Курсовая работа (т): Гідродинамічні рівняння

Гідродинамічні рівняння

Міністерство освіти і науки України

Рівненський державний гуманітарний університет

Кафедра фізики

Курсова робота

на тему: “Гідродинамічні рівняння”

Виконала:

Сінчук Алеся Михайлівна

Науковий керівник:

Волошин О.М.

Рівне 2007

Зміст

Вступ

Розділ 1. Загальні поняття про рідини

1.1 Об'ємні сили

.2 Поверхневі сили

Розділ 2. Основні рівняння гідродинаміки

2.1 Рівняння нерозривності рідини

2.2 Рівняння руху рідини

.3 Рівняння стану рідини (газу)

.4 Рівняння припливу тепла

Висновок

Бібліографія

Вступ

У даній курсовій роботі розкриті загальні поняття про рідини, поділивши їх на краплинні і газоподібні. Виведено основні рівняння гідродинаміки: рівняння нерозривності рідини у формі Ейлера, рівняння руху рідини, враховуючи сили інерції, рівняння стану рідини та рівняння припливу тепла.

Основна мета полягає в тому, щоб розвинути ясну уяву про фізичну сутність величин, рівнянь і методів, якими користується сучасна гідродинаміка: об'ємні та поверхневі сили, гідростатичний (у нерухомій рідині) та гідродинамічний (у рухомій рідині) тиск, рівняння нерозривності у формі Ейлера -  рівняння руху ідеальної рідини -  основне рівняння гідродинаміки у формі Фрідмана -  рівняння Гельмгольца -  та його дуже важливі теореми, рівняння руху в'язкої рідини (рівняння Нав'є-Стокса) -  рівняння стану для нестисливої рідини -  рівняння стану для реального газу (формула Ван-дер-Ваальса) -  рівняння припливу тепла -  та різні їх види.

З метою полегшення розуміння і глибшого осмислення фізичних і математичних закономірностей у ряді випадків спрощуються викладки і методи їх доведення, намагаючись ні в якому разі не знизити науково-теоретичного рівня висвітлення відібраного матеріалу.

Розділ 1. Загальні поняття про рідини

гідродинаміка рівняння газ ейлер

Слабкий зв'язок між частинками рідини, а також між частинками і твердими стінками посудин дав привід гідродинаміці розглядати рідини як тіло з повною рухомістю своїх частинок при відсутності між ними щеплення і тертя. Така уявна рідина називається ідеальною. У реальних рідинах повної рухомості всіх частинок немає і діючі між ними сили зчеплення і тертя обумовлюють, так звану в'язкість або внутрішнє тертя. Сили, які виражають внутрішнє тертя у рідині, відносяться до внутрішніх сил. Багато теоретичних висновків, одержаних для ідеальної рідини, застосовується при розв'язанні чисто практичних задач, в яких в'язкістю можна нехтувати.

Розрізняють краплинні і газоподібні рідини. Краплинні рідини відрізняються своєю нестисливістю, тобто вони не пружні. Газоподібні рідини, навпаки,- стисливі, тобто вони пружні і намагаються завжди поширюватися.

Звичайно гідродинаміка розглядає такі рухи рідин, при яких у середині потоків не утворюється пустота, тобто не спостерігається розриву струмин рідини. Такий рух називають нерозривним або неперервним. Система матеріальних точок називається суцільним середовищем, якщо вони суцільно заповнюють деякий об'єм.

При вивченні руху або рівноваги суцільного середовища не звертають уваги на її молекулярну структуру, так само, як і у загальній механіці. Зауважимо, що різні суцільні середовища неоднаково реагують на дію прикладених до них зовнішніх сил. Ця різниця виявляється настільки істотньою, що класифікацію суцільних середовищ за їх фізичними властивостями зручніше всього провести з точки зору тих змін, які викликають у них прикладені зовнішні сили. Всяка зовнішня сила, яка діє на суцільне середовище, завжди відноситься до однієї з двох категорій: об'ємних (масових) або поверхневих сил. [1]

1.1 Об'ємні сили

Об'ємні сили діють на всі точки суцільного середовища, незалежно від того, лежать ці точки на поверхні, що охоплює середовище, чи знаходяться у середині нього. Такі сили відносяться до одиниці маси. Прикладом їх може бути сила тяжіння. [1]

Якщо позначити силу, яка діє на одиницю маси суцільного середовища через  а її складові по координатним осям - через , У,  то об'ємна сила, що діє на елементарний об'єм  суцільного середовища, очевидно, визначиться виразом , а її складові -    де густина  вважається приблизно сталою величиною для всіх точок елементарного об'єму  (якщо рідина нестислива).

