Материал: Финансы и кредит. метод. указания к выполнению практических занятий и лабораторных работ для студ. спец. 080502, 061100, 080801. Жутаева Е.Н., Меркулова Г.И

4. Наращение сложными процентами

Для пояснения принципиальной разницы между простыми и сложными процентами рассмотрим такую ситуацию. Клиент положил в банк на несколько лет сумму, равную Р, под простые проценты по ставке r, причем счет можно закрыть в любое время, и происходит ежегодное начисление процентов. Если клиент через два года закроет счет, то он получит на руки F₂ = Р (1 + 2r).

Но он может поступить и таким образом: через год закрыть счет, получив сумму Р (1 + r), а затем положить эту сумму еще на год, осуществив тем самым операцию реинвестирования. Такое действие позволит ему в конце второго года получить

F₂' = Р (1 +r)(1 + r) = Р (1 + r)² = Р (1 + 2r + r²) = F₂ + Р∙r².

Величина больше F₂ на величину Р∙r² = (Р∙r)∙r, которая представляет собой проценты, начисленные на проценты Р∙r, полученные за первый год. Еще значительнее будет разница между суммой, полученной через три года при закрытии счета, и суммой, полученной в результате переоформления счета каждый год.

Ясно, что клиенту выгодно ежегодное переоформление счета. Поэтому с целью предотвращения такого рода действий и поощрения долгосрочных вкладов в коммерческой практике применяют сложные проценты.

Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала Р (как для простых процентов), а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов к их базе, и, следовательно, база, с которой начисляются проценты, все время возрастает. Таким образом, размер инвестированного капитала будет равен:

к концу первого года: = Р + Рr = Р (1 + r);

к концу второго года: F₂ = F + F ∙r = F (1 + r) = Р (1 + r) ;

к концу n-го года:

F_n = P(1+r)ⁿ. (4.1)

Равенство (4.1) называется формулой наращения по сложным процентам или формулой наращения сложными процентами; множитель (1+r) ‑ множителем наращения сложных процентов или мультиплицирующим множителем; (1 + r) ‑ коэффициентом наращения или сложным декурсивным коэффициентом.

Из формулы (4.1) видно, что множитель наращения равен индексу роста суммы Р за n лет. Очевидно, последовательность F , F₂, ..., F_n представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1 + r).

Пример

Депозит в 200 тыс. р. положен в банк на 4 года по 15 % годовых. Найти наращенную сумму, если ежегодно начисляются сложные проценты.

Применяя формулу (4.1), получим

F₄ = 200(1 + 0,15)⁴ = 349,801 тыс. р.

При наращении по сложным процентам финансовое соглашение может предусматривать плавающие процентные ставки. Пусть , , ..., - следующие друг за другом периоды и на период установлена процентная ставка . Тогда, учитывая капитализацию начисленных процентов при использовании схемы сложных процентов, наращенная сумма за время (считая, что все периоды и, следовательно, процентные ставки измеряются в одних и тех же соответствующих единицах) определяется по формуле

. (4.2)

Естественно, формулой (4.2) можно пользоваться и в тех случаях, когда периоды выражены в различных единицах времени. Необходимо только, чтобы размерность каждого периода была согласована с размерностью процентной ставки i_k.

Пример

Предприниматель получил в банке ссуду в размере 25 тыс. р. сроком на 6 лет на следующих условиях: для первого года процентная ставка равна 10% годовых, на следующие два года устанавливается маржа в размере 0,4% и на последующие годы маржа равна 0,7 %. Найти сумму, которую предприниматель должен вернуть в банк по окончании срока ссуды.

Так как Р = 25 тыс. р., = 1 год, n₂ = 2 года, = 3 года,

= 0,1; i₂ = 0,104; i₃ = 0,107, то по формуле (4.2)

F₆ = 25(1 + 0,1)(1 + 0,104)²(1 + 0,107)³ = 45,469 тыс. р.

Достаточно обыденными являются финансовые контракты, заключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться с помощью следующих методов:

- по схеме сложных процентов:

F_n=P (4.3)

- по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов ‑ для дробной части года):

F_n=P (4.4)

где w = [n] ‑ целое число лет (квадратной скобкой обозначена целая часть числа);

f ‑ дробная часть года (f = n - [g]); n = w + f.

Очевидно, что при f = 0 формулы (4.3) и (4.4) совпадают между собой и с формулой (4.1).

Пример

Банк предоставил ссуду в размере 10 тыс. р. на 30 месяцев под 30 % годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?

В данном случае n = 2,5; w = 2; f = 0,5.

По формуле (4.3):

= 10(1 + 0,3 =19,269 тыс. р.

По формуле (4.4):

= 10(1 + 0,3)²(1 + 0,5∙0,3) = 19,435 тыс. р.

Таким образом, в условиях задачи смешанная схема начисления процентов более выгодна для банка.

5. Дисконтирование по сложной процентной ставке

Оценивая целесообразность финансовых вложений в тот или иной вид бизнеса, исходят из того, являются ли эти вложения более прибыльными (при допустимом уровне риска), чем вложения в государственные ценные бумаги. Используя несложные методы, пытаются проанализировать будущие доходы при минимальном, «безопасном» уровне доходности.

