Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.3.2003
âðåìåíè âåñüìà ïîëåçíûì ÿâëÿåòñÿ ââåäåíèå ê î ì ï ë å ê ñ í î é à á ñ î ë þ ò í î é
ä è ý ë å ê ò ð è ÷ å ñ ê î é ï ð î í è ö à å ì î ñ ò è:
&
&
&
cos
sin .
e
e
e
y
e
y
y
=
=
=
-
-
D
E
e
j
m
m
j
Ïðè ýòîì
y
åñòü óãîë, íà êîòîðûé çàïàçäûâàåò ïî ôàçå ñèíóñîèäàëüíî èçìå-
íÿþùååñÿ ýëåêòðè÷åñêîå ñìåùåíèå
D
îò ñèíóñîèäàëüíî èçìåíÿþùåéñÿ íàïðÿ-
æåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
E
. Ýòîò óãîë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òàê íàçûâàåìûé
óãîë ïîòåðü â äèýëåêòðèêå.
 ýòîì ñëó÷àå ïåðâîå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà äëÿ ïëîñêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé
âîëíû ïðèîáðåòàåò âèä
-
=
dH
dz
j
E
my
mx
&
& &
.
we
Ââåäåíèåì êîìïëåêñíîé äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ìîæíî ó÷åñòü è
ïîòåðè â ñðåäå îò òîêîâ ïðîâîäèìîñòè, ÷òî âåñüìà âàæíî, êîãäà ðàññìàòðèâàåòñÿ
ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â íåñîâåðøåííîì äèýëåêòðèêå, èìåþùåì îòëè÷íóþ îò
íóëÿ óäåëüíóþ ïðîâîäèìîñòü
g
, è êîãäà ïëîòíîñòè òîêîâ ñìåùåíèÿ è ïðîâîäè-
ìîñòè ñîèçìåðèìû äðóã ñ äðóãîì. Ïðè ýòîì ïåðâîå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà ïðèíè-
ìàåò âèä
-
=
+
=
-
æ
è
ç
ö
ø
÷
dH
dz
E
j
E
j
j
E
my
mx
mx
mx
&
&
& &
&
&
.
g
we
w e
g
w
Îáîçíà÷àÿ
&
cos
sin
&
,
e
g
w
e
y
e
y g
w
e e
y
-
=
-
+
æ
è
ç
ö
ø
÷ = =
-
j
j
e
j
'
'
'
ìîæåì ýòî óðàâíåíèå íàïèñàòü â ôîðìå
-
=
dH
dz
j
E
my
m
&
& &
,
we
'
ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íîé ôîðìå ýòîãî æå óðàâíåíèÿ
-
=
dH
dz
j
E
my
m
&
&
we
äëÿ äèýëåêòðèêà, â êîòîðîì îòñóòñòâóþò ïîòåðè.
Òàêèì îáðàçîì, èñïîëüçîâàíèå ïîíÿòèé î êîìïëåêñíîé ìàãíèòíîé ïðîíèöàå-
ìîñòè è î êîìïëåêñíîé äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè äàåò âîçìîæíîñòü íà-
ïèñàòü îñíîâíûå óðàâíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðè ïåðèîäè÷åñêèõ ïðî-
öåññàõ â ïðîñòîé è ñèììåòðè÷íîé ôîðìå è â îáùåì ñëó÷àå, êîãäà â ñðåäå èìåþò
ìåñòî ïîòåðè ýíåðãèè òîãî èëè èíîãî âèäà.
