Курсовая работа (т): Доказательства новых математических фактов с помощью свойств центра масс

Доказательства новых математических фактов с помощью свойств центра масс

План

Введение

Глава 1. Определение центра масс

. Физическое определение центра масс

. Математическое определение центра масс

. Свойства центра масс

Глава 2. Решение геометрических задач барицентрическим методом

. Положительные массы

. Отрицательные массы

. Комплексные массы

Заключение

Литература

Введение

Барицентрические координаты введены Августином Фердинандом Мёбиусом (1790-1868) в 1828 г. Приставка "бари" означает тяжелый (от греч. bario); поэтому «барицентр» означает центр тяжести (центр масс).

Родоначальником метода барицентрических координат был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в ІІІ в. до н, э. он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс.

В первой и второй главах раскрывается идея барицентрического подхода. Сущность его состоит в том, что наше внимание концентрируется на определенных точках-центрах масс каких-то систем материальных точек, связанных с рассматриваемой геометрической задачей. Из механических соображений эти точки появляются совершенно естественно. Геометрически же целесообразность рассмотрения именно этих точек заранее неясна; и вдруг чудесным образом оказывается, что их использование позволяет быстро найти (и строго обосновать) решение трудной геометрической задачи. Для решения геометрических задач целесообразно распространить понятие центра масс на случай материальных точек и с отрицательными массами об этом говорится во второй главе, применении изложенных идей к задачам популяционной генетики. И рассматривается закон Харди-Вайнберга.

Глава 1. Определение центра масс

. Физическое определение центра масс

В физике под материальной точкой понимают тело, размерами которого можно пренебречь при сравнении их с расстояниями до других тел, рассматриваемых в задаче. Для упрощения рассуждений такое «малое» тело рассматривают как геометрическую точку (т. е. считают, что вся масса тела сосредоточена в одной точке). Если в точке А сосредоточена масса m, то будем эту материальную точку обозначать через mА, т. е. будем записывать материальную точку в виде «произведения».

Рассмотрим два небольших шарика, имеющих массы m₁ и m₂, соединенных жестким «невесомым» стержнем. На этом стержне имеется такая замечательная точка Z, что если подвесить всю систему в этой точке, то она будет в равновесии - ни один из шариков не «перетянет». Эта точка Z и есть центр масс двух рассматриваемых материальных точек с массами m₁ и m₂.

Рис. 1

Такая же картина наблюдается и для большего числа материальных точек. Представим себе, что в некоторой области пространства (например, внутри некоторого куба) находятся п массивных шариков с массами т₁, т₂, ..., т_n. Размеры шариков предполагаем малыми (по сравнению с наименьшим из расстояний между ними). Иначе говоря, речь идет об n материальных точках m₁А₁, m₂А₂, …, m_nA_n. Будем полагать, что вся рассматриваемая область заполнена веществом пренебрежимо малой массы по сравнению с массой каждого шарика (пенопласт); мы полагаем, что этот пенопласт не гнется, не сжимается, не растягивается. Материальные точки «сидят» в нем неподвижно. Можно представлять себе картину и иначе: рассматриваемые шарики соединены «невесомыми» стержнями в одну жесткую систему. Если выбрать произвольную точку одного из соединяющих стержней и подвесить всю систему на ниточке, закрепленной в этой точке, то рассматриваемая система, вообще говоря, не окажется в состоянии равновесия, одна часть «перетянет».

Но есть такая замечательная точка Z, что если мы подвесим всю систему на вертикальной ниточке, прикрепленной в точке Z (считая, что один из стержней проходит через эту точку, рис. 1), а затем как угодно повернем систему вокруг точки Z, успокоим и отпустим, то она останется в равновесии. Такую точку Z называют центром масс, или барицентром системы материальных точек (8).

