Курсовая работа (т): Дослідження екситонних станів у шаруватих напівпровідникових кристалах

. (2.7)

Розв’язком другого, подібного до рівняння Шредінгера для електрона у атомі водню, є хвильова функція і енергія електронного стану воднеподібного атома, перенормовані за допомогою заміни маси електрона на приведену масу квазічастинки μ, та його заряду на величину e/ε. Тоді енергія зв’язаного стану такої квазічастинки знаходиться за формулою, подібною до формули, що визначає енергію зв’язку електрона у атомі водню:

, (2.8)

де R_ex = μe⁴/ (2ћ²ε²) - постійна Ридберга для екситона (енергія зв’язку електрона і дірки в екситоні, або ж іншими словами це робота, яку треба виконати, щоб відірвати електрон від дірки); n = 1, 2, … - квантове число.

Повна енергія екситона є сумою (2.7) і (2.8); значення її при кожному значенні хвильового вектора квантується, так що

. (2.8)

При k = 0 третій доданок у (2.8) відсутній - є тільки відносний рух електрона і дірки, тоді як центр їх мас нерухомий. Це означає, що екситон Ваньє-Мотта можна уявити як пару "електрон-дірка”, що обертається навколо спільного центра мас.

Другий доданок у (2.8) повністю відповідає дискретним (n = 1, 2, 3,.) збудженим станам воднеподібного атома з приведеною масою μ, який знаходиться в однорідному середовищі з діелектричною проникністю ε. Оскільки хвильовий вектор  пробігає усі N значень першої зони Бріллюена (N - кількість атомів у кристалі), то кожному дискретному рівню n такого "атома" в кристалі відповідає енергетична зона певної ширини. Стан з n=1 часто називають основним станом екситона, але насправді це є найнижчий збуджений стан електронної системи кристалу. Окрім енергії, характеристикою екситонного стану є також радіус екситона - величина, що вводиться аналогічно до радіуса орбіти електрона у n-му стані атома водню:

, де

екситонний радіус Бора (радіус екситона в основному стані n = 1). Слід відзначити, що екситонні розміри можуть бути досить значними. Наприклад, у випадку класичного напівпровідника германію ε = 16, так що при значенні μ = 0,2m₀ (m₀ - маса спокою електрона), одержується а_ех = 80а_{Б (}а_Б - борівський радіус атома водню), що значно перевищує постійну гратки германію. Це означає, що електрон може знаходитись на відстанях порядка 80 розмірів атома від дірки.

Вперше експериментально екситонну спектральну серію було зареєстровано на краю власного полинання кристалів закису міді. В Cu₂O при дуже низьких температурах (щоб виключити вплив коливань ґратки) було зареєстровано дві воднеподібні серії:

_n = (2,173 - 0,0968/n²) eВ, n = 2, 3, 4, 5, 6; та

E_n = (2,306 - 0,154/n²) eВ, n = 2, 3, 4.

Існування двох серій зумовлено екситонними станами, що утворюються двома валентними зонами та однією зоною провідності напівпровідника.

2.4 Екситон - фононна взаємодія

Як тільки ми вияснили природу електронного збудження, яке відповідає за утворення оптичного спектру кристалу в конкретній частотній області, появилась необхідність в детальному дослідженні механізмів диссипації енергії збудження та динамічних властивостей екситона. Справді, в ідеальних кристалах, у яких відсутні домішки, дефекти, дислокації, а молекули зафіксовані в рівноважних положеннях гратки кристалу, при поглинанні світла основним процесом є перетворення фотона в екситон і зворотній перехід екситона в фотон. В таких кристалах спектр поглинання являв би собою вузькі резонансні лінії з безкінечно малою напівшириною, яка, власне, й визначається оберненим часом життя збудження. Проте на експерименті спостерігаються досить широкі смуги поглинання, що природньо вимагає від нас поглибленого вивчення релаксаційних механізмів, які спричинюють помітне зменшення часу життя екситонного збудження. Характер цих механізмів може бути найрізноманітніший і залежить від типу кристалу та його структури.

І на першому місці тут стоїть необхідність враховувати в процесах розсіювання екситонів коливання атомів гратки кристалів - фононів. Цей аспект в теорії відгуку є надзвичайно важливим і виключити з розгляду фононну підсистему неможливо за жодних умов. Адже, навіть при температурі абсолютного нуля можливі процеси, що супроводжуються народженням коливного збудження кристалічної гратки.

