Курсовая работа (т): Доказательства новых математических фактов с помощью свойств центра масс

Доказанными теоремами 1 - 3 завершается математическое введение понятия центра масс и доказательство основных его свойств.

. Свойства центра масс

1. Всякая система, состоящая из конечного числа материальных точек, имеет центр масс и притом единственный.

2. Центр масс двух материальных точек расположен на отрезке, соединяющем эти точки; его положение (рис. 6) определяется архимедовым правилом рычага (или, как его еще называют, «золотым правилом механики»): произведение массы материальной точки на расстояние от нее до центра масс одинаково для обеих точек, т.е. m₁d₁ = m₂d₂, где m_l, m₂ - массы материальных точек, a d₁, d₂ - соответствующие плечи, т. е. расстояния от материальных точек до центра масс.

3. Если в системе, состоящей из конечного числа материальных точек, отметить несколько материальных точек и массы всех отмеченных точек перенести в их центр масс, то от этого положение центра масс всей системы не изменится.

Глава 2. Решение геометрических задач барицентрическим методом

При решении геометрической задачи барицентрическим методом мы загружаем отдельные точки массами (т. е. сопоставляем, приписываем этим точкам определенные положительные числа). Затем привлекаем свойства центров масс всех полученных материальных точек или части этих материальных точек. Искусство применения барицентрического метода состоит в том, чтобы по условию задачи осуществить такой выбор точек и помещаемых в этих точках масс, при котором задача легко решается. Три основных свойства центров масс особенно важны при решении задач: 1) наличие и единственность центра масс у любой системы материальных точек; 2) принадлежность центра масс двух материальных точек отрезку, соединяющему эти точки ; 3) возможность перегруппировки материальных точек системы без изменения положения центра масс всей системы;

. Положительные массы

Задача 1: В треугольнике ABC (рис. 7) точка F делит основание ВС в отношении 3:1, считая от вершины В. Точки М и Р отсекают от боковых сторон АВ и АС по одной шестой, считая соответственно от вершины А и от вершины С. В каком отношении делится каждый из отрезков MP и AF точкой их пересечения?

Решение: Загрузим точки В и С такими массами, чтобы их центром оказалась точка F; очевидно, достаточно (в силу правила рычага) поместить в В массу 1 (т. е. рассмотреть материальную точку 1В), а в С - массу 3. Далее, имея уже материальную точку 1В, подберем для точки А такую массу х, чтобы точка М оказалась центром масс двух материальных точек 1B и хА. По правилу рычага имеем 1• |ВМ| = х |МА|, откуда х = |ВМ|:|МА| = 5. Наконец, имея материальную точку ЗС, подберем для точки А еще другую массу у так, чтобы точка Р оказалась центром масс двух материальных точек ЗС и уА. По правилу рычага имеем 3|CP| = у|РА|, откуда у = 3|CP| : |РА| = 0.6. У нас возникла новая ситуация: кроме материальных точек 1В и ЗС, мы имеем в точке А две различные массы 5 и 0,6.

Рассмотрим систему из всех четырех материальных точек 1В, 5А, ЗС и 0,6А. Её центр масс обозначим через Z. Перенесем массы материальных точек 1B и 5А в и их центр масс М, а массы материальных точек ЗС и 0,6А - в их центр масс Р. Тогда Z окажется центром масс лишь двух материальных точек 6М и 3,6Р. Значит, ZЄ[MP]. Мы могли бы и иначе сгруппировать те же четыре материальные точки: перенести массы материальных точек 1В и ЗС в их центр масс F, а вместо 5А и 0,6А рассмотреть одну материальную точку 5,6А. Тогда Z окажется центром масс двух материальных точек 4F и 5,6А. Поэтому ZЄ[AF]. Следовательно, Z - точка пересечения отрезков MP и AF. Так как Z - центр масс материальных точек 5,6А и 4F, то 5,6|AZ| = 4|FZ|, так что |AZ|: |ZF| = 5:7. Аналогично убедимся, что 6|MZ| = 3,6|PZ|, откуда | MZ| : |ZP| = 3: 5.

Задача 2: Через точку Р, расположенную внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые, параллельные сторонам параллелограмма. Они пересекают стороны АВ, ВС, CD, DA соответственно в точках К, L, М, N (рис. 8). Пусть Q - точка пересечения средних линий четырехугольника KLMN, a S - центр параллелограмма. Докажем, что точка Q лежит на отрезке PS, и определим, в каком отношении делит она этот отрезок. Решение: Сначала загрузим вершины четырехугольника KLMN массами так, чтобы центром полученных четырех масс оказалась точка Q.

