Таким образом, очевидно, что подвижной состав метрополитена существенно модернизировался за последние годы. Это позволило, с одновременным увеличением комфортности перевозки пассажиров, снизить потребление электроэнергии на тягу, из-за уменьшения массы подвижного состава, применения рекуперативного торможения и модернизации системы управления тяговым электрооборудованием. Следовательно, повышенное электропотребление метрополитенов обусловлено, в основном, неэффективностью их эксплуатации.
Для моделирования движения поезда по линии метрополитена необходимо учитывать физические свойства подвижного состава, его характеристики и их взаимозависимости. Поэтому, необходима математическая модель, коэффициентами которой являются значения технических характеристик подвижного состава метрополитенов. Кроме того, необходимо использовать методы синтеза энергооптимальных режимов управления движением поездов.
1.3 Анализ методов расчета энергооптимальных режимов управления движением поездов
1.3.1 Аналитические методы
К аналитическим методам относятся классическое вариационное исчисление [97,98,111], принцип максимума Л.С.Понтрягина [47,48,84,100] и принцип максимума в формулировке А.А. Милютина и А.Я. Дубовицкого [36,42,144].
При энергетической оптимизации ведения поезда метрополитена по перегону решается задача Лагранжа с закрепленным правым концом, т.е. минимизируется функционал, заданный в виде определенного интеграла:
(1.1)
где х - вектор переменных состояния системы. Функционал также зависит от производных, например, скорости движения поезда v, которые включаются в число переменных состояния с помощью дифференциальных связей. Функционал (1.1) использует в качестве независимой переменной время хода t.
u - вектор управлений, в случае поезда метрополитена - он одномерный, т.е. u - позиция контроллера машиниста. Это значит, что рассматривается случай кусочно-постоянных управлений, для классического вариационного исчисления не удобный [36]. Поэтому во многих, особенно ранних работах [21,46,65,66,112], вводят величину u в качестве линейно входящего коэффициента при силе тяги, непрерывно изменяющегося на ограниченном с обеих сторон интервале.
Известен ряд приближенных методов решения вариационных задач, среди которых получили большое распространение для решения прикладных вариационных задач так называемые прямые методы [89]. Сущность прямых методов заключается в том, что вариационная задача рассматривается как предельная для некоторой задачи на экстремум функции конечного числа переменных, которая решается обычными методами поиска экстремума [36].
Другим методом, который может быть использован для решения поставленной задачи, является принцип максимума Л.С. Понтрягина [79]. Задача поиска оптимального решения в данном случае сводится к нелинейной краевой задаче, для решения которой требуется поиск в пространстве сопряженных переменных (неизвестных).
Применение принципа максимума к решению задачи оптимального ведения поезда по участку в формулировке, предложенной А.А. Милютиным и А.Я. Дубовицким [42], позволяет учитывать ограничения не только на управляющие воздействия, но и на фазовые координаты. Анализ оптимальных траекторий движения с помощью принципа максимума позволяет получить необходимые условия оптимальности в виде аналитических соотношений, которые могут быть использованы при отыскании оптимальных траекторий. В связи с наличием на перегонах переменных по пути ограничений на скорость движения, и переменного дополнительного сопротивления движению от уклонов и кривых, а также не перекрываемых токоразделов - число линий переключения на перегоне является не ограниченным. И процедура синтеза оптимальных траекторий движения поезда метрополитена на основе синтеза линий переключения является сложным итерационным и рекурсивным процессом [113,114].
Несмотря на сложность объекта управления - модели поезда, применение этого метода для оптимизации управления движением поезда на железной дороге позволило получить экономический эффект в 3-5 % [10,11].
Достоинства аналитических методов заключается в том, что энергооптимальные траектории движения поезда рассчитываются достаточно быстро, что позволяет использовать их на борту подвижного состава для упреждающего расчета программы движения. К недостаткам данных методов можно отнести тот факт, что при расчете оптимальной траектории минимизируется механическая энергия, переменный к.п.д. тягового привода задается в виде аппроксимированной функции скорости. Этот недостаток устраняют численные методы [7,15,16,27,30,31,43,109], которые позволяют решать задачи минимизации потребления поездом электроэнергии [26].
1.3.2 Численные методы
К численным методам относятся дискретный вариант метода динамического программирования Р.Беллмана [18] (а также его вариации: «киевский веник», метод локальных вариаций, метод «блуждающей трубки», метод «бегущей волны» [26,36]) и численные методы нелинейного программирования (покоординатный спуск, случайный поиск) [85,132,133].
Преимуществом динамического программирования и всех многошаговых методов, от него произошедших, является простота учета ограничений на переменные состояния. Более того, чем больше в задаче ограничений, тем лучше работает метод, т.к. варианты, не удовлетворяющие ограничениям, не просчитываются [26,89].
Главным препятствием для практического использования дискретного варианта метода динамического программирования является проблема представления функции многих переменных на множестве дискретных значений ее аргумента. Эта проблема при реализации ее на ЭВМ приводит к необходимости иметь большие объемы памяти вычислительной машины [36].
В [26,89] перечислены и другие недостатки данного метода. Во-первых, применение метода динамического программирования требует нахождения не только оптимальных управлений, но и некоторой функции Р. Беллмана S(t,y), что усложняет процесс вычисления. Во-вторых, уравнение Р. Беллмана представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных относительно функции S(t,y), осложненное знаком минимума, решение которого во многих случаях затруднено. В-третьих, метод динамического программирования содержит предположение о дифференцируемости неизвестной функции S(t,y), a проверить выполнение этого предположения по уравнениям движения объекта нельзя. Этот недостаток [89] является главным, т.к. даже в простейших линейных задачах оптимального управления функция S(t,y) не будет, как правило, всюду дифференцируемой, и применение метода динамического программирования становится необоснованным.
