Материал: Численное решение задач адсорбционного переноса вещества в пористых средах

. (1.9)

Когда член  в (1.9) намного меньше чем  получаем необратимую кинетическую модель первой степени, где интенсивность изменения адсорбированной массы зависит только от константы  и , а не от количества адсорбированной массы.

Стенки порового пространства могут содержать из различные химические вещества, минералы. Например, поверхность породы может состоять из органических материалов, глин, алюминия, железа, кварца и др. в различных сочетаниях. Химическое вещество при движении в порах с различными компонентами среды может взаимодействовать различным образом, т.е. с различной интенсивностью. Вещество может быстро адсорбироваться органическими компонентами поверхности пор (мгновенная, равновесная адсорбция), а различными минеральными компонентами среды - медленно (кинетическая адсорбция), или наоборот.

2. Перенос вещества в пористой среде, насыщенной неподвижной и подвижной жидкостью

В последнее время вопросы утилизации различных загрязняющих веществ (примесей) путем закачки их в подземные резервуары (проницаемые пласты) вместе с водой приобретают все большее значение. Техническая реализация метода тесно связана с разработкой методов оценки и расчёта показателей процесса, что в свою очередь, позволяет оценить риск в смысле экологической безопасности. Изучение переноса вещества в пористой среде важно и с точки зрения анализа и проектирования вторичных и третичных методов добычи нефти, определения характеристик подземных водоносных пластов путем закачки различных трайсеров, подземном выщелачивании пластов и др. [5, 10, 14, 23, 31]. Для качественной и количественной оценки характеристик переноса веществ в пористых средах важное значение имеет адекватное математическое моделирование, учитывающее основные характерные особенности процесса. Вопросам математического моделирования переноса веществ в пористых средах посвящен ряд работ [2, 3, 6, 28].

Как показывает практика эксплуатации нефтяных месторождений с неоднородными коллекторами, отбор воды из неоднородных пластов, в определенных зонах с плохими фильтрационно-емкостными свойствами, флюиды могут оставаться неподвижными или малоподвижными даже при значительных градиентах давления. Такие зоны обычно считаются застойными, а поры в таких зонах считаются "мертвыми". Математическое моделирование процессов переноса вещества в таких средах впервые осуществлено в [7, 25]. Массообмен между зонами с подвижной и неподвижной жидкостью в этих моделях описывается с помощью кинетического уравнения первого порядка. Дальнейший анализ с помощью альтернативных подходов, использующих определенную геометрию зон с неподвижной жидкостью и диффузионное уравнение в них [21, 22], а также экспериментальные работы [11, 12] показали, что в ряде случаев модельный подход [7, 25] дает хорошие результаты. Применительно к задачам миграции солей при промывке почв данный подход применен в [27, 29]. В этих работах в зоне с подвижной жидкостью поры считаются транзитными, а зона с неподвижной жидкостью трактуется как зона, насыщенная неподвижной, связанной водой. В данной работе рассмотрим задачи переноса вещества в двухзонном пласте с учетом адсорбции вещества в зоне с подвижной жидкостью. Адсорбцию считаем неравновесной, описываемой кинетическим уравнением первого порядка [8, 19, 32].

Рассмотрим пористую среду, состоящую из двух зон: 1) зона с пористостью , где поры являются транзитными для жидкости - зона с подвижной жидкостью; 2) зона с неподвижной жидкостью (с неподвижной, связанной водой), пористостью  (Рис.2.1.)

Рис.2.1. Пористая среда с двумя зонами: с транзитными порами () и связанной, неподвижной жидкостью ().

Пористую среду считаем полубесконечной, одномерной, зону  равномерно распределенной в . Последнее предположение позволяет не сделать никаких допущений относительно геометрической формы агрегатов зоны . Элементы зоны  с определенной геометрической формой и вопросы переноса веществ, как указывалось выше, исследовались в [21, 22]. Считаем также, что адсорбция вещества происходит только в зоне , хотя в более общем случае необходимо учитывать адсорбционные явления в обеих зонах, где кинетика адсорбции может значительно отличаться [22]. В зоне  за счет неоднородности распределения скоростей движения жидкости в порах обычно происходит гидродинамическая дисперсия вещества, что приводит к линейной зависимости коэффициента дисперсии от скорости движения жидкости в порах [2, 3]. Здесь для простоты принимается постоянный коэффициент дисперсии , что, очевидно, следует понимать как некоторый эффективный коэффициент.

3. Решение задачи переноса вещества в пористой среде, насыщенной подвижной и неподвижной жидкостью

В этом параграфе решается задачи переноса вещества в пористой среде. В зависимости от вида кинетик адсорбции и внутреннего массообмена рассмотрим несколько случаев.

