1
1
Априорная неопределенность как основание классификации геометрических объектов, или о конструктивистской парадигме обоснования математики
Чепкасов В.Л.
«Здесь поднят принципиальный вопрос, почему в материальном мире мы снова и снова встречаем повторяющиеся формы и качества»
В. Гейзенберг Актуальность исследования состоит в осмыслении проблем познания, отсылающих нас к постоянным дискуссиям о природе математического знания. Проблема, инициирующая выбор темы, может быть обозначена как проблема истолкования геометрических объектов как абстрактных конструкций, описывающих форму и интерпретацию вырабатываемых понятий. Таким образом, целью статьи является определение термина «априорная неопределенность» как основания классификации геометрических объектов, что неизбежно сопряжено с выявлением различных подходов относительно научного познания в целом, пересекающихся с использованием понятия «априорная неопределенность». В свою очередь, анализируемое понятие как составляющая проблемы самодостаточности математики при классификации геометрических объектов - инициирует выход на исследование изменения соотношения эмпирического и теоретического как некой оси координат, в лоне которой рассматривается проблема получения достоверного знания, составляющая которой - проблема самодостаточности математики при классификации геометрических объектов. Получение информации о геометрических объектах тесно связано с механизмами восприятия. Существует гипотеза о том, что восприятие является классифицирующей системой, способной обучаться. Построение информационной модели на основе классифицирующей системы позволит производить распознавание геометрических объектов, их классификацию без знания каких-либо особенностей объектов и расширение системы знаний для последующей классификации. Объекты классификации, в сущности, являются абстрактными конструкциями, а абстрактных конструкций не существует в реальном мире. Связь абстрактных конструкций и объектов реального мира задается в отношениях и свойствах. Процесс самой классификации и обучения есть часть познания.
Р. Декарт, как все философы Нового времени, видел цель познания в овладении силами природы, что предполагало осуществление методологической революции, суть которой состояла в разработке метода как инструмента конструирования нового мира. Методологическая революция, осуществленная Декартом в XVII веке, стала отправной точкой, способствующей появлению автономной науки, детища западной цивилизации, осмысление плодов которой заставляет обращаться к базовым проблемам, касающимся процесса познания, его средств, методов и, конечно, человека как его субъекта. Совершенствование человека понималось им с тех же методологических позиций, как и обоснование науки, т.е. смысл картезианской этики можно определить как медленное подчинение воли разуму посредством следования нормам как некому инструментальному началу. Рационализм, таким образом, нравственное совершенствование связывает с изобретениями технических средств, к которым можно отнести и математические инструменты. Таким образом, картезианский «проект всеобщей математики», наметивший радикальный поворот мысли, выдвинул новый тип знания, позволяющий получать достоверное знание и метод, на основании которого выводится любое знание, столь же достоверное, как и основополагающее. Процесс познания изменяет инструмент познания, позволяя получить более достоверное знание, чем предыдущее, но это совершенно не значит, что оно будет другим. Оказывается, все не так однозначно; с одной стороны, действительно, происходит так, но с другой, может оказаться, что знания и технологии будут ограничивать процесс познания. Конечно, это весьма отдаленная перспектива, но расширение природы человека приведет к «катастрофе», и наступит время «радикального скептицизма» Д. Юма. Расширение природы человека посредством технологий приведет к тому, что сейчас называется «разум в колбе» - мысленный эксперимент, демонстрирующий зависимость человека в понимании действительности от его субъективных ощущений, что сродни «физиологической модели» субъективного идеализма Дж. Беркли.
