Курсовая работа (т): Аппроксимация функций методом наименьших квадратов

Аппроксимация функций методом наименьших квадратов

Пояснительная записка к курсовой работе

Аппроксимация функций методом наименьших квадратов

Аннотация

Данная пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсового проекта. В ней рассматриваются вопросы расчетов и оформления документов средствами пакетов Microsoft Excel и Microsoft Word с элементами расчетов на языке программирования TPascal на примере решения задачи. В результате получены аппроксимирующие зависимости.

Страниц 29, таблиц 10, блок-схема 1, рисунков 5.

квадрат линеаризация аппроксимация pascal

The Summary

The given explanatory note represents the report on performance of the course project. In it questions of calculations and official registration of papers by means of packages Microsoft Excel and Microsoft Word with elements of calculations in programming language TPascal on an example of the decision of a problem(task) are considered(examined). In result approximating dependences are received.29, tables 10, the block diagram 1, figures 5.

Оглавление

Введение

. Постановка задачи

. Расчетные формулы

2.1 Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов

.2 Линеаризация экспоненциальной зависимости

.3 Элементы теории корреляции

3. Расчет аппроксимаций в табличном процессоре Excel

. Построение графиков в Excel

. Использование функции ЛИНЕЙН

5.1 Назначение функции ЛИНЕЙН

.2 Получение числовых характеристик зависимости

6. Блок-схема

.1 Программа на языке Turbo Pascal

. Результаты работы программы

Заключение

Список литературы

Введение

Целью выполнения курсовой работы является развитие и закрепление навыков работы с табличным процессом Microsoft Excel, изучаемый в курсе информатики и применение их для самостоятельного решения с помощью компьютера задач из предметной области, связанной с исследованиями, а также закрепление навыков программирования на языке Pascal.

1. Постановка задачи

. Используя метод наименьших квадратов функцию , заданную таблично, аппроксимировать

а) многочленом первой степени ;

б) многочленом второй степени ;

в) экспоненциальной зависимостью .

. Для каждой зависимости вычислить коэффициент детерминированности.

. Вычислить коэффициент корреляции (только в случае а).

. Для каждой зависимости построить линию тренда.

. Используя функцию ЛИНЕЙН вычислить числовые характеристики зависимости y от x.

. Сравнить свои вычисления с результатами, полученными при помощи функции ЛИНЕЙН.

. Сделать вывод, какая из полученных формул наилучшим образом аппроксимирует функцию .

. Написать программу на одном из языков программирования и сравнить результаты счета с полученными выше.

Функция y=f(x) задана таблицей 1.

Исходные данные.

Таблица 1

2. Расчетные формулы

.1 Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов

Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами x и y , которые получены в результате измерений.

При аналитическом исследовании взаимосвязи между двумя величинами x и y производят ряд наблюдений, и в результате получается таблица значений:

Таблица 2

Эта таблица обычно получается как итог каких-либо экспериментов, в которых  (независимая величина) задается экспериментатором, а  получается в результате опыта. Поэтому эти значения  будем называть эмпирическими или опытными значениями.

Между величинами x и y существует функциональная зависимость, но ее аналитический вид обычно неизвестен, поэтому возникает практически важная задача - найти эмпирическую формулу

 (1)

(где  - параметры), значения которой при  возможно мало отличались бы от опытных значений .

Обычно указывают класс функций (например, множество линейных, степенных, показательных и т.п.) из которого выбирается функция , и далее определяются наилучшие значения параметров.

Если в эмпирическую формулу (1) подставить исходные , то получим теоретические значения

,

где .

Разности  называются отклонениями и представляют собой расстояния по вертикали от точек  до графика эмпирической функции.

Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами  считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирической функции от заданных значений функции

 (2)

будет минимальной.

Каждая пара чисел  из исходной таблицы определяет точку  на плоскости . Используя формулу (1) при различных значениях коэффициентов  можно построить ряд кривых, которые являются графиками функции (1). Задача состоит в определении коэффициентов  таким образом, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали от точек  до графика функции (1) была наименьшей (рис. 1).

Рис. 1

Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов: выяснение общего вида этой формулы и определение ее наилучших параметров.