Основная идея этих методов заключается в оценке будущих поступлений F_n (например, в виде прибыли, процентов, дивидендов) с позиции текущего момента. При этом, сделав финансовые вложения, инвестор обычно руководствуется тремя посылами:

а) происходит перманентное обесценение денег (инфляция);

б) темп изменения цен на сырье, материалы и основные средства, используемые предприятием, может существенно отличаться от темпа инфляции;

в) желательно периодическое начисление (или поступление) дохода, причем в размере не ниже определенного минимума.

Базируясь на этих положениях, инвестор должен оценить, какими будут его доходы в будущем, какую максимально возможную сумму допустимо вло­жить в данное дело исходя из прогнозируемой его рентабельности.

Для такого анализа используется следующая формула:

, (5.1)

где F_n ‑ доход, планируемый к получению через n лет;

Р ‑ текущая (или приведенная) стоимость (present value), т.е. оценка величины F_n с позиции текущего момента;

r ‑ процентная ставка.

Экономический смысл такого представления заключается в следующем: прогнозируемая величина денежных поступлений через n лет (F_n) с позиции текущего момента будет меньше и равна Р (поскольку знаменатель дроби больше единицы). Это означает также, что для инвестора сумма Р в данный момент времени и сумма F_n через n лет одинаковы по своей ценности.

Аналогично случаю простых процентов процесс нахождения Р по F_n по формуле (5.1) называется математическим дисконтированием, т.е. решается задача нахождения такой величины капитала Р, которая через n лет при наращении по сложным процентам по ставке r будет равна F_n.

Множитель называется дисконтным множителем.

Определяя процентную ставку в дисконтном множителе, обычно исходят из так называемого безопасного, или гарантированного, уровня доходности финансовых инвестиций, который обеспечивается государственным банком по вкладам или при операциях с ценными бумагами. При этом может даваться надбавка за риск, причем чем более рисковым считается рассматриваемый проект или финансовый контракт, тем больше размер премии за риск. Иными словами, процентная ставка r, используемая в дисконтном множителе, будет в этом случае иметь следующий вид:

, (5.2)

где r_f ‑ безрисковая доходность;

r_r ‑ премия за риск.

Пример

Что выгоднее: получить 2,8 тыс. р. через 3 года или 2,9 тыс. р. через 4 года, если можно поместить деньги на депозит под сложную ставку 10 % годовых?

Решение. С позиции текущего момента:

= 2,104 тыс. р.,

1,981 тыс. р.,

следовательно, выгоднее получить 2,8 тыс. р. через 3 года.

6. Задачи для практических занятий по курсу «Финансы и кредит»

Задача 6.1

Предприниматель получил на полтора года кредит в размере 40 тыс. р. с условием возврата 50 тыс. р. Определить процентную ставку, учетную ставку и дисконт-фактор за полтора года. Чему равен индекс роста суммы кредита.

Задача 6.2

Имеется два варианта вложения капитала на 3 года. Согласно первому варианту исходный капитал за первый год увеличится на 15%, за второй год вся сумма увеличится на 35%, а за третий год - еще на 10%. Для второго варианта рост капитала составит каждый год 20% от суммы предыдущего года. Какой вариант лучше?

Задача 6.3

Вы поместили в банк вклад 10 тыс. р. под простую процентную ставку 26% годовых. Какая сумма будет на вашем счете через 3 года? Какова будет величина начисленных процентов? Если банк осуществляет регулярные выплаты начисленных процентов, то какую сумму вы будете получать: а) каждый год;

б) каждый квартал?

Задача 6.4

На какой срок необходимо поместить денежную сумму под простую процентную ставку 28 % годовых, чтобы она увеличилась в 1,5 раза.

Задача 6.5

Предпринимателю 14 февраля была предоставлена ссуда в размере 20 тыс. р. с погашением 14 июля того же года под процентную ставку 30% годовых.

Рассчитайте различными способами сумму к погашению, если начисля­ются простые проценты и год невисокосный.

Задача 6.6

На какой срок клиент банка может взять кредит в размере 20 тыс. р. под простые проценты с условием, чтобы величина возврата долга не превышала 22 тыс. р., если процентная ставка равна 34 %, в расчет принимаются точные проценты с точным числом дней и год високосный?

Задача 6.7

В банк 6 мая предъявлен для учета вексель на сумму 14 тыс. р. со сроком погашения 10 июля того же года. Банк учитывает вексель по учетной ставке 40 % годовых, используя способ 365/360. Определите сумму, которую получит векселедержатель от банка, и комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу за предоставленную услугу.

Задача 6.8

Вексель на сумму 9 тыс. р. учитывается по простой учетной ставке за 120 дней до погашения с дисконтом 600 р. в пользу банка. Определите, величину этой годовой учетной ставки при временной базе, равной 360 дней в году.

Задача 6.9

Сумма 20 тыс. р. инвестируется под процентную ставку 25 % годовых: а) на 6 лет; б) на 9 лет.

Найдите наращенные суммы при условии ежегодного начисления слож­ных и простых процентов.

Задача 6.10

В банке получена ссуда в размере 40 тыс. р. на 8 лет на следующих условиях: для первых трех лет процентная ставка равна 28 % годовых, на следующий год устанавливается маржа в размере 1 %, и на последующие годы маржа равна 1,5 %. Найдите сумму, которая должна быть возвращена банку по окончании срока ссуды при ежегодных начислениях сложных процентов.