Для иллюстрации этой мысли дадим простор голосу канадского мыслителя XX века. В работах М.Маклюэна технологии и внешние расширения человека - «воронка», затягивающая человечество вниз, и чтобы «выжить», нужно выпрыгнуть из нее [1, с. 53]. Но все не столь пессимистично: это настроение есть скорее предостережение. Наиболее интересным является второй и третий вопрос о технологиях, сформулированный М. Маклюэном: а) «что заберет новая технология» [1, с.54] и б) «что будет продолжать новая технология» [1, с. 107]. Первый вопрос наталкивает на мысль, чего все же мы лишимся, разработав новую технологию, получив новый ее вид. Технологии могут лишать способности мыслить, проецируя вывод Р. Декарта - «не мыслить, значит не существовать». Мыслить - не значит познавать, но «»познавать без мыслить» - не получится. Второй вопрос о технологиях можно трактовать как продолжение чувства: как протез продолжает конечность, так некоторая технология - чувства. Очки продолжают зрительное восприятие. Продолжение может искажать восприятие, а значит, и деформировать результат познания. Существуют различные формы познания, например, философское и научное. Если говорить о философском познании, то нужно сказать, что это особая форма целостного познания мира. Целое редуцируется в частях, а части дедуцируются в целое. Научное познание - это процесс получения объективного, истинного знания [2, с.199]. Понятие научности заключается в открытии законов, изучении многообразия явлений, определении практической применимости законов; здесь наиболее важным является научная интуиция и дедуктивное мышление. При развитии науки определяется некоторый набор понятий и выводов, и необязательно опытных, на которые опирались бы теории. Такие понятия и формируют основные положения.
Научное познание разделяется традиционно на два уровня: эмпирический и теоретический. В обычном понимании такого разделения эмпирический уровень предшествует теоретическому уровню, а теоретический уровень - это не что иное, как обобщение результатов эмпирического уровня в законах и теориях. Разделение на такие уровни намечается уже у Платона в его книге «Государство», где он выделяет два рода: чувственновоспринимаемое и познаваемое умом (умопостигаемое). Платон делает упор на то, что хоть ощущения и позволяют познавать, но ощущения не дают достоверную информацию, тогда как разум позволяет узреть истину. Значительно позже И.Кант, «дедушка конструктивизма», пишет: «Существуют два основных ствола человеческого познания, вырастающие, быть может, из одного общего, но неизвестного нам корня, а именно чувственность и рассудок: посредством чувственности предметы нам даются, рассудком же они мыслятся» [3, с. 46]. Попытка описать пространство и материальные объекты привела к зарождению геометрии и понятию геометрических объектов. Формально геометрия как систематическая наука появилась в Древней Греции. Аксиоматические построения описаны у Евклида в его трактате «Начала». В математическом описании объектов предполагается полная абстракция от смысла слов используемого языка, а все основания выносятся на базовый уровень и высказываются посредством аксиом и правил. Конечно, со стороны математики стало возможно описывать сложную пространственную геометрию при помощи хорошего математического аппарата, с другой стороны, исследования и геометрические обоснования связывались с опытом. Ведь на тот момент уже был аккумулирован большой багаж понятий и опытов. Евклидова геометрия - это не единственная геометрия.
В XIX веке профессор Н.И. Лобачевский представил доклад с изложением основ новой геометрии; главная идея доклада была в том, что одна из аксиом Евклида невыводима из других аксиом, то есть, не связана, а значит, можно построить другую геометрию, такую же непротиворечивую, как и евклидова [4, с.48]. На сегодняшний день существуют и неевклидовы геометрии, например, сферическая геометрия, Риманова геометрия или геометрия многообразий [5]. Факты существования других геометрий и обоснование бесконечно малых исчислений - актуализируют вопрос о природе математического знания. Вопрос о том, математическое знание есть истинное знание, знание априори или математика - это опытная наука, и, следовательно, все постулаты рождаются из опыта или, если апеллировать к И. Канту, то вопрос сводится к следующему: «математическое знание мыслится или дается»? Так или иначе, изначально размышления геометрии выводятся из опыта, если опираться на историю. Сама же геометрия, если подходить к вопросу о геометрии менее строго, есть не что иное как инструмент познания мира, объективной действительности.