Для этого достаточно поместить в каждую из точек К, L, М, N массу 1. Заметим теперь, что KBLP - параллелограмм; поэтому можно заменить материальные точки 1К и 1L на материальные точки 1B и 1Р, т. е. Q является центром масс материальных точек 1B, 1P, 1М, 1N. Аналогично материальные точки 1M и 1N можно заменить на материальные точки 1D и 1P. Точка Q окажется центром масс четырех материальных точек 1В, 1P, 1D, 1P, а значит, центром масс двух материальных точек 2S и 2Р (поскольку S - середина отрезка BD). Но тогда по правилу рычага точка Q расположена на отрезке SP и делит его пополам.

. Отрицательные массы

В предыдущих рассуждениях все массы выражаются положительными числами. Однако формальные определения понятий «материальная точка» и «центр масс» пригодны и тогда, когда «массы» берутся из других числовых множеств. Если стать на такую более общую точку зрения возникают новые содержательные геометрические приложения понятия центра масс. И хотя формально определенным «материальным точкам с отрицательными массами» мы не можем сопоставить физические образы столь же привычные, как в случае положительных масс, однако и в таких более общих случаях использование терминологии, заимствованной из механики, позволяет привлечь физическую интуицию к поиску решений задач. Математически же решения получаются безупречно строгими. Ниже приводятся корректные определения центров масс для случая действительных или комплексных масс и доказательства их свойств.

Данные выше (в 2) математические определения понятий «материальная точка» и «центр масс системы материальных точек» применимы и в том случае, когда «массы» (все или некоторые из них) являются отрицательными числами. Например, «материальная точка» (-3)А - это точка А вместе с сопоставленным ей числом -3, а «центр масс двух материальных точек (-3)А и 5В» - это такая точка для которой выполняется векторное равенство (рис. 9).

Если потребовать, чтобы суммарная масса системы m₁A₁, m₂A_2,…,m_nА_n (т.е. число m₁+ m₂+…+m_n) была отлична от нуля (что мы и будем предполагать всюду в дальнейшем), то остаются в силе: а) определение центра масс; б) теорема 1; в) следствие из теоремы 1 о существовании и единственности центра масс у любой системы материальных точек.

Некоторое изменение претерпевает теорема 3 о возможности перегруппировки материальных точек: для справедливости этой теоремы приходится предполагать, что не только суммарная масса m₁ + ... + m_n всей системы отлична от нуля, но и сумма масс отмеченных материальных точек (т. е. m₁ + ... + m_k ) отлична от нуля. Причина этих ограничений понятна: суммарная масса m₁ + ... + m_n стоит в знаменателе дроби в формуле (7), а в доказательстве теоремы 3 используется формула, в знаменателе которой стоит сумма масс отмеченных материальных точек. Доказательства же теорем 1 и 3 остаются без изменения.

Далее, теорема 2 для случая действительных (не обязательно положительных) масс заменяется следующим утверждением:

Центр Z двух масс m₁ и m₂ с ненулевой суммой, помещенных в концах отрезка A₁A₂, лежит на прямой, содержащей этот отрезок, и удовлетворяет условию , где  - соответствующие «плечи»; при этом точка Z лежит на отрезке А₁А₂, если знаки чисел m₁ и m₂ одинаковы, и вне его, если они противоположны.

Так видоизменяется архимедово правило рычага для случая произвольных действительных масс. Доказательство проводится так же, как и доказательство теоремы 2. Заметим, что центр масс двух материальных точек (с ненулевой суммарной массой) расположен ближе к «более массивной» из них, т. е. к той, масса которой больше по модулю; это сразу следует из равенства

.

Пусть ABCD - параллелограмм; докажем, что центром масс трех материальных точек mA, (-m)B, mC (рис. 10) является четвёртая вершина D, т.е. mA+(-m)B+mC=mD.

Решение: Пусть О - центр параллелограмма, а Z - искомый центр масс. Тогда по формуле

 = , т.е. Z=D.

Пусть А₁, А₂, А₃ - вершины треугольника (рис. 11); В₁, В₂, В₃ - середины противолежащих им сторон; М - произвольная точка; М₁, М₂, М₃ - точки, симметричные М относительно точек В₁, В₂, В₃. Докажем, что прямые А₁М₁, А₂М₂, А₂М₂ пересекаются в одной точке.

Так как А₁, М, А₂, М₃ - вершины параллелограмма, то имеем )M.

