Материал: Дойч. Структура Реальности

Дэвид Гильберт предложил гораздо более разумный —хотя, в ко­нечном счете, и обреченный —план «раз и навсегда ввести убежден­ность в математических методах». План Гильберта основывался на идее согласованности. Он надеялся составить полный набор современных правил вывода математических доказательств с определенными свой­ствами. Количество таких правил должно было быть конечным. Они Должны были быть применимы напрямую, так чтобы определить, удов­летворяет ли им какое-то предложенное доказательство, не составляло бы труда и не вызывало противоречий. Желательно, чтобы эти прави­ла были интуитивно самоочевидными, но это не было первостепенным требованием для прагматичного Гильберта. Он был бы удовлетворен, если бы правила лишь умеренно соответствовали интуиции при усло­вии, что он мог бы быть уверен в их самосогласованности. То есть, если правила определили данное доказательство как обоснованное, он хотел быть уверен, что они никогда не определят как обоснованное любое другое доказательство с противоположным выводом. Как он мог быть Уверен в этом? На этот раз согласованность должна была бытьдока­зана спомощью метода доказательства, который сам придерживался тех же правил вывода. Таким образом, Гильберт надеялся восстановить завершенность и определенность Аристотеля. Он также надеялся, что с помощью этих правил будет, в принципе, доказуемо любое истин­ное математическое утверждение и не будет доказуемо любое ложное утверждение. В 1900году в ознаменование начала века Гильберт опуб­ликовал список задач, которые, как он надеялся, математики смогут решить в двадцатом веке. Десятая задача заключалась в нахождении набора правил вывода с вышеуказанными свойствами и доказательстве их состоятельности в соответствии с их собственными нормами.

Гильберту было предначертано пережить разочарование. Тридцать один год спустя Курт Гедель создал революционную теорию доказа­тельства с коренным опровержением, которая до сих пор является от­правной точкой для математического и физического миров: он доказал, что десятая задача Гильберта не имеет решения. Во-первых, Гедель доказал, что любой набор правил вывода, способный правильно обос­новать даже доказательства обычной арифметики, никогда не сможет обосновать доказательство своей собственной согласованности. Следо­вательно, нечего и надеяться найти доказуемо согласованный набор правил, который предвидел Гильберт. Во-вторых, Гедель доказал, что если какой-то набор правил вывода в некоторой (достаточно обширной) области математики являетсясогласованным (неважно, доказуемо это или нет), то в пределах этой области должны существовать обоснован­ные методы доказательства, которые эти правила не могут определить как обоснованные. Это называетсятеоремой Геделя о неполноте.Для доказательства своих теорем Гедель пользовался замечательным рас­ширением «диагонального доказательства» Кантора, о котором я упоми­нал в главе 6.Он начал с рассмотрения любого согласованного набора правил вывода. Затем он показал, как составить утверждение, кото­рое невозможно ни доказать, ни опровергнуть с помощью этих правил. Затем он доказал, что это высказывание истинно.

Если бы программа Гильберта работала, это было бы плохой но­востью для концепции реальности, выдвигаемой мной в этой книге, поскольку это устранило бы необходимость пониманияпри критике математических идей. Кто угодно —или какая угодно неразумная ма­шина, —способный выучить наизусть правила вывода, на которые так надеялся Гильберт, смог бы так же хорошо оценивать математичес­кие высказывания, как и самый способный математик, не нуждаясь в математическом понимании или даже не имея самого отдаленного понятия о смысле этого высказывания. В принципе, было бы возможно делать новые математические открытия, не зная математики вообще, а зная только правила Гильберта. Можно было бы просто проверять все возможные строки букв и математических символов в алфавитном порядке, пока одна из них не удовлетворила бы проверке на то, является ли она доказательством какой-либо знаменитой недоказанной гипотезы или нет. В принципе, так можно было бы уладить любое разногласие в математике, даже не понимая его смысла —даже не зная значения символов, не говоря уж о понимании принципа действия доказательства или того, что оно доказывает, или в чем заключается метод доказатель­ства, или почему оно надежно.