Традиционно выделяются два направления познания - эмпирическое и теоретическое, и значит, два направления относительно трактовки природы математического знания, в частности, и геометрии. Теоретическое знание было уже у Платона. Геометрические фигуры и числа представляли собой категориальные структуры парадейгмы и эйдосы [6, с. 84]. Такое рассмотрение переориентирует ум с переходящего бытия на подлинно-сущее и определенное в себе. А сами категории позволяют связывать знания геометрических фигур с философией и, наоборот, осуществлять переход от философии к геометрии. Иначе говоря, философия выполняет инструментальную роль в обосновании природы геометрических объектов. Противником такой позиции был Аристотель, ученик Платона. У него геометрические объекты (под объектами понимаются линии, поверхности и тела) - это лишь абстракции от воспринимаемых чувственно вещей и их свойств [6, с. 375]. Действительно, математика работает с абстрактными объектами. Выделяют два противоположных подхода к математике: развитие математики рационализмом и эмпиризмом. С точки зрения рационализма, математика - основание наиболее достоверного знания. Характерным представителем такой точки зрения является Р. Декарт. Для эмпиризма - любое знание выводится из опыта, например, воззрения Дж. Беркли.
Основанием у Р. Декарта является знаменитая фраза «я мыслю, следовательно, существую». То есть мысль или непосредственное интеллектуальное созерцание есть фундамент всякого знания, и всякое знание должно базироваться на таком созерцании, интуиции, дающей возможность прямого усмотрения истины. Видеть истину возможно только тогда, когда мы имеем дело с наиболее простыми и вместе с тем фундаментальными понятиями - теми, которые недоступны никакому анализу и представлению через другое [7, с.95].
Противоположным мнением обладал Дж. Беркли. Он подчеркивает, что математика, а значит, и геометрия, как никакая другая наука, склонна к заблуждениям и противоречиям. Основания науки, а в особенности математики, должны с особой тщательностью подходить к процедуре образования понятий. Беркли показывает, что небрежности в понятиях могут вызвать ошибки и парадоксы в науке. Правильно образованным понятие Беркли считал то, которое непосредственно выражает чувства: «Существует лишь то, что воспринимается, а все остальное есть способ репрезентации воспринятого» [8, с.156]. Число и фигура - репрезентации, по мнению Беркли. С другой стороны, объединяя понятия, можно от частного описания прийти к общему тем или другим способом, создать абстрактные конструкции, которым не соответствует никакие ощущения. Беркли предлагал отчистить математику от беспочвенных абстракций.
Картезианство оказывается более выигрышно с точки зрения развития математического естествознания, поскольку объясняет эффективность математики в исследованиях объективной действительности. Однако критика со стороны эмпиризма оказывается оправданной, так как предлагает установить границы применимости математики и в, частности, геометрии. И. Кант в работах обосновал использование математики в естествознании, определив границы этой математики. Именно благодаря Канту, термин априори получил определяющее значение в теории познания, приобретя инструментальный статус. Априори - это знание, полученное до опыта и независимо от него, то есть знание, выводимое рассудком или умом [3, c.32]. Противоположностью априори является апостериори - знание, полученное из опыта или опытное знание [3, с.33]. Когда говорим об априорности познания, необходимо отметить критику в её отношении.