. Математическое определение центра масс

Для того чтобы с помощью понятия центра масс получать математически корректные решения геометрических задач, непригодно определение центра масс с помощью «подвешивания на ниточке». Следует разъяснить точный математический смысл понятия центра масс с помощью геометрических терминов.

Выражение «материальная точка mА» будет означать: «Точка А вместе с числом m, которое ей сопоставлено». Число m будем называть массой материальной точки mА; всегда будет предполагаться, что m > 0.

Проведем теперь предварительное эвристическое рассмотрение для того чтобы на основе свойств выяснить, как может выглядеть математическое определение центра масс. Рассмотрим сначала две материальные точки m₁A₁ и m₂А₂, и пусть Z - их центр масс (свойство 1). Равенство m₁d₁ = m₂d₂ (свойство 2) можно записать в виде

m₁| |=m₂|| (рис. 2), т. е. |m₁|= |m₂|. Учитывая, что векторы  и  имеют противоположные направления, получаем отсюда m₁ = - m₂, т.е.

m₁ + m₂=. (1)

Итак, если мы хотим, чтобы выполнялись свойства 1 и 2, то центром масс двух материальных точек m₁A₁ и m₂А₂ должна быть такая точка Z, для которой справедливо равенство (1).

Пусть теперь даны три материальные точки m₁A₁, m₂А₂, m₃A₃, и пусть Z - центр масс этой системы материальных точек (свойство 1). Обозначим через С центр масс системы двух материальных точек m₁A₁ и m₂А₂. Тогда, согласно (1),

m₁СA₁+ m₂СA₂= (2)

Далее, согласно свойству 3, центр масс всей системы m₁ A₁, m₂А₂, m₃A₃ совпадает (рис. 2) с центром масс совокупности двух материальных точек (m₁ + m₂) С и m₃А₃, т. е. (согласно (1))

(m₁ +m₂)ZC + m₃ZA₃ = . (3)

Рис. 2

Но мы имеем (m₁ + m₂) = m₁ + m₂ = m₁ (- ) + m₂ ( - ) = m_l + m₂ - (m₁ + m₂) = m₁ + m₂

(см. равенство (2)), и потому равенство (3) принимает вид

m₁ + m₂ + m₃=. (4)

Итак, если мы хотим, чтобы выполнялось также свойство 3, то центром масс трех материальных точек m₁А₁, m₂А₂, m₃А₃ должна быть такая точка Z, что справедливо равенство (4).

Можно было бы аналогично рассмотреть случай четырех и более материальных точек, но равенства (1) и (4) делают закономерность уже совершенно понятной. Итак, в соответствии с приведенным эвристическим разбором мы принимаем следующее основное

Определение. Центром масс (или барицентром) системы материальных точек

m₁А₁, m₂А₂,...,m_nА_n. (5)

называется точка Z, для которой имеет место равенство

m₁ + m₂+ ... + m_n  = . (6)

Разумеется, предыдущие рассуждения нельзя рассматривать как доказательство равенства (6) - эти рассуждения имели лишь наводящий характер, а равенство (6) является определением, и потому «доказывать» его справедливость бессмысленно. Исходя из определения (6), мы теперь строго докажем, что центр масс системы материальных точек действительно обладает свойствами 1 - 3. Этим и будет осуществлено чисто математическое (не связанное с физическими представлениями) введение понятия центра масс и обоснование его свойств.

Вместо слов «центр масс системы материальных точек» (5) говорят также «центр масс m₁, m₂,...,m_n, помещенных соответственно в точках А₁, А₂,...,А_n». Центр равных масс, помещенных в вершинах многоугольника (или многогранника), принято называть центроидом этого многоугольника (или многогранника). В частности, по теореме Архимеда точка пересечения медиан треугольника является его центроидом.

Теорема 1. А) Если точка Z служит центром масс системы материальных точек (5), то при любом выборе в пространстве точки О справедливо равенство

 =  . (7)

Б) Обратно: если хотя бы при одном выборе в пространстве точки О верно равенство (7), то точка Z - центр масс системы (5).

