Материал: Финансы и кредит. метод. указания к выполнению практических занятий и лабораторных работ для студ. спец. 080502, 061100, 080801. Жутаева Е.Н., Меркулова Г.И

2. Наращение простыми процентами

Ссудо-заемные операции, составляющие основу коммерческих вычислений, имеют давнюю историю. Именно в этих операциях и проявляется, прежде всего, необходимость учета временной ценности денег. Несмотря на то, что в основе расчетов при анализе эффективности ссудо-заемных операций заложены простейшие на первый взгляд схемы начисления процентов, эти расчеты многообразны ввиду вариабельности условий финансовых контрактов в отношении частоты и способов начисления, а также вариантов предоставления и погашения ссуд.

Предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторому алгоритму в течение определенного промежутка времени. При этом выделяется некоторый основной интервал времени, который называется базовым. Поскольку стандартным временным интервалом в финансовых операциях является один год, наиболее распространен вариант, когда это год берется в качестве базового интервала и процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды. В этом случае будем опускать индекс у процентной ставки r₁ (как в дальнейшем и d₁ , v₁) и писать просто r (соответственного d, v). Известны две основные схемы дискретного начисления, т.е. начисления процентов за фиксированные в договоре интервалы времени:

• схема простых процентов (simple interest);

• схема сложных процентов (compound interest).

Схема простых процентов предполагает неизменность величины, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р; требуемая доходность - r (в десятичных дробях). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину Р*r. Таким образом, размер F инвестированного капитала через n лет будет равен

(2.1)

так как проценты начисляются на одну и ту же величину капитала в течение всего срока.

Выражение (2.1) называется формулой наращения по простым процентам или формулой наращения простыми процентами, а множитель (1+nr) - множителем наращения или коэффициентом наращения простых процентов. Очевидно, множитель наращения равен индексу роста капитала Р за n лет. При этом приращение капитала:

I = P n , (2.2)

пропорционально сроку ссуды и ставке процента, т.е. можно сделать вывод, что доход инвестора растет линейно вместе с n.

На практике процентная ставка r может зависеть от величины исходного капитала Р: с увеличением капитала Р увеличивается и устанавливаемая ставка r.

Отметим, что если ставка r дана в процентах, то при использовании формулы (2.1) ставку нужно выразить в десятичных дробях.

Пример

Найдите величину процента и наращенную сумму за трехлетний кредит в размере 20 тыс. р., взятый под 9 %.

Здесь Р = 20 тыс. p., n = 3 года, r = 0,09.

Тогда, I = P n r = 20 ∙ 3 ∙ 0,09 = 5,4 тыс. р.,

F = Р + I = 20 + 5,4 = 25,4 тыс. р.

Обратим внимание на размерности величин, определяющих процентный платеж (2.2). Так как Р измеряется в денежных единица, n - в единицах времени (годах), то размерностью r является 1/(единица времени) или 1/(год) т.е. размерности n и r всегда должны быть согласованы.

С этих позиций наращение по простым процентам в случае, когда продолжительность n финансовой операции не равна целому числу лет (например, меньше года), определяется по формуле

, (2.3)

где t ‑ продолжительность финансовой операции в днях;

Т ‑ количество дней в году.

Наращение по простым процентам применяется при обслуживании сберегательных вкладов с ежемесячной выплатой процентов и вообще в тех случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору. Простые проценты применяют и при выдаче широко распространенных краткосрочных ссуд, т.е. ссуд, предоставляемых на срок до одного года с однократным начислением процентов.

Пример

Клиент поместил в банк вклад в сумме 3,5 тыс. р. под 24 % годовых с ежемесячной выплатой процентов. Какую сумму клиент будет получать каждый месяц?

Решение. По условию Р = 3,5 тыс. р., года, r = 0,24, то по формуле (2.2) имеем:

I =3,5 ∙ ∙ 0,24 = 0,07 тыс. р.

