Документ: Частина 2, страницы 21-25 | База учебных материалов

x −sin x

“Курс вищої математики. Частина 2.”

′

x

1

′

x

2

(1 +

2 x) ;

;

f (x) = e

g (x) =1+ e

′′

1

x

1

x

1

x

g

′′

= e

x

2

=

2 e

+

2 e

+

4 e

= 4 e

(4 + x) ;

;

f (x)

(x)

1

e

x

(4 + x)

1

(4 + x)

2

4

lim

=

= lim

ex

x

x→∞

x

→∞

e 2

f

′′′

1

g

′′′

1

e

x

1

=

;

2

;

lim

= 0;

x

(x)

4

(x) =

2

x→∞

2e 2

Слід зазначити, що правило Лопіталя – всього лише один із способів обчислення меж. Часто в конкретному прикладі разом з правилом Лопіталя може бути використаний і який – або інший метод (заміна змінних, домножение і ін.).

Приклад: Знайти межу lim ex −e−x − 2x .

x→0

′

x

+ e

−x

− 2 ;

′

f (x) = e

g (x) =1 − cos x ;

lim

ex

+ e−x

− 2

=

1+

1

− 2

=

0

-

знову

вийшла невизначеність. Застосуємо правило

1

−cos x

1

−1

0

x→0

Лопіталя ще раз.

′′

x

−e

−x

;

′′

f (x) = e

g (x) = sin x ;

lim

ex

−e−x

=

1

−

1

=

0

- застосовуємо правило Лопіталя ще раз.

sin x

0

x→0

′′′

= e

x

+ e

−x

;

g

′′′

(x)

= cos x

;

f (x)

lim

ex

+ e−x

=

2

= 2 ;

cos x

1

x→0

Невизначеності вигляду 00 ; 1∞ ; ∞0 можна розкрити за допомогою логарифмування. Такі невизначеності зустрічаються при знаходженні меж функцій

вигляду y = [f (x)]g ( x) , f(x) >0 поблизу крапки а при ха. →Для функції досить знайти межу функції lny = g(x) lnf(x).

Приклад: Знайти межу lim x x .

x→0 x>0

Тут у = xx,

lny = xlnx.

правило

Тоді

lim ln y = lim x ln x = lim

ln x

1/ x

=

= lim

1

−1/ x

2

x>0

Лопиталя

x>0

x→0

x

lim ln y = ln lim y = 0;

lim y = lim x x =1

x→0

x>0

знаходження межі такої

= −lim x = 0; . Отже

x→0 x>0

21

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Приклад: Знайти межу lim

x2

.

x→∞ e2 x

f

′

2x

;

lim

x

=

∞

;

-

отримали невизначеність. Застосовуємо

(x) = 2x;

g (x) = 2e

∞

правило Лопіталя ще раз.

x→∞ e2 x

1

f

′′

′

2 x

;

lim

=

= 0 ;

(x) = 2;

g (x) = 4e

2e2 x

∞

x→∞

Похідні і диференціали вищих порядків.

Хай функція f(x) - дифференцируема на деякому інтервалі. Тоді, диференціюючи її, отримуємо першу похідну

y′ = f ′(x) = df (x) dx

Якщо знайти похідну функції f(x), отримаємо другу похідну функції f(x).

					y	′′	=	f	′′	d 2 f (x)
						′′			′′	dx2
	d 2 y								(x) =	dx2
тобто у′′ = (y)′ або	d 2 y	=	d	dy
					.
	dx2				.
	dx2		dx dx

Цей процес можна продовжити і далі, знаходячи похідні ступені n.

d	n	y		d		n−1		y
			=		d
									.
dx		n					n−1
				dx dx

Загальні правила знаходження вищих похідних.

Якщо функції u = f(x) і v = g(x) дифференцируемы, то

1)(Сu)(n) = Cu(n);

2)(u ± v)(n) = u(n) ± v(n);

3)

(u v)

(n)

= vu

(n)

+ nu

(n−1)

v

′

+

n(n −1)

u

(n−2)

v

′′

+... +

n(n −1)...[n − (k −1)]

u

(n−k )

v

(k )

+...

2!

k!

... + uv(n) .

Цей вираз називається формулою Лейбніца.

Також по формулі dny = f(n)(x) dxn може бути знайдений диференціал n- го порядку.

Дослідження функцій за допомогою похідній.

Зростання і убування функцій.

Теорема. 1) Якщо функція f(x) має похідну на відрізку [а, b] і зростає на цьому відрізку, то її похідна на цьому відрізку ненегативна, тобто f(x) ≥ 0.

2) Якщо функція f(x) безперервна на відрізку [а, b] і дифференцируема на проміжку (а, b), причому f(x)> 0 для а < x < b, то ця функція зростає на відрізку [а, b].

22

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Доказ.

1) Якщо функція f(x) зростає, то f(x + ∆x)> f(x) при x>0 і f(x + ∆x)< f(x) при х<0

тоді:

f (x + ∆x) − f (x)	> 0,	lim	f (x + ∆x) − f (x)	≥ 0.
∆x			∆x
		∆x→0

2) Хай f(x) >0 для будь-яких точок х1 і х2, що належать відрізку [а, b], причому x1<x2.

Тоді по теоремі Лагранжа: f(x2) – f(x1)= f(ε)(x2 – x1), x1 < ε < x2

По умові f′(ε)>0, отже, f(x2) – f(x1) >0, тобто функція f(x) зростає.

Теорема доведена.