30.8. Íåðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïåðåìåííîãî ìàãíèòíîãî
ïîòîêà â ïëîñêîì ëèñòå
Èññëåäóåì ñëó÷àé, êîãäà ïëîñêèé ïðîâîäÿùèé ëèñò ïðîíèçûâàåòñÿ ïåðåìåííûì
ñèíóñîèäàëüíûì ïîòîêîì
F
, ëèíèè ìàãíèòíîé èíäóêöèè êîòîðîãî íàïðàâëåíû
Ãëàâà 30. Ïåðåìåííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â ïðîâîäÿùåé ñðåäå
251
âäîëü ëèñòà ïåðïåíäèêóëÿðíî çàøòðèõîâàííîìó íà ðèñ. 30.10 ñå÷åíèþ. Ðàññìîò-
ðåíèå ýòîãî ñëó÷àÿ ïðåäñòàâëÿåò áîëüøîé èíòåðåñ, òàê êàê ñåðäå÷íèêè òðàíñ-
ôîðìàòîðîâ è ýëåêòðîìàãíèòîâ, à òàêæå ó÷àñòêè ìàãíèòíûõ öåïåé ýëåêòðè÷åñêèõ
ìàøèí, ïðîíèçûâàåìûå ïåðåìåííûì ìàãíèòíûì ïîòîêîì, îáû÷íî ñîáèðàþò èç
ëèñòîâîé ýëåêòðîòåõíè÷åñêîé ñòàëè. Ïåðåìåííûé ìàãíèòíûé ïîòîê èíäóöèðóåò
ýëåêòðîäâèæóùèå ñèëû â êîíòóðàõ, ðàñïîëîæåííûõ â ïëîñêîñòÿõ, íîðìàëüíûõ
ê ëèíèÿì ìàãíèòíîé èíäóêöèè. Â ýòèõ êîíòóðàõ ïîä äåéñòâèåì èíäóöèðîâàí-
íûõ ÝÄÑ âîçíèêàþò âèõðåâûå òîêè. Êàê ìàãíèòíûé ïîòîê, òàê è âèõðåâîé òîê
ðàñïðåäåëÿþòñÿ íåðàâíîìåðíî ïî ñå÷åíèþ ëèñòà. Îáû÷íî äëèíà
l
ëèñòà è åãî
âûñîòà
h
(ðèñ. 30.10) çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäÿò åãî òîëùèíó
d
. Ïðè ýòîì ìîæíî
ïðåíåáðå÷ü èñêðèâëåíèåì ëèíèé òîêà ó êðàåâ ëèñòà è
ñ÷èòàòü ëèíèè òîêà ïðÿìûìè, íàïðàâëåííûìè ïàðàë-
ëåëüíî ïîâåðõíîñòè ëèñòà è ïåðïåíäèêóëÿðíî ëèíè-
ÿì ìàãíèòíîé èíäóêöèè. Ðàñïîëîæèì îñè êîîðäèíàò
òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 30.10, ò. å. òàê, ÷òîáû, êàê è
ðàíüøå, âåêòîð
E
áûë ïàðàëëåëåí îñè
OX
è âåêòîð
H
áûë ïàðàëëåëåí îñè
OY
. Íà÷àëî êîîðäèíàò ïîìåñòèì
â ñåðåäèíå ñå÷åíèÿ ëèñòà. Ïðè
h
>>
d
è
l
>>
d
ýëåêòðî-
ìàãíèòíóþ âîëíó ìîæíî ñ÷èòàòü ïëîñêîé. Ñäåëàåì
äîïóùåíèå, ÷òî
m =
const. Ïðè ýòîì îñòàþòñÿ â ñè-
ëå óðàâíåíèÿ, ïîëó÷åííûå â § 30.1. Ñëåäîâàòåëüíî,
èìååì
&
;
&
&
,
H
A e
A e
E
dH
dz
m
z
z
m
m
=
+
= -
-
1
2
1
a
a
g
ãäå
a
wmg
wmg
=
= +
= +
j
j
j k
(
)
(
) .
1
2
1
Îäíàêî ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ òåïåðü îêàçûâàþòñÿ èíûìè, íåæåëè äëÿ ñëó÷àÿ,
èññëåäîâàííîãî â § 30.1. Ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû ïðîíèêàþò â ëèñò ñ äâóõ åãî
ñòîðîí, è íà îáåèõ ïîâåðõíîñòÿõ ëèñòà âåêòîðû
B
è ñîîòâåòñòâåííî âåêòîðû
H
äîëæíû áûòü îäèíàêîâû ïî âåëè÷èíå è íàïðàâëåíèþ. Ýòî òðåáîâàíèå ñîáëþäà-
åòñÿ ïðè óñëîâèè
A
1
=
A
2
=
A
. Ñëåäîâàòåëüíî,
&
(
)
;
H
A e
e
A
z
m
z
z
=
+
=
-a
a
a
2
ch
&
&
;
B
A
z
B
z
m
m
=
=
2
0
m a
a
ch
ch
&
&
&
,
J
E
A
z
B
z
m
m
m
=
= -
= -
g
a a
a
m
a
2
0
sh
sh
ãäå
&
B
m
0
=
2
A
m
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çíà÷åíèå
&
B
m
â ñåðåäèíå ëèñòà (ïðè
z
=
0).