Если неизвестен характер зависимости между данными величинами x и y, то вид эмпирической зависимости является произвольным. Предпочтение отдается простым формулам, обладающим хорошей точностью. Удачный выбор эмпирической формулы в значительной мере зависит от знаний исследователя в предметной области, используя которые он может указать класс функций из теоретических соображений. Большое значение имеет изображение полученных данных в декартовых или в специальных системах координат (полулогарифмической, логарифмической и т.д.). По положению точек можно примерно угадать общий вид зависимости путем установления сходства между построенным графиком и образцами известных кривых.

Определение наилучших коэффициентов  входящих в эмпирическую формулу производят хорошо известными аналитическими методами.

Для того чтобы найти набор коэффициентов , которые доставляют минимум функции S, определяемой формулой (2), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных - равенство нулю частных производных. В результате получим нормальную систему для определения коэффициентов :

 (3)

Таким образом, нахождение коэффициентов  сводится к решению системы (3).

Эта система упрощается, если эмпирическая формула (1) линейна относительно параметров , тогда система (3) - будет линейной.

Конкретный вид системы (3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (1). В случае линейной зависимости  система (3) примет вид:

 (4)

Эта линейная система может быть решена любым известным методом (методом Гаусса, простых итераций, формулами Крамера).

В случае квадратичной зависимости  система (3) примет вид:

 (5)

2.2 Линеаризация экспоненциальной зависимости

В ряде случаев в качестве эмпирической формулы берут функцию в которую неопределенные коэффициенты входят нелинейно. При этом иногда задачу удается линеаризовать т.е. свести к линейной. К числу таких зависимостей относится экспоненциальная зависимость

 (6)

где и  неопределенные коэффициенты.

Линеаризация достигается путем логарифмирования равенства (6), после чего получаем соотношение

 (7)

Обозначим  и  соответственно через  и  , тогда зависимость (6) может быть записана в виде , что позволяет применить формулы (4) с заменой  на  и на.

.3 Элементы теории корреляции

График восстановленной функциональной зависимости  по результатам измерений  называется кривой регрессии. Для проверки согласия построенной кривой регрессии с результатами эксперимента обычно вводят следующие числовые характеристики: коэффициент корреляции (линейная зависимость), корреляционное отношение и коэффициент детерминированности. При этом результаты обычно группируют и представляют в форме корреляционной таблицы. В каждой клетке этой таблицы приводятся численности  тех пар , компоненты которых попадают в соответствующие интервалы группировки по каждой переменной. Предполагая длины интервалов группировки (по каждой переменной) равными между собой, выбирают центры  (соответственно ) этих интервалов и числа  в качестве основы для расчетов.

Коэффициент корреляции является мерой линейной связи между зависимыми случайными величинами: он показывает, насколько хорошо в среднем может быть представлена одна из величин в виде линейной функции от другой.

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

 (8)

где  (9)

 и  ¾ среднее арифметическое значение соответственно по x и y.

Коэффициент корреляции между случайными величинами по абсолютной величине не превосходит 1. Чем ближе  к 1, тем теснее линейная связь между x и y.

Корреляционное отношение вычисляется по формуле

, (10)

где , а числитель характеризует рассеяние условных средних  около безусловного среднего .

Всегда . Равенство  соответствует случайным некоррелированным величинам;  тогда и только тогда, когда имеется точная функциональная связь между y и x. В случае линейной зависимости y от x корреляционное отношение совпадает с квадратом коэффициента корреляции. Величина  используется в качестве индикатора отклонения регрессии от линейной.

Корреляционное отношение является мерой корреляционной связи y с x, в какой угодно форме, но не может дать представления о степени приближенности эмпирических данных к специальной форме. Чтобы выяснить насколько точно построенная кривая отражает эмпирические данные вводится еще одна характеристика ¾ коэффициент детерминированности.

Для его описания рассмотрим следующие величины.  - полная сумма квадратов, где  среднее значение .

Можно доказать следующее равенство

.

Первое слагаемое равно  и называется остаточной суммой квадратов. Оно характеризует отклонение экспериментальных данных от теоретических.

Второе слагаемое равно и называется регрессионной суммой квадратов и оно характеризует разброс данных.

Очевидно, что справедливо следующее равенство