Доказательство. Ограничимся случаем n=2 (при n>2 доказательство аналогично). А) Выберем произвольно точку О. Равенство

m₁ + m₂ =

можно переписать так:

m₁( -) + m₂( - ) = ,

откуда и вытекает требуемое равенство

 = .

Проводя рассуждения в обратном порядке, получаем утверждение Б).

Следствие 1. Всякая система, состоящая из конечного числа материальных точек, имеет однозначно определенный центр масс (т. е. справедливо свойство 1).

В самом деле, выберем произвольную точку О. Тогда положение точки Z однозначно определяется формулой (7).

Докажем теперь, что из определения центра масс (см. (1)) вытекает также справедливость свойства 2.

Теорема 2. Центр масс двух материальных точек расположен на отрезке, соединяющем эти точки; его положение определяется архимедовым правилом рычага: m₁d₁ = m₂d₂.

Доказательство. Пусть Z -центр масс системы двух материальных точек m₁А₁ и m₂А₂. Тогда (см. (6))

m₁ + m₂ =,

т. е. m₁ = - m₂. Из этого видно, что векторы  и  противоположно направлены, так что точка Z лежит внутри отрезка А₁А₂, причем m₁ || = m₂ ||, т.е. m_ld₁=m₂d₂. Это и есть «архимедово правило рычага»; из него видно, что центр масс двух материальных точек ближе к «более массивной» из них, то есть к той, у которой масса больше (рис. 2)

Наконец, докажем справедливость свойства 3.

Теорема 3. Пусть в системе (5), состоящей из n материальных точек, отмечены k материальных точек m₁A₁,…m_кА_к (рис. 3) и пусть С - центр масс отмеченных материальных точек. Если всю массу отмеченных материальных точек, сосредоточить в их центре масс С, то от этого положение центра масс всей системы не изменится. Иначе говоря, система (5) имеет тот же центр масс, что и система материальных точек (m₁ + ... + m_к) C, m_k+lA_k+1,..,m_nA_n.

Доказательство. Пусть Z - центр масс системы (5), т. е.(см. (6)) ₁ + ... + m_k + m_k+1k+l + ... + m_nn =.

Так как С - центр масс системы материальных точек m₁А₁,…,m_кА_к, то по теореме1

(это равенство получается из (7), если 0, Z, n заменить на Z, С, n заменить на Z, C, k). Из написанных двух равенств следует, что

(m₁+ ... + m_k) + m_к+1к+1 + ... + m_nn = ,

а это и значит, что центром масс системы материальных точек (m₁+... ... + m_k)C, m_{к + 1}А_к+1,…,m_nA_n является та же точка Z.

Доказанная теорема позволяет в ряде случаев видоизменить систему материальных точек, сохраняя положение центра масс всей системы. Например, если в исходную систему (5) входят две материальные точки равной массы, расположенные в точках А и В, то от замены этих двух материальных точек одной материальной точкой удвоенной массы, помещенной в середине отрезка АВ, положение центра масс всей системы (5) не изменится. Именно таким путем была доказана теорема Архимеда о пересечении медиан треугольника.

С теоремой 3 связаны следующие простые замечания, которые часто позволяют сделать более краткими решения задач.

Замечание 1. Пусть Z (рис. 4) - центр трех масс, пометенных в вершинах треугольника АВС. Тогда прямая AZ пересекает сторону ВС в точке А', являющейся центром тех двух масс, которые помещены в концах этой стороны ВС.

Рис. 4                                                   Рис.5

Замечание 2. Пусть в вершинах А, В, С некоторого треугольника (рис. 5) помещены массы т₁, т₂, m₃; пусть В' - центр масс материальных точек. m₁А и m₃С, а С' - центр масс материальных точек т₁А и т₂В. Тогда точка Z пересечения прямых ВВ' и СС' есть центр всех трех масс, помещенных в вершинах треугольника.