Îáû÷íî íàñ èíòåðåñóåò ñðåäíåå çíà÷åíèå
B
ñð
èíäóêöèè ïî ñå÷åíèþ ëèñòà. Êîì-
ïëåêñíàÿ àìïëèòóäà ýòîãî ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ïîëó÷àåòñÿ êàê ñðåäíåå çíà÷åíèå
êîìïëåêñíîé âåëè÷èíû
&
B
m
íà òîëùèíå ëèñòà:
252
×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
Ðèñ. 30.10
&
&
&
&
B
d
B dz
B
d
z dz
B
d
d
m
m
d
d
m
d
d
m
ñð
ch
sh
=
=
=
-
-
ò
ò
1
2
2
2
2
0
2
2
0
a
a
a
.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñàìèõ äåéñòâèòåëüíûõ àìïëèòóä èíäóêöèè è ïëîòíîñòè
òîêà íåîáõîäèìî âçÿòü ìîäóëè íàéäåííûõ âûðàæåíèé. Èìååì
a
d
k
d
2
2
2
=
;
sh
sh
sh
ch
a
z
kz
jkz
kz
jkz
kz
kz
2
2
2
=
+
-
=
-
(
) (
)
cos
;
2
ch
ch
ch
ch
a
z
kz
jkz
kz
jkz
kz
kz
2
2
2
=
+
-
=
+
(
)
(
)
cos
.
2
Ñëåäîâàòåëüíî,
B
B
kz
kz
B
kz
kz
m
m
m
m
=
+
=
-
0
0
2
2
2
2
ch
ch
2
2
cos
;
cos
.
J
a
m
Íà ðèñ. 30.11 ïðèâåäåíà êðèâàÿ
B
m
/
B
m
0
â ôóíêöèè
2
kz
. Íà ïîâåðõíîñòè ëèñòà
z
=
d
/2 è 2
kz
=
kd
. Äëÿ ýëåê-
òðîòåõíè÷åñêîé ëèñòîâîé ñòàëè èìååì
m »
1000
m
0
,
g =
10
7
Ñì/ì, è ïðè
f
=
50 Ãö,
d
=
0,5 ìì ïàðàìåòð
kd
=
= wmg
2
d
èìååò çíà÷åíèå
kd
=
0,7.
Èç êðèâîé íà ðèñ. 30.11 âèäíî, ÷òî ïðè ýòîì çíà÷å-
íèè
kd
íåðàâíîìåðíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ìàãíèòíîãî ïî-
òîêà åùå ïðàêòè÷åñêè íå çàìåòíà.
Îäíàêî ïðè òîé æå òîëùèíå ëèñòà è
f
=
2000 Ãö ïî-
ëó÷àåì
kd
=
4,4, è ñîîòâåòñòâåííî îòíîøåíèå àìïëè-
òóäû èíäóêöèè íà ïîâåðõíîñòè
B
me
ê àìïëèòóäå èíäóê-
öèè
B
m
0
â ñåðåäèíå ëèñòà îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì
B
me
/
B
m
0
=
4,5. Îòñþäà âèäíî, ÷òî äëÿ çâóêîâûõ ÷àñòîò
òîëùèíà ëèñòà 0,5 ìì íåäîïóñòèìî âåëèêà. Ïðè çâóêîâûõ ÷àñòîòàõ îíà äîëæíà
áûòü ïîðÿäêà 0,05—0,10 ìì. Ïðè ðàäèî÷àñòîòàõ óæå è ïðè òàêèõ ìàëûõ òîëùè-
íàõ ëèñòà ïîòîê ðàñïðåäåëÿåòñÿ âåñüìà íåðàâíîìåðíî ïî òîëùèíå ëèñòà — âèõ-
ðåâûå òîêè ñèëüíî îñëàáëÿþò ïîëå â ñåðåäèíå ëèñòà. Ïðè âûñîêèõ ÷àñòîòàõ íà-
õîäÿò ïðèìåíåíèå ñåðäå÷íèêè, ñïðåññîâàííûå èç òîí÷àéøåãî ôåððîìàãíèòíîãî
ïîðîøêà è èçîëèðóþùåãî ìàòåðèàëà.
