Курсовая работа (т): Доказательства новых математических фактов с помощью свойств центра масс

На сторонах произвольного треугольника А₁А₂А₃, как на основаниях построены равносторонние треугольники A₁B₃A₂, A₂B₁A₃, A₃B₂A₁, не имеющие с треугольником А₁А₂А₃ общих внутренних точек. В этих треугольниках отмечены их центры P₃,P₁,P₂. Докажем, что ∆ P₁P₂P₃ - также равносторонний.

Вектор  можно получить из  поворотом на угол 2π/3 (рис.15). Поэтому, пологая , имеем  значит, P₃ - ценрт масс материальных точек 1А₁ и (-с)А₁. Аналогично, P₁ - центр масс материальных точек 1А₃ и (-с)А₂; далее, P₂ - центр масс материальных точек 1А₁ и (-с)А₃, а значит, P₂ - центр масс материальных точек (-1)А₃ и (1/с)А₁. Рассмотрим теперь четыре материальные точки 1А₃, (-с)А₂, (-1)А₃, (1/с)А₁ и пусть Z - их центр масс (суммарная масса этой системы равна -с+(1/с)≠0). Произведём группировку масс:

Из этого видно, что Z - центр масс материальных точек (1/с)А₁ и (-с)А₂, а следовательно, и двух материальных точек 1А₂ и (-с)А₁ (поскольку с³=1). Следовательно, Z=P₃. С другой стороны,

.

Умножая для упрощения на  и учитывая, что Z=P₃, перепишем это равенство в виде  Так как , то вектор  можно получить из вектора  поворотом на  Следовательно, ∆ P₃P₁P₂ - правильный.

Заключение

Ещё в ɪɪɪ веке до нашей эры Архимед обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс. Несколько простых свойств позволяют решать различные задачи геометрии и алгебры.

Применяются барицентрические координаты в различных химических, топологических задачах. Интересно их применение в колориметрии (это метод количественного определения содержания веществ в растворах).

Литература

Балк М.Б. и Болтянский В.Г. «Геометрия масс» 1987г.

Яглом И.М. «Генетика популяций и геометрия // Квант» 1986, №4, стр. 5-11.