Уиллард В.О. Куайн считал незаконными как сам термин «априори», так и различие между аналитическими и синтетическими суждениями. Куайн утверждал: «Но, при всей её априорной разумности, граница между аналитическими и синтетическими высказываниями просто не была проведена. То, что подобного рода различие вообще должно быть проведено, есть неэмпирическая догма эмпириков, метафизический символ веры» [9, с. 12]. Со стороны диалектического материализма, априорное знание не может существовать. Дело в том, что в основе учения лежит тезис о происхождении всякого знания, в конечном счете, из практики. Важным является то, что постпозитивисты, такие представители как Т.Кун и И. Лакатос - фактически не исключают наличия в науке априорного знания. К этому типу знания относятся исходные предпосылки науки, выбор которых условен и конвенционален [19, 20]. Зачастую термин «априорная неопределенность» понимается в очень узком смысле, как неполное описание наблюдений [10, 11]. В более широком смысле, термин означает отсутствие понятия о видах и параметрах, а так же о самих законах, например, отсутствие информации о какой-либо системе и выполняемой ею функций, а также для сигналов - носителей этой информации. Если говорить только о неопределенности - отсутствие или недостаток определения или информации о чём-либо. Существует точка зрения, суть которой состоит в признании неопределённости фундаментальным свойством природы [12, с.19]. Так, например, понятие «неопределенность» обозначает некий результат и процесс формирования состояния системы по каким-либо условным параметрам, согласно которому исходное состояние системы предопределяет несколько возможных результатов движения такого состояния [13, с.13]. Другими словами, неопределенность есть некая критическая точка, в которой определяется дальнейшее движение. Для систем это может быть как прогресс, так и регресс. Для понятия неопределенности определяют границы, границы определяются именно для термина, маркирующего разграничение неопределенности в микромире и макромире. Если удастся построить математическую модель начального состояния, определив условные параметры процесса детерминации, то удастся выяснить возможные конечные состояния системы. Только вопрос в том, как собственно предлагается определить то, что еще не определено, ведь то, что наблюдаемо в опыте, уже определено и остается только зафиксировать. Априорная неопределенность имеет более глубокий смысл, чем просто неопределенность. С одной стороны, это отсутствие знания до опыта. С другой стороны, опыт оказывается совсем не причем, сам по себе опыт может исказить понимание действительности, самой сути. То есть это, в своем роде, есть подход к изучению изнутри в противоположность изучения извне.
Определив порознь понятия «априорная» и «неопределенность», отметим, что существует третье понятие, включающее эти два термина. Не трудно обнаружить, что новое понятие, с одной стороны, наследуют признаки, входящие в состав понятий, но и, с другой стороны, имеет нечто своё, специфическое. В процессе синтеза, образования нового понятия, значение одного понятия, накладываясь на значение другого понятия, как бы интерферируя друг с другом, - приводят к образованию нового понятия. Наложение одной области знаний на другую является источником новых видов ощущения и понимания.
Дж. Лакофф отмечал: «Наша обыденная понятийная система, с точки зрения того, как мы мыслим и действуем, суть метафорическая по своей природе» [14, с.25]. В его работе главным является понятие метафоры в том смысле, что это понятийная конструкция, занимающая центральное место в процессе развития мысли. В зависимости от контекста, одно и то же значение метафоры может быть различным. Контекст - достаточно широкое понятие, одна из частей, которую он включает, это убеждения человека, которые сложились в его сознании [15, с.13-71]. Так же один из контекстов понимания - это таксономия. Под таксономией понимаются некие принципы классификации и систематизации. Так же как для понятий и терминов можно говорить об интерпретации геометрических объектов, о получении знаний о структуре объекта, признаках, которыми обладает геометрический объект. Иначе говоря, чтобы получить знания о геометрическом объекте, необходимо провести некоторую классификацию в некотором выработанном множестве понятий. Классификация геометрических объектов - это разделение этих самых объектов на группы или классы, имеющие общие свойства. Классификация - особый случай применения логической операции деления объёма понятия, представляющий собой некоторую совокупность делений [16, с.371]. Классификация в условиях неопределенности - это многоступенчатое последовательное деление какой-либо совокупности единиц на систему соподчиненных классов. Цель классификации - установление определенной структуры порядка. Устанавливаемая структура порядка должна быть независимой от особенностей какого-либо человека, его восприятия, обучения, запоминания. Дж. Лакофф рассматривает процесс рассуждения, основанный на переносе значения метафор из одного домена понятий в другое [15, с.21]. При попытке такой нечеткой классификации объектов, в конечном счете, могут быть ошибки и парадоксы в системе знаний, основанной на такой классификации.