Îïðåäåëèì ïîòåðè
P
â
íà âèõðåâûå òîêè â ëèñòå ñ ó÷åòîì íåðàâíîìåðíîñòè
ðàñïðåäåëåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà. Àêòèâíàÿ ìîùíîñòü, ðàñõîäóåìàÿ â ïðîâîäÿ-
ùåé ñðåäå è îòíåñåííàÿ ê åäèíèöå îáúåìà, ðàâíà êâàäðàòó äåéñòâóþùåé ïëîòíî-
ñòè òîêà, äåëåííîìó íà óäåëüíóþ ïðîâîäèìîñòü ñðåäû. Ñëåäîâàòåëüíî,
dP
dV
B
kz
kz
m
m
â
ch
= æ
è
ç
ö
ø
÷ =
-
1
2
4
2
2
2
0
2
2
g
a
m g
J
(
2
cos
).
Ãëàâà 30. Ïåðåìåííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â ïðîâîäÿùåé ñðåäå
253
Ðèñ. 30.11
Òàê êàê
| a |
= wmg
, òî
dP
dV
B
kz
kz
m
â
(
2
=
-
w
m
4
2
0
2
ch
cos
).
Âûðàçèì
B
m
0
÷åðåç àìïëèòóäó ñðåäíåé ïî ñå÷åíèþ ëèñòà èíäóêöèè èç óðàâ-
íåíèÿ
B
B
d
d
B
kd
kd
kd
B
kd
kd
k
m
m
m
m
ñð
=
=
-
=
-
0
0
0
2
2
2
2
2
sh
ch
ch
a
a
cos
cos
d
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
dP
dV
B
k d
kz
kz
kd
kd
m
â
ñð
2
2
=
-
-
w
m
4
2
2
2
ch
ch
cos
cos
.
Ïîòåðè
P
â
â îáúåìå âñåãî ëèñòà ïîëó÷èì, óìíîæàÿ óäåëüíûå ïîòåðè
dP
â
/
dV
íà
äëèíó
l
, íà âûñîòó
h
è íà ýëåìåíò òîëùèíû
dz
ëèñòà è èíòåãðèðóÿ ïî òîëùèíå
ëèñòà:
P
l h
dP
dV
dz
B
l h
kd
kd
kd
kd
d
d
m
â
â
ñð
sh
ch
=
=
-
-
-
ò
2
2
2
4
2
w
m
sin
cos
kd
.
Òàêèì îáðàçîì, ïîòåðè, îòíåñåííûå ê åäèíèöå îáúåìà âñåãî ëèñòà, âûðàæàþò-
ñÿ â âèäå
¢ =
=
-
-
P
P
l hd
B
kd
kd
kd
kd
kd
m
â
â
ñð
sh
ch
2
w
m
4
sin
cos
.
Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè
kd
< 1 ýòî âûðàæåíèå ïåðåõîäèò â ôîðìóëó
¢ =
P
k f
d B
m
â
ô
ñð
4
3
2
2
2
2
g
,
ïîëó÷åííóþ â ÷. III, åñëè ïðåíåáðå÷ü ÿâëåíèåì ïîâåðõíîñòíîãî ýôôåêòà.  ïî-
ñëåäíåé ôîðìóëå
k
ô
= p
2 2
— êîýôôèöèåíò ôîðìû ñèíóñîèäû.