Может показаться, что достижение единых норм доказательства в математике могло бы, по крайней мере, помочь нам во всеобщем стремлении к объединению —то есть «углублению» нашего знания, на которое я ссылался в главе 1.Однако происходит обратное. Подобно предсказательной «теории всего» в физике, правила Гильберта почти ничего не сказали бы нам о структуре реальности. Они реализовали бы, в пределах математики, предельное видение редукционистов, пред­сказывающее все (в принципе), но ничего не объясняющее. Более того, если бы математика была редукционистской наукой, то все нежелае­мые черты, которые, как я доказал в главе 1,отсутствуют в структуре человеческого знания, присутствовали бы в математике: математичес­кие идеи создали бы иерархию, в основе которой лежали бы правила Гилберта. Математические истины, проверка которых, исходя из этих правил, оказалась бы очень сложна, стали бы объективно менее фунда­ментальными, чем те, которые можно было бы немедленно проверить с помощью этих правил. Поскольку мог существовать только конечный набор таких фундаментальных истин, со временем математике при­шлось бы заниматься даже менее фундаментальными задачами. Мате­матика вполне могла исчерпать себя при этой зловещей гипотезе. Если бы этого не произошло, она неизбежно распалась бы на даже более за­гадочные специализации, по мере увеличения сложности «исходящих» вопросов, которые математики были бы вынуждены решать, и по мере еще большего отдаления этих вопросов от основ самого предмета.

Благодаря Геделю мы знаем, что никогда не будет непреложного метода определения истинности математического высказывания, как не существует и непреложного метода определения истинности науч­ной теории. Как никогда не будет и непреложного метода создания ново­го математического знания. Следовательно, математический прогресс всегда будет зависеть от использования творчества. Изобретение новых видов доказательства всегда будет возможно и необходимо для мате­матиков. Они будут обосновывать их с помощью новых аргументов и новых способов объяснения, зависящих от их непрерывно увеличиваю­щегося понимания абстрактных категорий, связанных с этим доказа­тельством. Примером служат теоремы самого Геделя: чтобы доказать их, ему пришлось изобрести новый метод доказательства. Я сказал, что этот метод был основан на «диагональном доказательстве», одна­ко Гедель по-новому расширил это доказательство. До него так ничего не доказывали; никакие правила вывода, составленные кем-либо, кто никогда не видел метода Геделя, не могли бы определить его как об­основанный. Однако он являетсясамоочевидно обоснованным. Откуда исходит эта самоочевидность? Она исходит из понимания Геделем при­роды доказательства. Доказательства Геделя так же неоспоримы, как и любые другие математические доказательства, но только для того, кто прежде поймет сопровождающее их объяснение.

Таким образом, объяснение все-таки играет ту же самую первосте­пенную роль в чистой математике, как оно играет ее в науке. Объясне­ние и понимание мира —физического мира и мира математических аб­стракций —в обоих случаях является целью изучения. Доказательство и наблюдения —это всего лишь средства проверки наших объяснений.

Роджер Пенроуз извлек из результатов Геделя еще более глубо­кий, радикальный и достойный Платона урок. Как и Платона, Пенроуза восхищает способность человеческого разума постигать абстрактные определенности математики. В отличие от Платона Пенроуз не верит в сверхъестественное и принимает как само собой разумеющееся, что мозг —часть естественного мира и имеет доступ только к этому ми­ру. Таким образом, задача для него встает даже более остро, чем для Платона: как может беспорядочный, ненадежный мир давать математи­ческие определенности такой беспорядочной и ненадежной части себя, какой является математик? В частности, Пенроуза удивляет, как мы можем понять безошибочность новых обоснованныхформдоказатель­ства, которых, как уверяет Гедель, бесконечно много.