Определяя продолжительность финансовой операции, принято день выдачи и день погашения ссуды считать за один день. В зависимости от того, чему берется равной продолжительность года (квартала, месяца), получают два варианта процентов:

• точный процент, определяемый исходя из точного числа дней в году (365 или 366), в квартале (от 89 до 92), в месяце (от 28 до 31);

• обыкновенный процент, определяемый исходя из приближенного числа дней в году, квартале и месяц (соответственно 361, 90, 30 дней).

При определении продолжительности периода, на который выдана ссуда, также возможны два варианта:

• принимается в расчет приблизительное число дней ссуды (расчет ведется по дням);

• принимается в расчет приблизительное число дней ссуды (исходя из продолжительности месяца в 30 дней).

Для упрощения процедуры расчета точного числа дней пользуются специальными таблицами (одна для обычного года, вторая для високосного), в которых все дни в году последовательно пронумерованы.

Продолжительность финансовой операции определяется вычитанием номера первого дня из номера последнего дня (прил. 1).

В том случае, когда в расчетах используется точный процент, берется и точная величина продолжительности финансовой операции; при использовании обыкновенного процента может применяться как точное, так и приближенное число дней ссуды. Таким образом, расчет может выполняться одним из трех способов:

• обыкновенный процент с приближенным числом дней, обозначаемый как 360/360 (применяется в Германии, Дании, Швеции);

• обыкновенный процент с точным числом дней, обозначаемый как 365/360 (Бельгия, Франция);

• точный процент с точным числом дней, обозначаемый как 365/365 (Великобритания, США).

В российской практике можно встретиться с различными схемами начисления процентов. Эффект же от выбора того или иного способа зависит от значительности суммы, фигурирующей в процессе финансовой операции.

Пример

Представлена ссуда в размере 7 тыс. р. 10 февраля с погашением 10 июня под 20 % годовых (год невисокосный). Рассчитать различными способами сумму к погашению (F).

Решение. Величина уплачиваемых за пользование ссудой процентов зависит от числа дней, которое берется в расчет. Точное число дней определяется по табл.1 в приложении 1: 161 - 41 = 120 дней.

Приближенное число дней ссуды равно: 18 дней февраля (59-41) + 90 дней (по 30 дней трех месяцев: март, апрель, май) + 10 дней июня =118 дней. Возможные варианты возврата долга:

1. В расчет принимаются точные проценты и точное число дней ссуды: = 7,460 тыс. р.

2. В расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число дней:

F = 7 (1 + 0,2) = 7,467 тыс. р.

3. В расчет принимаются обыкновенные проценты и приближенное число дней:

тыс.р.

3. Дисконтирование по простым процентам

При заключении финансовых соглашений часто приходится решать задачу, обратную задаче нахождения наращенной суммы. Например, по заданной сумме, которую предполагают получить (или уплатить) через время t, требуется определить величину капитала Р, который необходимо инвестировать в данный момент, чтобы через время t при постоянной процентной ставке получить сумму F. Аналогичная задача (нахождение Р по F) возникает и в том случае, когда проценты удерживаются непосредственно при выдаче ссуды (Р).

Как уже упоминалось, такое движение денежных средств от будущего к настоящему носит название дисконтирования. Говорят, что капитал F дисконтируется (или учитывается); величина удержанных процентов часто называется дисконтом. Заметим, что так же иногда называют и учетную ставку. Капитал Р, найденный с помощью процесса дисконтирования суммы F, в зависимости от контекста называется приведенной (современной, текущей, капитализированной) стоимостью. Понятие приведенной стоимости является одним из важнейших в количественном анализе финансовых операций.