30.9. Íåðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå òîêà â öèëèíäðè÷åñêîì
ïðîâîäå êðóãëîãî ñå÷åíèÿ
Ðàññìîòðèì ÿâëåíèå ïîâåðõíîñòíîãî ýôôåêòà ïðè ïðîõîæäåíèè ïåðåìåííîãî
òîêà ïî öèëèíäðè÷åñêîìó ïðîâîäó êðóãëîãî ñå÷åíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îáðàò-
íûé ïðîâîä íàõîäèòñÿ íàñòîëüêî äàëåêî, ÷òî âëèÿíèåì ïåðåìåííîãî ìàãíèòíîãî
ïîòîêà, âûçâàííîãî òîêîì â íåì, íà ðàñïðåäåëåíèå òîêà â èññëåäóåìîì ïðîâîäå
ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Åñòåñòâåííî âûáðàòü öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû
r
,
z
è
q
,
ñîâìåñòèâ îñü
OZ
ñ îñüþ ïðîâîäà (ðèñ. 30.12). Ëèíèè ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà íà-
ïðàâëåíû ïàðàëëåëüíî îñè
OZ
. Âñëåäñòâèå îñåâîé ñèììåòðèè ëèíèè ìàãíèòíîé
èíäóêöèè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îêðóæíîñòè, ëåæàùèå â ïëîñêîñòÿõ, íîðìàëüíûõ
ê îñè ïðîâîäà, ñ öåíòðàìè íà ýòîé îñè. Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð
J
èìååò åäèíñòâåí-
254
×àñòü 4. Òåîðèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
íóþ ñîñòàâëÿþùóþ
J
z
è âåêòîð
H
— åäèíñòâåííóþ
ñîñòàâëÿþùóþ
H
q
. Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì îïóñ-
òèì èíäåêñû ó
J
z
è
H
q
. Îäíàêî áóäåì ïîìíèòü, ÷òî
J
è
H
ñóòü ïðîåêöèè âåêòîðîâ, à íå èõ ìîäóëè è,
ñëåäîâàòåëüíî, îíè ìîãóò èìåòü êàê ïîëîæèòåëü-
íûå, òàê è îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ.  ñèëó îñåâîé
ñèììåòðèè
J
è
H
çàâèñÿò òîëüêî îò
r
.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñâÿçè ìåæäó
J
è
H
âîñïîëüçó-
åìñÿ óðàâíåíèÿìè:
rot
rot
H
E
H
E
=
= -
=
J
J
;
;
.
m ¶
¶
g
t
1
Ìàãíèòîäâèæóùàÿ ñèëà âäîëü êîíòóðà
abcda
, îãðàíè÷èâàþùåãî çàøòðèõî-
âàííóþ íà ðèñ. 30.12 ïëîùàäêó, ðàâíà
-
+
+
æ
è
ç
ö
ø
÷ +
=
+
Hr d
H
H
r
dr
r
dr d
H
r
r dr d
H dr d
q
¶
¶
q ¶
¶
q
q
(
)
,
ïðè÷åì â ïðàâîé ÷àñòè îòáðîøåí ÷ëåí òðåòüåãî ïîðÿäêà ìàëîñòè.
Âåëè÷èíà ïëîùàäêè, îãðàíè÷åííîé êîíòóðîì
abcda
, ðàâíà
ds
=
r d
q
dr
. Ñëåäî-
âàòåëüíî, â äàííîì ñëó÷àå, êîãäà âåêòîð
H
èìååò òîëüêî îäíó ñîñòàâëÿþùóþ
H
q
=
H
, ïîëó÷èì
rot
z
H
=
+
¶
¶
H
r
H
r
,
è ïåðâîå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
¶
¶
H
r
H
r
+
=
J
.
(*)
Ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà âäîëü êîíòóðà
gkmng
,
îãðàíè÷èâàþùåãî çàøòðèõîâàííóþ íà ðèñ. 30.13
ïëîùàäêó, èìååò çíà÷åíèå
E dz
E
E
r
dr dz
E
r
dr dz
-
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
= -
¶
¶
¶
¶
.
Ðàçäåëèâ íà âåëè÷èíó ïëîùàäêè
ds
=
dr dz
, ïî-
ëó÷àåì â äàííîì ñëó÷àå, êîãäà âåêòîð
E
èìååò
òîëüêî îäíó ñîñòàâëÿþùóþ
E
z
=
E
,
rot
q
¶
¶
E
= -
E
r
.
Ñëåäîâàòåëüíî, âòîðîå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà ìîæåò áûòü íàïèñàíî â ôîðìå
-
= -
¶
¶
m ¶
¶
E
r
H
t
èëè
¶
¶
mg ¶
¶
J
r
H
t
=
.
(**)
Ãëàâà 30. Ïåðåìåííîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â ïðîâîäÿùåé ñðåäå
255
Ðèñ. 30.12
Ðèñ. 30.13