Материал: Электродинамика. Учебное пособие. Москаленко А.Г., Гаршина М.Н
θк = θк' + tk ,
где θк' - температура, соответствующая точке резкого уменьшения ε1 = f(t ); tк – комнатная температура.
2.9. ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ
Цель работы: ознакомление с характером свободных и вынужденных колебаний в колебательном контуре и определение основных его характеристик.
Принадлежности: колебательный контур с набором индуктивностей, емкостей и магазином сопротивлений, осциллограф, генератор П-образных импульсов, цифровой вольтметр, генератор звуковых колебаний.
Теоретическое введение Простой колебательный контур состоит из последователь-
но соединенных элементов: емкости C, индуктивности L и активного сопротивления R (рис.1).
97
|
Если конденсатор зарядить, |
|
|
а затем замкнуть ключ, то в |
|
K |
контуре возникнут электро- |
|
магнитные колебания. |
||
|
||
|
Действительно, при |
|
|
замыкании ключа К кон- |
|
|
денсатор С начинает разря- |
|
|
жаться, в контуре появляет- |
|
|
ся нарастающий ток, а в ка- |
|
Рис.1 |
тушке индуктив- |
|
|
ности – магнитное поле. Из- |
меняющееся магнитное поле приводит к возникновению ЭДС самоиндукции,
|
L |
dI |
, |
s |
dt |
||
|
|
|
которая сначала замедляет скорость разряда конденсатора, а после того, как конденсатор полностью разрядится, начинает поддерживать ток в прежнем направлении. В результате происходит перезарядка конденсатора. Затем процесс разрядки начнется снова, но в обратном направлении и т.д.
Во время разрядки конденсатора его электрическая энергия превращается в энергию магнитного поля в контуре, и наоборот. Так как контур всегда обладает некоторым активным сопротивлением R, то часть электромагнитных колебаний превращается в тепло, вследствие чего амплитуда колебаний в контуре постоянно уменьшается. Уравнение, описывающее свободные затухающие колебания, можно получить, применяя для контура закон Ома для неоднородного участка цепи:
IR = φ1 – φ2 + ε12, |
(1) |
где φ1 и φ2 - значения потенциалов на обкладках конденсато-
ра; - ЭДС самоиндукции возникающая в контуре. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
98 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учѐтом того, что I |
q ; 1 |
|
|
|
q |
, |
|
|
L q , |
|||||
2 |
|
C |
12 |
s |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнение (1) |
принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
L q |
R q |
q |
0 . |
|
|
|
|
|
(2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
C |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
После замены |
|
К |
|
2 , |
|
|
|
1 |
|
02 , |
|
|
|
(3) |
|
L |
|
|
|
LC |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
получим стандартное дифференциальное уравнение описывающее затухающие колебания
q 2 q
02 q 0 . (4)
Здесь β – коэффициент затухания, ω0 – собственная частота свободных незатухающих колебаний (т.е. при R=0). При усло-
вии β2 < ω02 решение дифференциального уравнения (4) имеет вид
|
|
|
q q |
0 |
e t сos( t |
) , |
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
2 |
2 |
|
, частота затухающих колебаний в реальном |
||||
0 |
|
|
||||||
контуре. Начальная фаза колебаний φ и заряд на конденсаторе в начальный момент времени q0 определяются начальными условиями. В этом случае заряд q на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону, амплитуда которых
уменьшается со временем по закону q0 e –β t (рис. 2а). |
Период |
||||||
затухающих колебаний определяется из выражения |
|
||||||
T 2 |
|
2 |
|
|
|
. |
(6) |
|
|
|
|
||||
|
1 |
R |
|
||||
LC 2L
С увеличением R , а следовательно, и β период колебаний растет, стремясь к бесконечности при β → ω0. Это означает, что при достаточно большом R ( β становится больше ω0)
99
колебательный разряд переходит в апериодический (рис. 2.б). Для контура с определенными значениями L и C апериодический процесс осуществляется при
R Rкр 2 |
|
L |
|
, |
(7) |
|
|
||||||
С |
||||||
|
|
|
|
|
т.е. когда β2 = ω02. Это значение сопротивления Rкр называ-
ется критическим.
Рис. 2
Можно показать, что зависимости |
тока |
в контуре |
||||
I q , напряжения |
на активном сопротивлении |
U К |
q R , |
|||
конденсаторе U С |
q |
и индуктивности U L |
L q |
будут |
ана- |
|
|
||||||
С |
||||||
|
|
|
|
|
||
логичны (5).
Убывание амплитуды за один период принято называть логарифмическим декрементом затухания
A(t) |
T , |
|
|
ln A(t T) |
. |
(8) |
где A(t) и A(t+T) – последовательные амплитуды значений соответствующей величины (q, I или U).
В отличие от β – коэффициента затухания контура, имеющего размерность, обратную времени, λ – безразмерная величина. Если обозначить промежуток времени, за который
100
амплитуда колебаний уменьшается в е раз, через τ, то e-βt = = e-1, откуда
β τ = 1; β = 1/τ .
Таким образом, β есть величина, обратная промежутку времени, за который амплитуда убывает в е раз. Если обозна-
чить через N число колебаний, в течение которых убывает в е раз, то τ = NT:
λ = βT = T/τ = 1/N
Колебательный контур часто характеризуется добротно-
стью Q: |
|
Q = πN = π/λ . |
(9) |
При достаточно малом затухании (β << ω0) частота |
0 . |
В этом случае ω и Q выражаются через параметры контура R, L и C следующим образом:
|
1 |
; |
|
|
2 |
|
|
R |
|
|
|
R 0С |
R |
|
L |
|
||||
0 |
LC |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
С , |
||||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Q |
1 |
|
|
|
1 |
|
L |
. |
|
|
(10) |
||||||
|
|
|
R |
R 0С |
|
R |
|
С |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Необходимо иметь в виду, что во всех этих выражениях под R следует понимать не сопротивление катушки постоянному току, а сопротивление, эквивалентное всем потерям в контуре. Дополнительные потери при прохождении переменного тока могут быть вызваны увеличением сопротивления проводов, гистерезисом и токами Фуко в железном сердечнике катушки, токами утечки и процессами поляризации в диэлектрике конденсатора, излучением электромагнитных волн.
Описание установки
В колебательном контуре (рис.6) с помощью генератора П - импульсов возбуждаются колебания. За время
101
между импульсами в контуре происходят свободные затухающие колебания. Длительность импульсов напряжения, пoдaвaeмыx с генератора, должна быть значительно меньше, а промежуток между ними значительно больше периода исследуемых колебаний. Возникающее на концах катушки индуктивности напряжение подается на вертикальные пластины ос-