В нашій роботі ми розглянемо взаємодію екситона Ваньє-Мотта з коливаннями атомів гратки кристалу. Річ в тім, що екситонне збудження неорганічних напівпровідників характеризується воднево-подібною серією m-енергетичних рівнів, які мають кінцеву ширину зони в області зміни значень квазіімпульсу екситона y - E_m (y) і кожен з яких по різному може бути зв’язаний з фононним спектром кристалу. Виявляється, наприклад, що функція екситон-фононного зв’язку зменшується зі збільшенням номера екситонної зони, а це означає, що відповідним чином повинен і змінюватись увесь оптичний спектр екситонного збудження напівпровідника. Це вимагає ознайомлення зі специфікою коливного спектру кристалу - наявністю акустичної та оптичної віток фононних збуджень в напівпровідниках. Особливу увагу було звернуто на взаємодію екситонів з оптичною віткою коливань атомів гратки, так як вона визначає найбільший вклад в екситонну смугу екситонного поглинання. В курсовій роботі проводиться дослідження оптичних екситонних спектрів шаруватих напівпровідників типу InSe, зроблено розрахунок спектрального розподілу функції форми екситонного поглинання, вивчена динаміки температурного генезису функції форми кривої екситонного поглинання.

2.5 Екситонний спектр в шаруватих кристалах

Побудовано теорії екситонних спектрів у іонних напівпровідниках, які досить детально і адекватно описують формування та генезис екситонних спектрів при їх взаємодії з фононами. У цих дослідженнях обмежувалися розглядом переважно основного екситонного стану, тоді як у області довгохвильового краю смуги фундаментального поглинання багатьох кристалів спостерігаються добре розділені спектральні лінії, походження яких приписується переходам у вищі екситонні стани.

Встановлення механізмів переходу у вищі екситонні стани та їх впливу на положення, ширину і форму смуг поглинання також важливе для адекватного трактування результатів експериментальних досліджень температурних змін екситонних спектрів. Енергії таких переходів зазвичай визначаються формулою

, (2.9)

де n - головне квантове число стану, E_g - ширина забороненої зони,  - стала Рідберґа для екситона,  - зведена маса електрона і дірки. Проте, експериментально встановлені положення екситонних піків часто виявляються зміщеними порівняно з визначеними за формулою (2.9), особливо у випадку n = 1. Причини таких зміщень пов’язуються з анізотропією зонного спектра, впливом поверхонь, деформаціями, відхиленнями від тривимірної моделі екситона у сильноанізотропних і шаруватих кристалах та ін. Роль екситон-фононної взаємодії у цих процесах досі не досліджувалася, хоча відомо, що вона може спричиняти зміщення та розширення екситонних ліній.

Дослідження характеру температурних змін смуг екситонних переходів у nS-стани (n = 1, 2,3) у напівпровідникових кристалах зі слабким електрон-фононним зв’язком можна використовувати модель екситон Ваньє-Мотта, утвореного внаслідок прямого фотопереходу електрона з валентної зони, коли . [11]

Відомо, що частотна залежність коефіцієнта поглинання, обумовленого такими переходами, подається у вигляді функції

, (2.10) де

 (2.11)

функція форми екситонної смуги поглинання, пов’язаної з переходом у nS-стан; D₀ - дипольний електричний момент екситона; ħω - енергія збуджуючої хвилі; ħω_n0 - енергія екситона у стані nS;  і  - дійсна та уявна частини масового оператора

 (2.12)

відповідної функції Ґріна

 (2.13)

2.6 Розрахунок та аналіз результатів

Розглядається взаємодія поздовжніх оптичних фононів з першими трьома екситонними зонами, сформованими з nS-станів. Беручи до уваги слабкість екситон-фононної взаємодії, можна обмежитись розглядом лінійної за фононними операторами взаємодії у одно фононному наближенні. Надалі відлік енергії екситонного переходу до n-ої зони

 (2.14)

будемо проводити від найнижчого екситонного рівня E₀ = E_g - R_ex, так що

 (2.15)

де  - ширина екситонної зони. Тут усі енергетичні параметри виражені в одиницях ширини екситонної зони L, введено позначення w = (ħω - E₀) /L та y = aq/π (a - постійна ґратки). Тоді реальна і уявна частини масового оператора екситонів n-ої зони, що взаємодіють з оптичними фононами, набувають вигляду і перейти у масовому операторі (2.12) від суми за квазіімпульсом  до інтегрування за змінною y. Тоді дійсна і уявна частини масового оператора екситонів n-ої зони, що взаємодіють з оптичними фононами, набувають вигляду

 (2.16)

 (2.17)

де Γ_n0 - радіаційна ширина n-го екситонного рівня,  - константа екситон-фононної взаємодії, , , а інтеграл береться в розумінні головного значення.