Аналогічно можна зробити вивід про те, що якщо функція f(x) убуває на відрізку [а, b], то f(x)≤0 на цьому відрізку. Якщо f(x) <0 в проміжку (а, b), то f(x) убуває на відрізку [а, b].

Звичайно, дане твердження справедливе, якщо функція f(x) безперервна на відрізку [а, b] і дифференцируема на інтервалі (а, b).

уу

ϕ

x x

Точки екстремуму.

Визначення. Функція f(x) має в точці х1 максимум, якщо її значення в цій крапці більше значень в усіх точках деякого інтервалу, що містить точку х1. Функція f(x) має в точці х2 мінімум, якщо f(x2 +x∆)> f(x2) при будь-якому х∆ (х може бути і негативним).

Очевидно, що функція, визначена на відрізку може мати максимум і мінімум тільки в крапках, що знаходяться усередині цього відрізання. Не можна також плутати максимум і мінімум функції з її найбільшим і найменшим значенням на відрізку – це поняття принципово різні.

Визначення. Точки максимуму і мінімуму функції називаються точками

екстремуму.

23

“Курс вищої математики. Частина 2.”

Теорема. (необхідна умова існування екстремуму) Якщо функція f(x)

дифференцируема в точці х = х1 і точка х1 є точкою екстремуму, то похідна функції звертається в нуль в цій крапці.

Доказ. Припустимо, що функція f(x) має в точці х = х1 максимум. Тоді при достатньо малих позитивних ∆х>0 вірне нерівність:

f(x1 + ∆x) < f (x1 ) тобто f (x1 + ∆x) − f (x1 ) < 0

Тоді
	f (x1 + ∆x) − f (x1 )		> 0	при	∆х < 0
		∆x	> 0	при	∆х < 0
		∆x
	f (x1 + ∆x) − f (x1 )		< 0	при	∆х > 0
За визначенням:		∆x	< 0	при	∆х > 0
		∆x
		f (x1 + ∆x) − f (x1 )
	lim	f (x1 + ∆x) − f (x1 )		= f ′(x1 )
	lim	∆x		= f ′(x1 )
	∆x→0	∆x

Тобто якщо ∆х0→, але ∆х<0, то f′(x1) ≥ 0, а якщо ∆х0, але х>0, то f(x1) ≤ 0.

А можливо це тільки в тому випадку, якщо при ∆х0 →f′(x1)= 0.

Для випадку, якщо функція f(x) має в точці х2 мінімум теорема доводиться аналогічно.

Теорема доведена.

Слідство. Зворотне твердження невірне. Якщо похідна функції в деякій крапці рівна нулю, то це ще не означає, що в цій крапці функція має екстремум. Красномовний приклад цього – функція у = х3, похідна якої в точці х = 0 рівна нулю, проте в цій крапці функція має тільки перегин, а не максимум або мінімум.

Визначення. Критичними точками функції називаються крапки, в яких похідна функції не існує або рівна нулю.

Розглянута вище теорема дає нам необхідні умови існування екстремуму, але цього недостатньо.

Приклад: f(x)= x	Приклад: f(x)= 3 х
у	у

x

У точці х = 0 функція має мінімум, але

В точці х = 0 функція не має ні

24

		“Курс вищої математики. Частина 2.”
не має похідної.	максимуму, ні мінімуму, ні произ-
водною.

Взагалі кажучи, функція f(x) може мати екстремум в крапках, де похідна не існує або рівна нулю.

Теорема. (Достатні умови існування екстремуму)

Хай функція f(x) безперервна в інтервалі (а, b), який містить критичну точку х1, і дифференцируема в усіх точках цього інтервалу (окрім, можливо, самої точки х1).

Якщо під час переходу через точку х1 зліва направо похідна функції f(x) міняє знак з “+” на “-“, то в точці х = х1 функція f(x) має максимум, а якщо похідна міняє знак з “-“ на “+”- те функція має мінімум.

Доказ.

f ′(x) > 0		при	x < x
Хай			1
Хай	′	при	x > x1
f	(x) < 0	при	x > x1
По теоремі Лагранжа:			f(x) – f(x1)= f(ε)(x – x1), де x < ε < x1.
Тоді: 1) Якщо х < x1, то ε < x1;				f′(ε)>0;	f(ε)(x – x1)<0, отже
			f(x) – f(x1) <0 або		f(x)< f(x1).
2) Якщо х > x1, то ε > x1 f′()<0;				f(ε)(x – x1)<0, отже
			f(x) – f(x1) <0 або		f(x)< f(x1).

Т. до. відповіді співпадають, то можна сказати, що f(x)< f(x1) в будь-яких крапках поблизу х1, тобто х1 – точка максимуму.

Доведення теореми для точки мінімуму проводиться аналогічно.

Теорема доведена.

На основі вищесказаного можна виробити єдиний порядок дій при знаходженні найбільшого і найменшого значення функції на відрізку:

1)Знайти критичні точки функції.

2)Знайти значення функції в критичних крапках.

3)Знайти значення функції на кінцях відрізання.

4)Вибрати серед набутих значень найбільше і найменше.

Дослідження функції на екстремум з допомогою похідних вищих порядків.

Хай в точці х = х1 f′(x1)= 0 і f′′(x1) існує і безперервна в деякій околиці точки х1.

Теорема. Якщо f′(x1)= 0, то функція f(x) в точці х = х1 має максимум, якщо f′′(x1) <0 і мінімум, якщо f′′(x1) >0.

Доказ.

25

Материал: Частина 2

Смотрите также: