Метод «бегущей волны» был разработан в конце 1960-х годов [25]. Схему данного метода можно трактовать как обобщение метода локальных вариаций. Задано начальное приближение, которое улучшается последовательно любым методом, работающим с конечномерной аппроксимацией непрерывной задачи. Недостаток метода «бегущей волны», очевидно, тот же, что и метода локальных вариаций, - чувствительность к локальным экстремумам. Возможный путь борьбы с этим - увеличение «длины волны».
При использовании для оптимизации траекторий движения методов нелинейного программирования [84] путь разбивается на отрезков малой длины, в пределах каждого из которых управление считается неизменным и равным где i - номер отрезка. Таким образом, фазовая траектория движения поезда а, следовательно, и целевая функция становятся функцией вектора управляющих воздействий размерности. Для поиска экстремума могут быть использованы любые безградиентные методы минимизации функций многих переменных [9,15,16,117], в частности, метод случайного поиска [84]. Основной проблемой при применении данного подхода является выбор начального приближения, т.к. при наличии у целевой функции локальных экстремумов именно выбор начального приближения определяет, к какому минимуму (локальному или глобальному) сходится процесс поиска.
Дискретный метод динамического программирования, дополненный необходимыми условиями оптимальности, можно представить следующим образом. Для решения задачи весь перегон разбивается на М шагов варьирования режимами управления. Критерий оптимальности имеет вид:
(1.7)
а основное функциональное уравнение -
(1.8)
где - расход электроэнергии на i-ом шаге; - время хода на i-ом шаге;
-- скорость на i-ом шаге;
Nt -- режим управления на i-ом шаге.
Множество допустимых режимов управления на i-ом шаге оптимизации определяется в зависимости от режима управления на предыдущем шаге оптимизации, значения вспомогательной переменной р, номера характерной точки фазового пространства, в которой находится поезд, и допустимого числа включения тяговых двигателей. Для определения значения вспомогательной переменной р и проверки необходимого условия оптимальности каждой траектории, имеющей хотя бы одну точку переключения режимов управления, лежащую внутри допустимой области, ставится в соответствие гамильтониан.
Дополнение процедуры динамического программирования необходимыми условиями оптимальности позволяет значительно сократить число рассматриваемых вариантов, т.к. в число перебираемых вариантов не включаются траектории, для которых необходимое условие оптимальности заведомо не выполняется [84,113,135].
Таким образом, в разделе 1.3. показано, что использование существующих методов и подходов в практике эксплуатации метрополитенов позволяет сократить расход электроэнергии на тягу поездов не более чем на 3-5% [10,11]. Кроме того, описанные выше методы не учитывают изменяющийся во времени пассажиропоток и ряд эксплуатационных особенностей при движении поезда по тоннелю.
1.4 Анализ математической модели движения поезда по линии метрополитена
Модель движения поезда метрополитена по перегону является одной из основных составляющих модели движения поездов по линии метрополитена [26,114].
Математическая модель движения поезда по перегону [20,24,26,38,54,55,91,92] представляет собой систему дифференциальных уравнений первого порядка:
(1.9)
где t - время с момента начала движения поезда по перегону, с;
S - путь от начала перегона до текущего положения поезда, м;
V - мгновенная текущая скорость поезда, м/с;
ж = 3.595/(1 + гР/(Р + Q)) - коэффициент, учитывающий размерность величин и инерцию вращающихся масс поезда, [26];
- коэффициент инерции вращающихся масс порожнего вагона;
Р - масса тары вагона, кг;
Q - масса пассажиров в вагоне, кг;
f=F/(P+Q) - удельная сила тяги, Н/кН;
F - сила тяги одного вагона, Н;
w = wo+wд - удельная сила сопротивления движению поезда, Н/кН;
wo - удельная сила основного сопротивления движению поезда, Н/кН;
wд - удельная сила дополнительного сопротивления движению поезда, Н/кН;
b = B/(P+Q) -- удельная сила торможения, Н/кН;
В - сила торможения одного вагона, Н.
1.4.1 Определение удельной силы сопротивления движению поезда
Основное удельное сопротивление движению W0 включает:
· внутреннее трение в подвижном составе;
· сопротивление от взаимодействия подвижного состава и пути на прямом и горизонтальном участках;
· сопротивление от взаимодействия подвижного состава и воздуха [26,69,54,55].
Удельное основное сопротивление движению поезда, согласно [105],
является функцией скорости и определяется по-разному для режимов тяги и
выбега.
Поезд рассматривается как однородная нерастяжимая нить, а масса поезда считается равномерно распределенной по длине состава [26].
Основное удельное сопротивление движению метропоезда в режиме тяги определяется по формуле [105,141]:
(1.10)
Основное удельное сопротивление движению метропоезда в режиме выбега рассчитывается по формуле [105,141]:
(1.11)
где А, B, C, D - постоянные коэффициенты;
V - скорость, км/ч;
n - количество вагонов;
m - масса вагона, т;
g - ускорение свободного падения, м/с2 .
Удельное дополнительное сопротивление движению поезда (сопротивление от уклонов и кривых) является функцией пути [54,91].
1.4.2 Определение силы тяги одного вагона
Сила тяги двигателей определяется на основании тяговых характеристик вагона F(I) и уравнения электрической машины постоянного тока с последовательным возбуждением [38,54,55]
, (1.13)
где:
Се - постоянный коэффициент (постоянная электрической машины), ;
Ф (I) - магнитный поток возбуждения, Тл;
I - ток якоря двигателя, А;
R - сопротивление цепи якоря двигателя, Ом;
U - напряжение на двигателе, В.