Любая точка Z прямой М₃А₃ (кроме A₃) является центром масс двух материальных точек 1М₃ и хА₃, где х - число (положительное или отрицательное), зависящее от выбора точки Z. Иначе говоря,

Теперь видно, что при х = 1 точки А₁, A₂, А₃ входят в правую часть с одинаковыми коэффициентами. Иначе говоря, точка Z, определяемая равенством 2Z = 1M₃ + 1А₃ (т. е. середина отрезка А₃М₃), удовлетворяет условию

Ввиду одинаковости коэффициентов точки A₁, A₂, A₃ равноправны в этой записи, и потому рассматриваемая точка Z принадлежит не только прямой M₃A₃, но и двум другим прямым M₁A₁, M₂A₂. Кроме того, эта точка Z является серединой не только отрезка A₃M₃, но и отрезков A₁M₁, A₂M₂. Таким образом, три отрезка A₁M₁, A₂ M₂, A₃M₃ имеют общую точку Z и каждый из них делится в этой точке пополам.

. Комплексные массы

В этом параграфе предположим, что массы рассматриваемых материальных точек могут принимать не только отрицательные значения, но и, более того, не быть действительными, т. е. могут принимать произвольные комплексные значения.

Отрицательные массы могут оказаться весьма полезными при решении геометрических задач. Нетрудно привести соображения, показывающие, что отрицательные массы могут иметь и прямое механическое истолкование. Вообразим себе однородную жидкую или газообразную среду (например, сосуд, наполненный водой), в которой находятся небольшие шарики («материальные точки»), соединенные друг с другом жесткими невесомыми стержнями. Пусть шарик, расположенный в точке А₁ имеет объем  и массу m₁. Тогда на него действует направленная вниз сила тяжести, имеющая величину m₁, и архимедова выталкивающая сила, которая имеет величину (p) (где р - плотность жидкости) и направлена вверх - противоположно силе тяжести (рис. 12). Иначе говоря, сила тяжести равна (а выталкивающая сила равна - (pгде e - единичный вектор, направленный вниз. В результате окатывается, что на шарик А₁ действует сила (. Это можно условно истолковать так (отбросив среду), как будто шарик находится в вакууме и имеет «приведенную» массу  тогда как раз на него будет действовать сила тяжести, равная. Если при этом (шарик имеет большую плотность, чем жидкая среда), то «приведенная» масса положительна; если же  (шарик рыхлый, т. е. его плотность меньше плотности среды), то «приведенная» масса  отрицательна. Таким образом, при нахождении центра «приведенных» масс надо учитывать, что они могут быть как положительными, гак и отрицательными.

Например, если в воду помещены деревянный и стальной шарики, насаженные на невесомый стержень, то «приведенная» масса первого из них отрицательна, а второго - положительна. Поэтому центр Z этих масс («приведенных») находится вне отрезка, концами которого являются шарики. Если укрепить стержень шарнирно в этой точке Z, то вся система останется в равновесии (рис. 13). Это и понятно: результирующая сила, действующая на деревянный шарик, направлена вверх (шарик всплывает), а действующая на стальной шарик - вниз (он тонет), и поскольку - по правилу рычага - моменты (т. е. произведения плеч на соответствующие «приведенные» массы) равны по величине и противоположно направлены, система останется в равновесии.

На сторонах ∆А₁А₂А₃ , как на основаниях, построены равнобедренные треугольники А₁В₃А₂, А₂В₁А₃, А₃В₂А₁ с одним и тем же углом  при вершинах В₁, В₂, В₃, не имеющие с ∆А₁А₂А₃ общих внутренних точек. Докажем, что точка пересечения медиан ∆В₁В₂В₃ совпадает с точкой пересечения медиан ∆А₁А₂А₃ (рис. 14).

Решение: Вектор  может быть получен из вектора  поворотом па угол . Поэтому Значит, В₃  центр масс двух материальных точек 1А₁ и А₂.

Аналогично, В₁ - центр масс материальных точек 1А₂ и А₃, а В₂ - центр масс материальных точек 1А₃ и А₁.

Рассмотрим систему всех шести материальных точек и обозначим через Z ее центр масс (суммарная масса этой системы равна 3 (1 ) ). Применяя формулу

и производя двумя способами группировку, находим

Отсюда ясно, что центроиды (т. е. точки пересечения медиан) обоих треугольников А₁А₂А₃ и В₁В₂В₃ совпадают с точкой Z. Заметим, что доказанное утверждение остается в силе, если на сторонах треугольника А₁А₂А₃ строятся не равнобедренные, а подобные и одинаково ориентированные треугольники