Материал: Электродинамика. Учебное пособие. Москаленко А.Г., Гаршина М.Н
Сопоставление формул (14), (17), (19) - (22) показывает, что ток отстает по фазе от вынуждающего напряжения в том случае, когда ωL>1/ωC, и опережает, когда ωL<1/ωC. Напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на π/2, напряжение на индуктивности опережает ток на π/2. Фазовые соотношения можно наглядно представить с помощью векторной диаграммы (рис.4), построенной на основании уравнения (12), из которого следует
UR + UC + UL = U0 cos ωt, |
(13) |
из зависимостей (17), (21) и (22).
Для рассматриваемого контура можно записать закон Ома, связывающий амплитудные значения тока и внешнего напряжения:
I 0 |
U 0 Z , |
|
|
|
(14) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
R 2 ( L |
1 |
)2 . |
(15) |
||
C |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
Величину Z называют полным сопротивлением цепи, XL = ωL – индуктивным сопротивлением, ХС = 1/ωС – емкостным сопротивлением.
Из формул (24) и (25) следует, что при условии ωL–1/ωC=0 амплитуда тока достигает максимального значения – наблюдается явление резонанса тока. Кривую зависимости амплитуды тока от частоты внешнего напряжения называют резонансной кривой, или резонансной характерис- тикой данного контура. На рис.5 даны резонансные кривые при различных активных сопротивлениях контура. Чем меньше активное сопротивление контура R, тем больше амплитуда тока при резонансе и тем острее резонансная
107
кривая. Из формул (24) и (25) следует, что резонансная часто-
|
|
|
|
|
та контура определяется соотношением |
P |
1 LC , ампли- |
||
туда тока при резонансе равна I0 U R , а сдвиг фаз φ=0. |
||||
В соответствии с формулой (10) URo = IоR. Таким образом, резонансная кривая для амплитуды напряжения на активном сопротивлении отличается от резонансной кривой для амплитуды тока лишь множителем R , т.е. максимальное значение амплитуду напряжения на активном сопротивлении достигается при частоте ωp (рис.6). На основании формул (11) и (12) получаем выражения для определения амплитудных значений UCo и ULo
UC0 |
|
|
|
|
|
|
U0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LC ( |
1 |
|
2 )2 |
2 R2 |
1 2LC |
2 |
L2C 2 4 |
R2C 2 |
2 , (16) |
|||||||||||||||
|
LC |
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
U 0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U 0 |
|
|
|
|
|
U L0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
( 17) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 ) |
|
2 R 2 |
( |
1 |
|
1)2 |
R 2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
LC |
|
|
L2 |
|
LC |
2 |
L2 2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Из выражений (16) и(17) видно, что значения UCo и ULo зависят как от параметров самого колебательного контура (R, L, C), так и от частоты внешнего напряжения (ω) Зависимости величин ULo и UCo от частоты имеют явно выраженный резонансный характер (см. рис.6). Резонансные частоты находят из условия максимума напряжения (производные от полученных выражений (16) и (17), взятые по частоте, приравниваются к нулю). Проделав эти операции, получаем:
2
PC
2
PL
|
1 |
|
|
1 R2 |
2 |
, |
(18) |
|||
|
LC |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
||
|
|
2 L |
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 . |
(19) |
|
(2LC |
|
R2C 2 ) |
|
2 |
|
|||||
причем ωPC < ωP < ω PL .
108
Определяя резонансные частоты экспериментально и зная один из параметров контура (например R), из полученной системы уравнений (13) и (19) можно найти неизвестные значения L и С .
|
Рис.5 |
|
|
|
|
|
Рис.6 |
|
|
|
|
||||||
Амплитуды напряжений на емкости и индуктивности при |
||||||||
резонансной частоте ωp соответственно равны |
|
|||||||
UCoP = XCP*IoP=Uo*Q; ULoP=XLP*IoP=Uo*Q, |
где |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
1 |
|
L |
, |
(20) |
|
|
|
|
|
|
||||
R |
|
C |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
добротность контура. Добротность контура показывает, во
сколько раз амплитудные значения напряжений на реактивных элементах, т.е. на емкости и индуктивности, при резонансе больше, чем амплитудное значение внешнего напряжения (см. рис.6):
Q |
U C0 P |
|
U L0 P |
. |
(21) |
|
|
||||
|
U 0 |
|
U 0 |
|
|
Итак, явление резонанса в последовательном колебательном контуре заключается в том, что при определенной частоте
внешнего напряжения, равной ωP, амплитуда тока в контуре достигает максимального значения. При резонансе полное
109
сопротивление контура равно его активному сопротивлению R, а сдвиг фаз между током в контуре и внешним напряжением равен нулю. Контур действует как активное сопротивление.
В момент резонанса амплитудные значения напряжения на индуктивности и емкости равны и достигают значения,
которое может быть значительно больше амплитудного значения внешнего напряжения. Поэтому явление резонанса в последовательном контуре называют резонансом напряже-
ний.
Для изучения вынужденных электрических колебаний последовательно с элементами контура подключается звуковой генератор (ГЗ) переменного напряжения (рис.9). Измеряя
цифровым вольтметром напряжения на каждом из элементовОписание установкиконтура, в за-
висимости от частоты выходного сигнала ГЗ, получают данные для построения резонансных кривых.
Порядок выполнения работы
1. Переключатели емкостей и индуктивностей колебательного контура установить в положение''CX''и ''LX'' . При помощи магазина сопротивлений установить определен-ное значение сопротивления RM по указанию преподавателя. Полное активное сопротивление контура R считать равным сопротивлению RM (омическим сопротивлением катушки индуктивности пренебрегаем RK<<RM ).
2 Снять резонансные кривые URo = URo(ν), ULo = =ULo(ν), UCo = UCo(ν) при постоянном значении величины диодного напряжения ГЗ, регулируемого ручкой РЕГ. ВЫХ. ГЗ. Для этого подключить генератор к колебательному контуру, вольтметр - поочередно параллельно активному
110
сопротивлению R (рис.9,а), катушке индуктивности L (рис.9,б), конденсатору C (рис. 9,в).
Рис.9
Для получения хороших графиков необходимо снять по 20 значений URo, ULo и UCo: 10 точек до резонанса, резонансное значение и 9 точек после резонанса с интервалами частот 200 или 250 Гц в зависимости от цены деления ГЗ в данной области частот. Полученные данные заносятся в таблицу 3.
Таблица 3
νR, Гц
URo, B
νL, Гц
ULo, В
νС, Гц
UCo, B
По полученным данным построить графики URo = URo(ν); ULo = ULo(ν); UCo = UCo(ν) на одном рисунке (аналогично рис. 6). Определить резонансные частоты ωP,
ωPL, ωPC, учитывая, что ω=2πν. Из формул (28) и (29)определяют значения LX и CX (расчеты можно провести на
ЭВМ, программа №220).
Убедиться в правильности формулы
111