У загальному випадку (коли рідина стислива) густина суцільного середовища

 (1.1)

розглядається як функція від координат і часу, тобто

(1.2)

Головний вектор об'ємних сил, які діють на скінченний об'єм суцільного середовища, виражається потрійним інтегралом по цьому об'єму

 (1.3)

   (1.4)

Розмірність об'ємної сили, віднесеної до одиниці маси, однакова з розмірністю прискорення, тобто  а в об'ємної сили  яка діє на елементарний об'єм, розмірність дорівнює  [2]

.2 Поверхневі сили

Поверхневі сили - це сили, які діють лише на точки суцільного середовища, що розташовані на поверхні , яка охоплює це середовище. [1]

Поверхневі сили відносяться до одиниці поверхні. Якщо таку силу позначити через , а її складові по координатах - через    тоді поверхнева сила, що діє на елементарну площину  визначиться як  а її складові - через    Вектор  залежить від орієнтації площини  тобто від напряму зовнішньої нормалі до неї. Головний вектор поверхневих сил, який діє на скінченну поверхню , виражається у вигляді подвійного інтеграла, взятому по всій поверхні , тобто  або в його складових

   (1.5)

Прикладом поверхневої сили може бути атмосферний тиск, що діє на точки вільної поверхні рідини, налитої у посудину. Розмірність поверхневої сили , віднесеної до одиниці площини, є

Тепер дамо точне поняття тиску у даній точці рідини. Для цього виділимо у рідині досить малу площинку  і визначимо силу , з якою діють частинки рідини на одну з боків цієї площинки. Взявши відношення величини сили  до величини площинки, знаходимо середнє значення сили, з якою частинки діють на площинку. Переходячи далі до границі цього відношення при зменшенні площинки до нуля, знаходимо нову величину , яка називається тиском у даній точці рідини, тобто

 (1.6)

Тиск, який спостерігається в окремих точках нерухомої рідини, називається гідростатичним, а у рухомій рідині - гідродинамічним.[5]

Гідродинамічний тиск є функція від координат і часу, тобто

 (1.7)

Розділ 2. Основні рівняння гідродинаміки

2.1 Рівняння нерозривності рідини

При вивченні руху рідини розподіл швидкостей у ній не можна розглядати ізольовано від розподілу мас. Через це при описуванні миттєвого стану руху рідини можна користуватися двома векторними полями - швидкості та питомої кількості ручу. Умови матеріальності і суцільності середовища, не обмежуючи загальності цих векторних полів, приводять до основного зв’язку їх з масою. Оскільки відбувається переміщення змінюваних мас, суцільно заповнюючих об’єм, то значення миттєвого поля руху рідини містить у собі і значення наступного поля маси. Ці положення приводять до внутрішнього зв’язку між швидкостями частинок рідини та її густиною, математичний вираз якого називається рівнянням нерозривності. Рівняння нерозривності являє собою частинну, спеціалізовану для суцільного середовища, форму всезагального закону природи - закону збереження маси.

Розглянемо рух газу, вважаючи його стисливою рідиною. У цьому випадку густина газу  буде функцією від координат точки і часу, тобто

 (2.1)

Рух стисливого середовища можна охарактеризувати завданням поля вектора швидкості  як функції від координат точки і часу, тобто

 (2.2)

Нехай нерухома поверхня  охоплює у середині рухомої рідини довільно взятий об’єм  Виділимо у середині цього об’єму елементарний об’єм  Маса рідини  що вміщується у цей об’єм, визначається у вигляді

 (2.3)

Маса рідини  що знаходиться в об’ємі  визначиться інтегралом, взятим по всьому цьому об’єму, тобто

 (2.4)

Якщо густина  є функція від часу, то за час  вона зміниться на Відповідно до цієї зміни густина маси рідини М одержить приріст

 (2.5)

Але зміна маси рідини може відбутися лише за рахунок того, що будь-яка рідина надходить до об'єму  проходячи скрізь поверхню  яка охоплює цей об'єм. Однак за час  через елемент поверхні  із зовнішньою нормаллю п витече назовні об'єм рідини з.масою, що дорівнює  Через цю ж поверхню  за час  витече

 (2.6)

де  - нормальна складова швидкості. Тому що зменшення кількості рідини у середині об'єму повинно дорівнювати кількості рідини, яка протікає за той же час через поверхню , то, прирівнюючи два одержані вирази для зміни маси  що знаходиться у середині нерухомої поверхні, одержуємо

 (2.7)

 (2.8)

 (2.9)

Через те що об'єм  - довільний, то необхідно, щоб

(2.10)

або, розкриваючи вираз для дивергенції швидкості, одержуємо

 (2.11)

Рівняння (2.10) і (2.11), які пов'язують дві функції від координат і часу  та , називаються рівнянням нерозривності у формі Ейлера. [7]

Ця форма рівняння нерозривності найбільш часто використовується у теоретичних дослідженнях. Запишемо рівняння (2.10) в іншій формі, більш зручнішій для подальших висновків.

Якщо врахувати векторну тотожність

 (2.12)

то рівняння (2.10) можна записати у вигляді

 (2.13)

Ураховуючи співвідношення, яке пов'язує повний диференціал з частинною похідною,

 (2.14)

попередня форма рівняння нерозривності набуває вигляду

 (2.15)

Ця форма рівняння нерозривності і використовується у магнітній гідродинаміці. Якщо рідина нестислива (краплинна), то