Рассмотрим вначале математическое дисконтирование, являющееся процессом, обратным наращению первоначального капитала. При математическом дисконтировании решается задача нахождения такой величины капитала Р, которая через n лет при наращении по простым процентам по ставке r будет равна F. Решая (2.1) относительно Р, получим

. (3.1)

Таким образом, величина Р является приведенной стоимостью величины F. Дисконт - фактор (дисконтный множитель, коэффициент дисконтирования) показывает долю капитала Р в F и представляет собой величину, обратную множителю наращения простых процентов в формуле (2.1).

В качестве ставки дисконтирования используется процентная ставка r. Разность Д_r между F и Р называется дисконтом:

. (3.2)

Банковское дисконтирование, или банковский учет применяется при операции по так называемому учету векселей банком или другим финансовым учреждением.

Согласно международному вексельному законодательству, вексель является письменным безусловным обязательством или указанием векселедателя (заемщика) выплатить в установленный срок определенную сумму предъявителю векселя или лицу, указанному в векселе. Существуют различные виды векселей: простые, проводные, коммерческие, казначейские и т.д.

Векселя могут оформляться по-разному, однако чаще всего банку приходится иметь дело с суммой к погашению. Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда владелец векселя на сумму F (сумма к погашению) предлагает банку раньше срока оплаты векселя купить его. Такая покупка векселя у владельца до наступления срока оплаты по цене, меньшей той суммы, которая должна быть выплачена по векселю в конце срока, называется дисконтированием векселя. Сама операция дисконтирования векселя часто называется учетом векселя. Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учете векселя, называется дисконтированной величиной векселя.

Таким образом, векселедержателю досрочно выплачивается обозначенная в векселе сумма за вычетом определенных процентов, удерживаемых банком в свою пользу, она нередко называется дисконтом. Дисконт (обозначенный ) в этом случае представляет собой проценты, начисленные за время (n) от дня дисконтирования до дня погашения векселя на сумму (F), подлежащую уплате в конце срока. Если объявленная банком ставка дисконтирования равна d (учетная ставка), то

, (3.3)

и владелец векселя получит

Р = F - F nd = F (1 - nd), (3.4)

где множитель (1 - nd) называется дисконтным множителем или коэффициентом дисконтирования. Из формулы (3.3) видно, что величина дисконта пропорциональна и времени и ставке. Дисконтирование по формуле (3.4) называется банковским (коммерческим) дисконтированием.

Очевидно, что чем выше значение дисконтной ставки, тем большую сумму удерживает банк в свою пользу. Учет векселя чаще всего осуществляется способом 365/360.

Пример

Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 50 тыс. р. со сроком погашения 28.09.2011 г. Вексель предъявлен 13.09.2011 г. Банк согласился учесть вексель по учетной ставке 30 % годовых. Определить сумму, которую векселедержатель получит от банка.

Величина этой суммы рассчитывается по формуле (3.4) и при F = 50 тыс. р., и составит:

тыс.р.

Разность между F (номинальной величиной векселя) и Р (дисконтированной величиной векселя), равная , представляет собой комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу за предоставленную услугу. В данном примере:

= 50 - 49,375 = 0,625 тыс. р.

При учете денежных обязательств (и, в частности, векселей) банк может использовать процентную ставку и математическое дисконтирование.

В этом случае владелец денежного обязательства получит сумму, определяемую формулой (3.1), а комиссионные банка находятся по формуле (3.2).

Пример

Вексель на сумму 15 тыс. р. предъявлен в банк за 90 дней до срока его погашения. Банк учитывает вексель по простой процентной ставке 22% годовых. Определить сумму, полученную предъявителем векселя, и величину дисконта банка, если при учете использовался способ 365/365.

Полагая по формулам (3.1) и (3.2) находим

тыс.р.;

тыс.р.

Если бы банк использовал простую учетную ставку d = 22 % годовых и способ 365/360, то по формулам (3.3) и (3.4.) можно получить

тыс. р.

Р = 15 - 0,825 = 14,175 тыс. р.

Естественно, математическое дисконтирование выгоднее для векселедержателя, а банковское дисконтирование ‑ для банка.