За відомими значеннями дійсної  і уявної  частин масового оператора можна дослідити температурно-частотні залежності функції форми смуги поглинання , пов’язаного з екситонним переходом у n-й стан. (2.11)

Аналіз дисперсійної залежності функцій екситон-фононного зв’язку зручно виконати у безрозмірних змінних y = qa/π записавши

 (2.18) де

 (2.19)

фур’є-образ щільності розподілу електрона (p = e) або дірки (p = h) у n-му стані;  та Ω - хвильовий вектор і частота фонона, ν (T) - числа заповнення фононних станів; , ; m_e, m_h і m_ex = m_e + m_h - маси, відповідно, електрона, дірки і екситона; γ - величина, що враховує поздовжну релаксацію екситонів. Розраховані залежності функції екситон-фононної взаємодії від хвильового вектора фонона показані на рисунках

Рис. 5. Вигляд функції екситон-фононної взаємодії для різних напівпровідників: а) для ізотропного йонного кристалу CdS, б) для шаруватого кристалу InSe

Аналізуючи рисунки можна побачити, що максимум функції екситон-фононної взаємодії досягається при різних значеннях y в досліджуваних напівпровідниках. У випадку InSe вони є меншим ніж для CdS. Звернувши на це увагу можне зробити припущення, що вплив екситон-фононної взаємодії на функцію форми екситонної смуги поглинання буде більшим для другого напівпровідника.

Результати розрахунку функції форми екситонного поглинання зображені на рисунках підтверджують дане припущення.

Рис. 6 Функції форми екситонної смуги поглинання (n = 1): а) для CdS, б) для InSe

Рис. 7 Функції форми екситонної смуги поглинання (n = 2): а) для CdS, б) для InSe

Рис. 8 Функції форми екситонної смуги поглинання (n= 3): а) для CdS, б) для InSe

З рисунків видно, що екситон-фононна взаємодія зсуває максимум екситонної смуги поглинання в сторону менших енергій відносно нульового значення обчисленого за формулою Еліота, що не враховує екситон-фононну взаємодію, особливо помітним цей вплив є для найнижчого екситонного стану (n= 1) у випадку CdS. Температурний вплив проявляється у збільшенні напівширини функції форми екситонного поглинання та. Внаслідок незмінності її площі до зменшення висоти максимуму функції. Із збільшенням номеру екситонного рівня температурні впливи майже не спостерігаються.

Використовуючи факт, що інтенсивність екситонного поглинання при переході у стан з головним квантовим числом n, обернено пропорційна до n³, мною побудовано схематично спектр екситонного поглинання у досліджуваних напівпровідниках CdS та InSe. Тут криві лінії є графіками суми функції S₁, S₂ і S₃ при різних температурах, вертикальні прямі показують положення максимумів переходу без урахування екситон-фононної взаємодії, а трикутниками позначено експериментально визначені положення екситонних ліній.

Рис. 9. Спектр екситонного поглинання у CdS

Рис. 10. Спектр екситонного поглинання у InSe

Видно, що екситон-фононна взаємодія зміщує екситонні смуги у бік менших енергій, також величина зміщення є різною для переходів у різні екситонні стани і по-різному залежить від температури. Також спостерігається зміна висоти максимуму функції форми екситонного поглинання та напівширини смуги. Описані температурні зміни у випадку CdS суттєві, а у InSe - значно слабші.

Описані вище зміни екситонного спектру поглинання у розглянутих напівпровідниках CdS та InSe можна трактувати наступним чином для практичного застосування: пристрої опто-електронної техніки побудовані із використанням шаруватого напівпровідника InSe будуть менш чутливими до температурних впливів, ніж пристрої побудовані із використанням йодного напівпровідника CdS,що в свою чергу забезпечить надійну роботу перших.