Пенроуз все еще работает над подробным ответом, но он заявля­ет, что само существование свободной математической интуиции та­кого рода фундаментально несовместимо с существующей структурой физики и, в частности, с принципом Тьюринга. Вкратце его доказа­тельство выглядит примерно так. Если принцип Тьюринга истинный, то мы можем рассматривать мозг (подобно любому другому объекту) как компьютер, обрабатывающий определенную программу. Взаимо­действия мозга с окружающей средой составляют вводимые и выво­димые данные. Теперь рассмотрим математика в процессе решения, обоснован или нет недавно предложенный вид доказательства. Приня­тие такого решения эквивалентно обработке компьютерной программы обоснования доказательства в мозге математика. Такая программа ре­ализует набор правил вывода Гильберта, которые, в соответствии с те­оремой Геделя, не могут быть законченными. Более того, как я уже сказал, Гедель предоставляет способ создания и доказательства истин­ного высказывания, которое эти правила не способны признать дока­занным. Следовательно, математик, разум которого является эффек­тивным компьютером, применяющим эти правила, также никогда не сможет признать это высказывание доказанным. Затем Пенроуз пред­лагает показать этому самому математику это высказывание и метод доказательства его истинности Геделем. Математик понимает доказа­тельство. Оно все-таки самоочевидно обоснованно, поэтому математик, вероятно, сможет увидеть, что оно обоснованно. Но это бы противоре­чило теореме Геделя. Следовательно, где-то в доказательстве должно быть ложное допущение, и Пенроуз считает, что этим ложным допуще­нием является принцип Тьюринга.

Большинство специалистов по вычислительной технике не соглас­ны с Пенроузом, что принцип Тьюринга —наиболее слабое звено в его доказательстве. Они сказали бы, что математик из его доказательства в самом деле не сможет признать высказывание Геделя доказанным. Может показаться странным, почему математик вдруг не сможет по­нять самоочевидное доказательство. Но взгляните на следующее вы­сказывание:

Дэвид Дойч не может составить последовательное суждение об ис­тинности этого утверждения.

Я стараюсь изо всех сил, но не могу составить последовательное суждение о его истинности. Поскольку, если бы я сделал это, я бы соста­вил суждение о том, что я не могусоставить суждение о его истинности, и вступил бы в противоречие с самим собой. Однаковывидите, что оно Истинно, не так ли? Это показывает, что высказывание, по крайней ме­ре, может быть необъяснимым для одного человека, но самоочевидно Истинным для всех остальных.

В любом случае Пенроуз надеется на новую фундаментальную те­орию физики, которая заменит как квантовую теорию, так и общую теорию относительности. Она давала бы новые предсказания, которые можно проверить, хотя она, безусловно, не противоречила бы ни кван­товой теории, ни теории относительности во всех существующих на­блюдениях. (Не существует известных экспериментальных примеров, опровергающих такие теории). Однако мир Пенроуза по своей сути весьма отличен от того, что описывает существующая физика. Его ос­новной структурой реальности является то, что мыназываем миром математических абстракций. В этом отношении Пенроуз, реальность которого включает все математические абстракции, но, вероятно, невсеабстракции (подобные чести и справедливости), находится где-то между Платоном и Пифагором. То, что мы называем физическим ми­ром, является для него вполне реальным (еще одно отличие от Пла­тона), но каким-то образом это является частью самой математики, или вытекает из нее. Более того, в его мире не существует универ­сальности; в частности, не существует машины, способной передать все возможные мыслительные процессы людей. Однако мир (конечно, в особенности его математическое основание), тем не менее, остает­ся постижимым. Его постижимость гарантирована не универсальнос­тью вычислений, а явлением, достаточно новым для физики (хотя и не для Платона):математические категории напрямую взаимодействуют с человеческим мозгомчерез физические процессы, которые еще пред­стоит открыть. Таким образом, мозг, по Пенроузу, занимается матема­тикой, ссылаясь не только на то, что мы сейчас называем физическим миром. Он имеет прямой доступ к реальности математических Форм Платона и может постичь там математические истины (за исключени­ем грубых ошибок) с абсолютной определенностью.

Часто предполагают, что мозг может быть квантовым компьюте­ром и что его интуиция, сознание и способности к решению задач могут зависеть от квантовых вычислений. Возможно,это и так, но я не знаю ни свидетельств, ни убедительных аргументов в пользу этого. Я став­лю на то, что мозг, если его рассматривать как компьютер, является классическим компьютером. Но этот вопрос не имеет никакого отноше­ния к идеям Пенроуза. Пенроуз не доказывает, что мозг —это новый вид универсального компьютера, который отличается от универсаль­ного квантового компьютера тем, что имеет больший репертуар вы­числений, которые стали возможны только при новой пост-квантовой физике. Он доказывает новую физику, которая не будет поддерживать универсальность вычислений, так что при его новой теории вообще не­возможно будет объяснять некоторые действия мозга как вычисления.