.1 Линейная кинетика адсорбции и внутреннего массообмена

В рамках сделанных допущений (приведеные в параграфе 2) уравнение переноса вещества в  можно записать в виде

, (3.1)

где  - концентрация вещества, мі/мі,  - скорость фильтрации, м/с,  -концентрация вещества в зоне ,  - концентрация адсорбированного вещества, ,  - общая плотность пористой среды, кг/мі.

В (3.1) член с  характеризует внутридиффузионный массообмен из зоны  в . Для его оценки можно использовать решение задачи диффузии из  в , представленную как геометрические тела определенной формы (цилиндры, шары и др.) [21, 22]. Здесь мы используем подход, когда массообмен определяется как кинетический процесс первого порядка [1, 7, 25, 27]. Таким образом, внутридиффузионный массообмен определяется кинетическим уравнением

, (3.2)

где  - const.

В зоне  происходит неравновесная адсорбция вещества, кинетика которой определяется, как и внутридиффузионный массообмен, уравнением первого порядка [8, 19]

, (3.3)

 - const.

Пусть в первоначально насыщенную чистой (без вещества) жидкостью среду с начального момента времени закачивается жидкость с постоянной концентрацией вещества . Рассмотрим такие периоды времени, где концентрационное поле не достигает правой границы среды, . При отмеченных допущениях начальные и граничные условия для задачи имеют вид

. (3.4)

Необходимо определить поля концентрации, адсорбированного вещества, диффундированного вещества из  в .

Задача (3.1) - (3.4) хотя и является линейной, получение аналитического решения является сложным, т.к. необходимо найти одновременно три поля. Поэтому для решения задачи применяем метод конечных разностей [30]. В рассматриваемой области

введена равномерная по направлениям сетка

,

где I - достаточно большое целое число, выбираемое так, чтобы отрезок [], , перекрывал область расчетного изменения полей с, S и N, h - шаг сетки по направлению х.

В открытой сеточной области

аппроксимировались уравнения (3.1), (3.2), (3.3) следующим образом:

 (3.5)

, (3.6)

, (3.7)

где , ,  - сеточные значения функций , ,  в точке .

Из явных сеточных уравнений (3.6), (3.7) определяем ,

, (3.8)

, (3.9)

где , ,

, .

Сеточные уравнения (3.5) приводятся к виду

, (3.10)

где , , ,

.

Устанавливается следующий порядок расчета решений. По (3.8), (3.9) определяются , , затем решая систему линейных уравнений (3.10) методом прогонки - .

Поскольку, схемы (3.8), (3.9) устойчивы, а для (3.10) условия устойчивости метода прогонки выполняются. Некоторые результаты расчетов для определенного набора значений исходных параметров приведены на рис.3.1-3.8.

Анализ графиков показывает, что за счет поступления вещества в среде формируются три поля с, S, N, которые продвигаются по пласту с течением времени. Можно наблюдать увеличение концентрации адсорбированного вещества и внутреннего массообмена в каждой точке пласта, включая точку х=0 .

Вещество попадая в среду вместе с несущий жидкостью может находиться во взвешенном состоянии (поле ), адсорбироваться (поле ) или диффундировать в зону с неподвижной жидкостью (поле ).

Взаимораспределение этих полей отражены на графиках (рис.3.1-3.8). Сравнивая графики рис.3.1-3.3, построенные для различных значений параметра  (при неизменных других параметрах) можно заметить запаздывающую динамику развития профилей N. C увеличением значения  переходной процесс затягивается.

На рис.3.4, 3.5 отражены результаты при увеличении значений параметра .

Рис.3.1. Профили концентраций с/с 0 (а), S (б), N (в) при  с^-1,  с^-1,  с в различные моменты времени.

Рис.3.2. Профили концентраций (а), S (б), N (в) при  с^-1,  с^-1,  с в различные моменты времени.

Рис.3.3. Профили концентраций (а), S (б), N (в) при  с^-1,  с^-1,  с в различные моменты времени.

Рис.3.4. Профили концентраций (а), S (б), N (в) при  с^-1,  с^-1,  с в различные моменты времени.

Рис.3.5. Профили концентраций  (а), S (б), N (в) при  с^-1,  с^-1,  с в различные моменты времени.

Рис.3.6. Профили концентраций  (а), S (б), N (в) при  с^-1,  с^-1, с в различные моменты времени.

Рис.3.7. Профили концентраций  (а), S (б), N (в) при  с^-1,  с^-1, с в различные моменты времени.