Документ: Частина 2, страницы 76-80 | База учебных материалов

Материал: Частина 2

Смотрите также:

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Оскільки інтеграція проводиться в околиці точки х=0, то можна скористатися для розкладання підінтегральної функції формулой Маклорена.

Розкладання функції cosx має вигляд:

x

2

x

4

x

6

x

2n

∞

x

2n

cos x =1−

+

−

+... + (−1)n

+... = ∑(−1)n

(2n)!

2!

4!

6!

n=0

Знаючи розкладання функції cosх легко знайти функцію 1 – cosx:

x

2

x

4

x

6

x

2n

∞

x

2n

1 − cos x =

−

+

−... + (−1)n+1

+... = ∑(−1)n+1

(2n)!

2!

4!

6!

n=1

У цій формулі підсумовування проводиться по п від 1 до безкінечності, а в попередній

– від 0 до безкінечності. Це – не помилка, так виходить в результаті перетворення.

Тепер представимо у вигляді ряду підінтегральний вираз.

1 − cos x	=	1	−	x2	+	x4	−... + (−1)	n−1 x2n−2

x2		2!		4!		6!			(2n)!

Тепер представимо наш інтеграл у вигляді:

∞	x	2n−2
+...+ = ∑(−1)n−1	x
+...+ = ∑(−1)n−1	(2n)!
n=1	(2n)!

x2n−2

(2n)! dx

У наступній дії буде застосована теорема про почленном інтеграцію ряду. (Тобто інтеграл від суми буде представлений у вигляді суми інтегралів членів ряду).

Взагалі кажучи, із строго теоретичної точки зору для застосування цієї теореми треба довести, що ряд сходиться і, більш того, сходиться рівномірно на відрізку інтеграції [0, 0,5]. Ці питання будуть детально розглянуті пізніше (Див. .Действия со степенными рядами) Відзначимо лише, що в нашому випадку подібна дія справедлива хоч би по властивостях певного інтеграла (інтеграл від суми рівний сумі інтегралів).

Отже:

0,51 − cos x

0,5 ∞

n−1 x2n−2

∞

(−1)n+1

0,5

2n−2

∞

(−1)n+1

x2n−1

0,5

dx = ∫∑(−1)

dx = ∑

∫

∫x

=

x

2

(2n)!

2n −1

0

0 n=1

n=1

0

n=1

0

∞

(−1)

n+1

0,5

2n−1

= ∑

n=1

(2n)!(2n −1)

Разом, отримуємо:

0,51 − cos x

∞

(−1)n+1

1

∫

dx = ∑

=

−

+

−... =

x

2

(2n)!(2n −1)2

2n−1

4

3 2

3

4!

5 2

5

6!

0

n=1

= 0,25 − 0,00174 + 0,0000086 −... ≈ 0,248

Як видно, абсолютна величина членів ряду дуже швидко зменшується, і необхідна точність досягається вже при третьому членові розкладання.

Для довідки: Точне (вірніше – точніше) значення цього інтеграла: 0,2482725418.

76

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Невласні інтеграли.

Хай функція f(x) визначена і безперервна на інтервалі [а, ∞). Тоді вона безперервна на будь-якому відрізку [а, b].

Визначення: Якщо існує кінцева межа, то ця межа називається невласним інтегралом від функції f(x) на інтервалі [а, ∞).

Позначення:

Якщо ця межа існує і кінцевий, то говорять, що невласний інтеграл сходиться. Якщо межа не існує або нескінченний, то невласний інтеграл розходиться.

Аналогічні міркування можна привести для невласних інтегралів вигляду:

b		b
∫ f (x)dx = alim→−∞ ∫ f (x)dx
−∞		a
∞	c	∞

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx

−∞ −∞ c

Звичайно, ці твердження справедливі, якщо вхідні в них інтеграли існують.

Приклад.

∞

b

b = lim(sin b −sin 0) = lim sin b - не існує.

∫

cos xdx = lim

∫

cos xdx = lim sin x

b→∞

0

Невласний інтеграл розходиться.

Приклад.

−1 dx

=

−1 dx

=

−

1

−1

= lim

+

1

=1

- інтеграл сходиться

lim

1

∫

2

b→−∞ ∫

2

b→−∞

x

b→−∞

b

−∞ x

b x

b

	Теорема: Якщо для всіх х (x ≥ a) виконується умова 0 ≤ f (x) ≤ ϕ(x)				і інтеграл
∞	∞		∞	∞
∫ϕ(x)dx збігається, то ∫ f (x)dx також збігається і ∫ϕ(x)dx ≥ ∫ f (x)dx .
a	a		a	a
	Теорема: Якщо для всіх х (x ) виконується умова			0 ≤ ϕ(x) ≤ f (x)	і інтеграл
∞		∞
∫ϕ(x)dx розходиться, то ∫ f (x)dx теж розходиться._
a		a
	∞			∞
	Теорема: Якщо ∫	f (x)	dx сходиться, то сходиться і інтеграл ∫ f (x)dx .


	a			a

∞

В цьому випадку інтеграл ∫ f (x)dx називається таким, що абсолютно сходиться.

a

Інтеграл від розривної функції.

Якщо в точці х = з функція або невизначена, або розривна, то

c	b
∫ f (x)dx = blim→c−0	∫ f (x)dx
a	a

77

“Курс вищої математики. Частина 2.”

	b		c
Якщо	інтеграл ∫ f (x)dx існує,	то інтеграл	∫ f (x)dx -	сходиться, якщо інтеграл
	a		a
b	c
∫ f (x)dx не існує, то ∫ f (x)dx - розходиться.
a	a
			c		c
	Якщо в точці х = а функція терпить розрив, то ∫ f (x)dx = blim→a+0				∫ f (x)dx .
			a		b
Якщо функція f(x) має розрив в точці b на проміжку [а, з], то
	с	b	c
	∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx
	a	a	b

Таких крапок усередині відрізання може бути декілька.

Якщо сходяться всі інтеграли, що входять в суму, то сходиться і сумарний інтеграл.

Геометричні додатки певного інтеграла.

Обчислення площ плоских фігур.

у

+ +

0 а

-

b

x

Відомо, що певний інтеграл на відрізку є площею криволінійної трапеції, обмеженій графіком функції f(x). Якщо графік розташований нижче за вісь Ох, тобто f(x)< 0, то площа має знак “-“, якщо графік розташований вище за вісь Ох, тобто f(x)> 0, то площа має знак “+”.

Для знаходження сумарної площі використовується формула S = ∫b f (x)dx .

a

Площа фігури, обмеженої деякими лініями може бути знайдена за допомогою певних інтегралів, якщо відомі рівняння цих ліній.

Приклад. Знайти площу фігури, обмеженої лініями у = x, у = x2, x = 2.

78

“Курс вищої математики. Частина 2.”

	6
	5
	4
	3
	2
	1
-1	1	2	3	4
	-1

Шукана площа (заштрихована на малюнку) може бути знайдена по формулі:

2	2	x	3		x	2	2			8		4		1		1		5
S = ∫x2 dx − ∫xdx =				−					=		−		−		+		=		(ед2)


1	1	3		2				1		3	2		3		2		6

Знаходження площі криволінійного сектора.

ρ = f(ϕ)

	β
	α
О	ρ
Для знаходження	площі криволінійного сектора введемо полярну систему

координат. Рівняння кривої, що обмежує сектор в цій системі координат, має вигляд ρ = f(ϕ), де ρ - довжина радіус – вектора, що сполучає полюс з довільною точкою кривої, а ϕ - кут нахилу цього радіус – вектора до полярної осі.

Докладніше про полярну систему координат і її зв'язку з декартовою прямокутною системою координат див. Полярная система координат. “Курс вищої математики. Частина 1.”

Площа криволінійного сектора може бути знайдена по формулі

S = 1 ∫β f 2 (ϕ)dϕ

2 α

Обчислення довжини дуги кривої.

уу = f(x)

∆Si ∆yi ∆xi

79

“Курс вищої математики. Частина 2.”

а

b

x

n

Довжина ламаної лінії, яка відповідає дузі, може бути знайдена як Sn = ∑∆Si .

i=1

n

Тоді довжина дуги рівна S = lim ∑∆Si .

max ∆Si →0 i=1

З геометричних міркувань: В той же час

Тоді можна показати (див. Интегрируемая функция.), що

S = maxlim∆xi →0	n	b	dy	2
S = maxlim∆xi →0	∑∆Si	= ∫	1 +	dx
	i=1	a	dx

Тобто Якщо рівняння кривої задане параметрично, то з урахуванням правил обчислення

похідної параметрично заданої функції (див. Производная фунции, заданной параметрически.), отримуємо

β

S = ∫ [ϕ′(t)]2 +[ψ′(t)]2 dt ,

α

де х = (t) і у = (t).

Якщо задана просторова крива, і х = (t), у = (t) і z = Z(t), то

β

S = ∫ [ϕ′(t)]2 +[ψ′(t)]2 +[Z ′(t)]2 dt

α

Якщо крива задана в полярних координатах, то

β

S = ∫ ρ′2 + ρ2 dϕ ρ = f(ϕ).

α

Приклад: Знайти довжину кола, заданого рівнянням x2 + y2 = r2.

1 спосіб. Виразимо з рівняння змінну у. Знайдемо похідну Тоді

Тоді S = 2r. Отримали загальновідому формулу довжини кола.

2 спосіб. Якщо представити задане рівняння в полярній системі координат, то отримаємо: r2cos2ϕ + r2sin2ϕ = r2, тобто функція ρ = f(ϕ) = r, ρ′ = dfd(ϕϕ) = 0 тоді

2π 2π

S = ∫ 0 + r 2 dϕ = r ∫dϕ = 2πr

0 0

Обчислення об'ємів тіл.

Обчислення об'єму тіла по відомих площах його паралельних перетинів.

80

dx = ∫∑(−1)