Материал: Частина 2

“Курс вищої математики. Частина 2.”

у цьому виразі Q(x) - деякий многочлен, ступінь якого нижчий за ступінь многочлена P(x), а λ - деяка постійна величина.

Для знаходження невизначених коефіцієнтів многочлена Q(x), ступінь якого нижчий за ступінь многочлена P(x), диференціюють обидві частини отриманого виразу,

потім умножають на ax2 + bx + c і, порівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях

х, визначають λ і коефіцієнти многочлена Q(x).

Даний метод вигідно застосовувати, якщо ступінь многочлена Р(х) більше одиниці. Інакше можна успішно використовувати методи інтеграції раціональних дробів, розглянуті вище, оскільки лінійна функція є похідною підкорінного виразу.

66

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Приклад.

Другий спосіб вирішення того ж самого прикладу.

З урахуванням того, що функції arcsin і arccos зв'язані співвідношенням, а постійна інтеграції З – довільне число, відповіді, отримані різними методами, співпадають.

Як видно, при інтеграції ірраціональних функцій можливо застосовувати різні розглянуті вище прийоми. Вибір методу інтеграції обуславливается в основному найбільшою зручністю, очевидністю застосування того або іншого методу, а також складністю обчислень і перетворень.

Приклад.

ультраэллиптическим.

Якщо все – таки інтеграл такого вигляду виражається через елементарні функції, то він називається псевдоеліптичним.

67

3)∫lndxx - інтегральний логарифм

4)∫exx dx - приводиться до інтегрального логарифма

5)∫sinx x dx - інтегральний синус

6)∫cosx xdx - інтегральний косинус

Певний інтеграл.

Хай на відрізку [а, b] задана безперервна функція f(x).

у

M

m

Позначимо m і M найменше і найбільше значення функції на відрізку [а, b] Розіб'ємо відрізок [а, b] на частини (не обов'язково однакові) n крапками.

x0 < x1 < x2 < . < xn Тоді x1 – x0 = ∆x1, x2 – x1 = ∆x2 .,xn – xn-1 = ∆xn;

На кожному з отриманих відрізань знайдемо найменше і найбільше значення функції.

[x0, x1] → m1, M1; [x1, x2] → m2, M2; . [xn-1, xn] → mn, Mn.

Складемо суми:

S n = m1x1 + m2x2 + . +mn∆xn = S n = M1x1 + M2x2 + . + Mnxn =

Сума S називається нижньою інтегральною сумою, а сума S – верхньою

інтегральною сумою.

Оскільки mi ≤ Mi, то S n ≤ S n, а m(b – а) ≤ S n ≤ S n ≤ M(b – а) S

68

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Усередині кожного відрізання виберемо деяку крапку ε. x0 < ε1 < x1, x1 < < x2 ., xn-1 < ε < xn.

Знайдемо значення функції в цих крапках і складемо вираз, який називається інтегральною сумою для функції f(x) на відрізку [а, b].

Sn = f(1)∆x1 + f(2)∆x2 + . + f(n)∆xn =

Тоді можна записати: mixi≤ ≤ f(i)ε∆xi≤ ≤ Mixi

Отже

Sn ≤ Sn ≤ Sn

Геометрично це представляється таким чином: графік функції f(x) обмежений зверху описаною ламаною лінією, а знизу – вписаною ламаною.

Позначимо maxxi – найбільший відрізок розбиття, а minxi – найменший. Якщо maxxi →0, то число відрізань розбиття відрізання [а, b] прагне до нескінченності.

n

ЯкщоSn = ∑ f (εi )∆xi , то

i=1

Визначення: Якщо при будь-якому розбитті відрізання [а, b] таких, що maxxi

n

→0 і довільному виборі точок i інтегральна сума Sn = ∑ f (εi )∆xi прагне до межі S,

i=1

яка називається певним інтегралом від f(x) на відрізку [а, b].

Позначення :

а – нижня межа, b – верхня межа, х – змінна інтеграції, [а, b] – відрізок інтеграції.

Теорема: Якщо функція f(x) безперервна на відрізку [а, b], то вона інтегрована на цьому відрізку.

a

69

“Курс вищої математики. Частина 2.”

4)Якщо f(x) ≤ (x) ϕна відрізку [а, b] а < b, то

5)Якщо m і M – відповідно найменше і найбільше значення функції f(x) на відрізку

[а, b], то:

b

m(b − a) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b − a)

a

6) Теорема про середній. Якщо функція f(x) безперервна на відрізку [а, b], то на цьому відрізку існує крапка ε така, що

b

∫ f (x)dx = (b − a) f (ε)

a

Доказ: Відповідно до властивості 5:

1 b

m ≤ b − a ∫a f (x)dx ≤ M

оскільки функція f(x) безперервна на відрізку [а, b], то вона приймає на цьому відрізку всі значення від m до М. Другимі словами, існує таке число ε [а, b], що якщо

Зрозуміло, ця рівність виконується, якщо існує кожен з вхідних в нього інтегралів.

ba

8)∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx

ab

Узагальнена теорема про середній. Якщо функції f(x) і (x) ϕбезперервні на відрізку [а, b], і функція (х) ϕзнакопостоянна на нім, то на цьому відрізку існує крапкаε, така, що

∫ f (x)ϕ(x)dx = f (ε)∫ϕ(x)dx

Обчислення певного інтеграла.

b

Хай в інтегралі ∫ f (x)dx нижня межа а = const, а верхня межа b змінюється.

a

Очевидно, що якщо змінюється верхня межа, то змінюється і значення інтеграла.

x

Позначимо ∫ f (t)dt = Ф(х). Знайдемо похідну функції Ф(х) по змінній верхній

a

межі х.

d ∫x f (t)dt = f (x) dx a

70