Такой способ расчета [36, 53], в отличие от расчета непосредственно по зависимости силы тяги от скорости поезда, позволяет учесть временные задержки при коммутациях в силовой цепи, потери и изменение напряжения в контактной сети.
В качестве исходных данных в этом случае используются скоростные характеристики двигателей Vj (I) (j - номер ступени ослабления поля , j = l,...,Nj, - число ступеней ослабления поля), представляемые в табличной форме как массивы и (i -номер точки характеристики, , - число точек на каждой скоростной характеристике). Характеристики магнитного поля на основании уравнения электрической машины (1.13) рассчитываются по формуле:
(1.14)
где - номинальное напряжение на одном двигателе, В;
- сопротивление цепи якоря для j-ой ступени ослабления поля, Ом;
- сопротивление обмотки якоря двигателя, Ом;
- сопротивление дополнительных полюсов, Ом;
коэффициент ослабления поля на j-ой ступени ослабления;
- сопротивление главных полюсов, Ом.
Полученные по формуле (1.14) характеристики магнитного потока представляются затем в виде кусочно -линейной функции
для (1.15)
где - коэффициенты кусочно-линейной аппроксимации
(1.16)
(1.17)
Подставляя аппроксимацию характеристик магнитного потока (1.14) с коэффициентами (1.16) и (1.17) в уравнение электрической машины (1.13), найдем величину тока якоря одного двигателя на n-ой позиции реостатного контроллера при скорости V как решение системы
(1.18)
где:
- текущее напряжение на одном двигателе, В;
- число последовательно включенных двигателей на n-ой позиции реостатного контроллера;
- напряжение контактной сети, В;
j (n) - номер ступени ослабления поля, включенной на n-ой позиции реостатного контроллера;
- сопротивление цепи якоря двигателя на n-ой позиции реостатного контроллера, Ом;
- приведенное к одному двигателю сопротивление пускового реостата на n-ой позиции реостатного контроллера, Ом;
- дополнительное сопротивление в цепи двигателя (например, при ступенчатом отключении режима тяги), Ом, относительно переменных и i (ток якоря и номер участка аппроксимации соответственно).
Сила тяги одного двигателя при известном токе якоря двигателя на n- ой позиции реостатного контроллера определяется на основании кусочно-линейной аппроксимации
для (1.19)
где - коэффициенты аппроксимации, полученные как
(1.20)
(1.21)
на основании заданной матрицей табличной зависимости силы тяги одного двигателя от тока якоря.
Сила тяги вагона, F, определяется как:
(1.22)
где n - число двигателей вагона,
а расход электроэнергии на тягу А (кВт*ч) может быть получен путем решения дифференциального уравнения
(1.23)
1.4.3 Определение силы торможения одного вагона
Сила торможения, В, представляет собой сумму сил электрического и пневматического (электропневматического) торможения:
(1.24)
Сила электрического торможения определяется на основании тормозной характеристики двигателя В (I) и уравнения электрической машины постоянного тока с независимым возбуждением в генераторном режиме [54,55,91]:
(1.25)
Характеристики магнитного потока в тормозном режиме не зависят от режима работы электрической машины, поэтому для расчета тока якоря в тормозном режиме используются зависимости, полученные выше для расчета тяги (1.14) - (1.17). Т.к. при торможении на промежуточных позициях реостатного контроллера ослабление поля возбуждения двигателя не используются, в последующие выражения входят лишь коэффициенты аппроксимации характеристики полного поля, и индекс j ослабления поля не проставляется.
Подставляя аппроксимацию характеристик магнитного потока (1.25) с коэффициентами (1.20) и (1.21) в уравнение электрической машины (1.25), найдем величину тока якоря одного двигателя на n-ой позиции реостатного контроллера при торможении на скорости V как решение системы
(1.26)
где - сопротивление цепи якоря двигателя на n-ой позиции реостатного контроллера, Ом;
- приведенное к одному двигателю сопротивление пускового реостата на n-ой позиции реостатного контроллера, Ом, относительно переменных и i (ток якоря и номер участка аппроксимации соответственно). При отсутствии решения (несовместности) системы (1.26), что соответствует срыву возбуждения двигателей, принимается .
Сила торможения одного двигателя при известном токе якоря двигателя на n-ой позиции реостатного контроллера () определяется на основании кусочно-линейной аппроксимации:
для (1.27)
где и - коэффициенты аппроксимации, полученные, как
(1.28)
(1.29)
на основании заданной матрицей табличной зависимости силы торможения одного двигателя от тока якоря.
На 1-ой позиции реостатного контроллера величина тока якоря дополнительно ограничивается тиристорным регулятором магнитного потока возбуждения. Ток якоря при этом (без учета статизма тиристорного регулятора) равен току уставки тиристорного регулятора для текущей загрузки вагона ( для режима «Тормоз 1», для режима «Тормоз 1А» или «Тормоз 2»). Считая зависимость силы торможения от магнитного потока линейной, можно принять, что на первой позиции реостатного контроллера при работе тиристорного регулятора сила торможения одного двигателя, равна:
, (1.30)
где - сила торможения одного двигателя на первой позиции реостатного контроллера при полном поле, определяемая (1.27);
- ток уставки тиристорного регулятора для текущего режима.
Сила электрического торможения всех двигателей вагона Вэ определяется:
(1.31)
На основании рассмотренной математической модели в дальнейшем будет моделироваться движение поезда по линиям метрополитенов, как по действующим, так и по проектным.