Контрольная работа: Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине: «Математика»

по теме «Элементы линейной алгебры»

Задача 1

Вычислить матрицу , если

, ,

, .

Решение

Задача 2

Найти обратную для матрицы А, проверить, что А-1А=Е:

.

Решение

Найдем алгебраические дополнения

Построим матрицу алгебраических дополнений

Найдем обратную матрицу

Проверка обратной матрицы

Задача 3

матрица алгебраический уравнение геометрия

Найти решение системы линейных уравнений: а) по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы; б) методом Гаусса.

а) б)

Решение

Используем метод Крамера:

Определитель главной матрицы:

Ответ:

Матричный метод.

Найдем алгебраические дополнения

Построим матрицу алгебраических дополнений

Найдем обратную матрицу

Проверка обратной матрицы

Задача 4

Через точку М провести прямые: параллельно, перпендикулярно и под углом  к прямой . Сделать чертеж.

; .

Решение

Исходная прямая

Все параллельные прямые имеют вид.

Прямая проходит через точку . Подставляем точку в прямую.

Искомая прямая:

Исходная прямая

Коэффициент у перпендикулярных прямых при х равен

В данном случае:

Прямая проходит через точку . Подставляем точку в прямую.

Искомая прямая:

Исходная прямая

Угол наклона искомой прямой

Искомая прямая имеет вид:

Прямая проходит через точку . Подставляем точку в прямую.

Искомая прямая:

Находим по 2 точки для каждой прямой.

Таблица 1

Рисунок 1

Задача 5

В треугольнике АВС известны координаты его вершин. Найти уравнение стороны АС, уравнение высоты, проведенной из вершины В, длину этой высоты, угол А.

,, .

Решение

Уравнение стороны АС

Уравнение высоты, проведенной из вершины В. Она проходит через точку . Нормаль к ней вектор

Длина этой высоты

Угол А. Вектор , вектор

Рисунок 2

Задача 6

Определить тип кривой, привести уравнение к каноническому виду, кривую или ее часть построить.

а) ; б) .

Решение

Окружность, радиусом 1. с центром в точке (-3;2).

Рисунок 3

Окружность, радиусом 2. с центром в точке (0;0).

Рисунок 4