Однако вместо математического обоснования достаточных условий оптимальности на практике пользуются интуитивными соображениями, основанными на физической природе явлений [26]. Поэтому, если довольствоваться инженерным уровнем строгости постановки, можно получать приемлемые траектории управления изложенным методом без решения в явном виде уравнения Беллмана [36,89].
Решение задачи определения энергооптимального управления движением поезда дискретным вариантом метода динамического программирования Р. Беллмана сводится к минимизации целевой функции
(1.2)
где - соответственно скорость, время хода, позиция управления на i-м шаге; m-число шагов варьирования режимов на перегоне; - расход электроэнергии на i-м шаге.
Основное функциональное уравнение динамического программирования для решения данной задачи на основе принципа оптимальности имеет вид:
, (1.3)
где - минимальное значение целевой функции за i - l шагов.
В [46,47] разработаны алгоритмы и программы вычисления оптимальных режимов управления поездом для технико-экономических и тяговых расчетов для поездной работы и алгоритм автоведения поезда метрополитена.
Алгоритм «киевский веник» применен для конкретных расчетов в конце 50-х годов [83]. Этот метод позволяет извлечь все выгоды динамического программирования, связанные с учетом ограничений на переменные состояния и управление, при этом затратить несколько меньше машинного времени, чем требуется при использовании динамического программирования.
Рассмотрим задачу отыскания минимума (максимума) функции, представленной в виде
, (1.4)
при ограничениях вида х. Сформулируем данную задачу следующим образом: среди всех ломаных, соединяющих плоскости и , и лежащих в допустимой области, найти ту, длина которой наименьшая [26].
Основное содержание алгоритма состоит в формулировке правил последовательного сжатия множества конкурентоспособных вариантов . Алгоритм представляет собой многошаговый процесс, на каждом шаге (номера j) которого производится «отметание» некоторого множества вариантов , о котором в процессе работы алгоритма становится известно, что оно не содержит оптимального варианта.
Опишем процедуру «отметания». Рассмотрим точки, лежащие в гиперплоскости - точки . Расстояние некоторой фиксированной точки до гиперплоскости обозначим через l (). Очевидно, что l() =. Рассмотрим теперь функцию . Т.к. , то и любой вариант, т.е. любая ломаная, не содержащая отрезка , не может быть претендентом на то, чтобы считаться решением данной задачи. Эти ломаные и образуют множество , которое мы отбрасываем на нулевом шаге.
Произведем теперь сужение оставшегося множества . Для этого рассмотрим точку . Обозначим через длину наиболее короткой ломаной, соединяющей точку и гиперплоскость . Очевидно, что . Множество вариантов , которое мы отбрасываем на этом шаге, будет состоять из всех ломаных, которые не содержат ломаной .
Пусть теперь каждую из точек, мы соединим с гиперплоскостью ломаной наименьшей длины, которую обозначим через . Тогда длина наиболее короткой ломаной, соединяющей точку и , определяется при помощи соотношения:
(1.5)
Все варианты множества , не содержащие ломаной длины , мы отбрасываем и т.д. На последнем шаге каждой точке поставлено в соответствие число - длина наиболее короткой ломаной, соединяющей точку с гиперплоскостью . Для того чтобы выбрать тот вариант, который нам нужен - наикратчайшую ломаную, соединяющую гиперплоскости и , нам осталось совершить еще одну процедуру минимизации
(1.6)
На этой операции процедура решения задачи заканчивается. Формула (1.6) - это общее рекуррентное соотношение, описывающее многошаговый процесс отыскания решения. Изложенный метод позволяет отыскать глобальный экстремум [26,89].
Суть метода «блуждающей трубки» заключается в следующем [85].
Пусть дано некоторое начальное приближение - ломаная, которая задана последовательностью узлов. Начальное приближение может быть получено при помощи алгоритма «киевский веник» с большим шагом сетки. Затем задается Av, и строится сетка по v точно так же, если бы применялся алгоритм «киевский веник», за тем исключением, что число узлов искусственно ограничивается малым значением -- строится векторная трубка в окрестности ломаной - начального приближения. В пределах трубки алгоритм ведет себя как «киевский веник». Этот алгоритм имеет характер метода «последовательных приближений» [84]. Алгоритм заканчивает свою работу, если выполнены следующие условия:
· будет подобран множитель Лагранжа, обеспечивающий выполнение заданного времени хода поезда по перегону;
· последнее приближение - ломаная - никакой своей частью не будет проходить по границе «трубки».
В [36] показано, что решение задачи оптимизации управления движением поезда путем отказа от глобального минимума не дает значительного выигрыша машинного времени и оперативной памяти.
Метод локальных вариаций также является многошаговым методом оптимизации, который использует идеи последовательных приближений траектории к оптимальной. Данный метод был разработан [66] и применен для расчета оптимальной траектории управления движением поезда [67].
Метод локальных вариаций можно рассматривать одновременно как метод покоординатного спуска с фиксированным шагом на фиксированной сетке, заданной в области, определенной ограничениями. Данный метод более прост для программирования, чем метод «блуждающей трубки», однако он более чувствителен к локальным экстремумам, которые очень часто к тому же оказываются следствием неточности процесса вычислений [84].