напряженное состояние и расчет на прочность должен вестись по одной из гипотез прочности. Для пластичных материалов применяют теорию наибольших касательных напряжений (III) или энергетическую теорию (IV).

Условие прочности по III теории записывается в виде:

 или

,

где - эквивалентный момент по третьей теории прочности.

Условие прочности по IV теории прочности записывается в виде

 или

,

где - эквивалентный момент по четвертой теории прочности.

Для хрупких материалов может быть использована гипотеза прочности Мора, которая для пластичных материалов приводится к третьей теории, а для очень хрупких - к первой теории.

.

Аналогичный расчет проводится и для кольцевого сечения.

.4 Расчет брусьев прямоугольного сечения на кручение с изгибом

Рассмотрим брус прямоугольного сечения, нагруженный таким образом, что в его поперечных сечениях действуют изгибающие моменты Mz и My, а также крутящий момент Mx (рис. 3).

Рисунок 3 - Брус прямоугольного сечения и действующие моменты

Чтобы проверить прочность бруса, нужно в опасном сечении найти опасную точку, вычислить для нее эквивалентное напряжение (по одной из теорий прочности) и сопоставить его с допускаемым напряжением.

Для нахождения опасной точки сечения построим эпюры напряжений от всех силовых факторов (рис. 4). Эпюры нормальных и касательных напряжений наглядно показывают, что, в отличие от круглого сечения, точки, в которых имеют место максимальные нормальные и максимальные касательные напряжения, не совпадают. Вследствие этого, условие прочности составляют, как минимум для трех наиболее опасных точек поперечного сечения. Опасной точкой по нормальным напряжениям является точка С, в которой  от My и  от Mz положительны, или точка A, в которой  от My и  от Mz также одного знака, но отрицательны. Касательные напряжения от крутящего момента в этих точках равны нулю. Таким образом, в этих точках имеет место линейное напряженное состояние.

Рисунок 4 - Эпюры напряжений от всех силовых факторов

Опасной точкой по касательным напряжениям является точка N (или L), лежащая в середине длинной стороны прямоугольника. Кроме того, в этой точке действуют максимальные нормальные напряжения от изгибающего момента My. Следует отметить, что в точке M (или K), расположенной в середине короткой стороны также действуют касательные напряжения (несколько меньшие ) и максимальные нормальные напряжения от Mz. Таким образом, в точках поперечного сечения N, M, (L, K) имеет место плоское напряженное состояние, которое обуславливает использование теорий прочности при расчетах на прочность. Для пластичных материалов применяют III (наибольших касательных напряжений) и IV (энергетическую) теории прочности. Составим условия прочности для трех предположительно опасных точек поперечного сечения

т. C:  ;

т. N: , ;

т. M:, , .

Расчетная формула по четвертой теории прочности:

.

Для хрупких материалов может быть использована теория прочности Мора, которая для пластичных материалов приводится к третьей теории, а для очень хрупких - к первой теории:

.

3. Практическая часть

Пример расчета вала на совместное действие изгиба и кручения

Задача: Шкив, диаметром D1 и с углом наклона ветвей ремня к горизонту α1 вращается с угловой скоростью ω (делает n оборотов в минуту) и передает мощность W кВт (рис). Два других шкива имеют одинаковый диаметр D2 и одинаковые углы наклона ветвей ремня к горизонту α2. Каждый из них передает мощность .

Рисунок - Рисунок к задаче

Требуется:

определить моменты, приложенные к шкивам, по заданным величинам W и n;

построить эпюру крутящих моментов Mz;

определить окружные усилия Pt1 и Pt2, действующие на шкивы по найденным моментам и диаметрам шкивов D1 и D2;

определить силы, изгибающие вал в горизонтальной и вертикальной плоскостях (вес шкивов не учитывать);

построить эпюры изгибающих моментов от горизонтальных сил My и вертикальных сил Mx;

построить эпюру суммарных изгибающих моментов, используя формулу Mи = ;

найти опасное сечение и определить величину максимального расчетного момента (по третьей теории прочности);

подобрать необходимый диаметр вала d при расчетном сопротивлении материала σ = 70 Мпа;

найти эквивалентное напряжение.

Исходные данные задачи: W = 40 кВт; n = 600 об/мин; a = 1,8 м; b =

= 1,4 м; c = 1,6 м; D1 = 1,4 м; D2 = 0,6 м; α1 = 40°; α2 = 60°.

Решение задачи:

) Используя заданные значения мощности W и числа оборота вала в минуту n, находим крутящий момент M1, приложенный к ведущему шкиву:

= , ω = ;=  = 0,637 кН∙м;

Крутящие моменты, приложенные к ведомым шкивам, равны:

= M3 =  = 0,318 кН∙м.

) Эпюра крутящих моментов

кр2 = -M2 = -0,318 кН∙м;

Мкр1 = -М2+М1 = 0,318 кН∙м;

Мкр3 = М2 = 0,318 кН∙м.

Рисунок - Эпюра крутящих моментов Mz

) Определяем окружные усилия по формулам

, ;=  =  =909,91 Н;=  =  =1061,57 Н.