Курсовая работа (т): Гідродинамічні рівняння

2.3 Рівняння стану рідини (газу)

У випадку ідеальної стиснутої рідини при визначенні з рівнянь руху рідини складових    тиску  і густини  за п'яте рівняння беруть рівняння стану рідини. Це рівняння пов'язує тиск у рідині  з її густиною, температурою Т та іншими величинами.[2]

Форма рівняння стану для різних рідин встановлюється експериментально. Найбільш просту форму рівняння стану набуває для нестисливої рідини, для якої густина є стала величина. [4]

Рівняння

 (2.57)

і є рівняння стану для нестисливої рідини. Рідини, для яких густина залежить лише від тиску, тобто

 (2.58)

називаються баротропними. Може бути виділений цілий клас баротропних рідин, для яких рівняння стану набуває різну форму. Так, при ізотермічних процесах рівняння стану можна записати у вигляді

 (2.59)

де с - стала величина.

Для політропних процесів рівняння стану набуває вигляду

 (2.60)

де  - параметр, який називається показником політропи.

При адіабатичному процесі рівняння стану можна записати у вигляді

 (2.61)

де  - деяка стала величина;

 - відношення теплоємності при сталому тиску  до теплоємності при сталому об'ємі.

Очевидно, за допомогою рівняння стану (2.58) у випадку баротропної рідини з рівняння руху рідини можна виключити густину, і тим самим число величин, що відшукується, приводиться відповідно до числа рівнянь, і задача стає розв'язаною. У випадку бароклінної рідини, в якій густина залежить не лише від тиску, а й від інших факторів, наприклад від температури, рівняння стану набуває більш складної форми. Так, рівняння стану для реального газу виражається формулою Ван-дер-Ваальса.

 (2.62)

де т - дана маса газу;  - молекулярна маса, а

 (2.63)

є універсальна газова стала. Сталі  та  залежить від хімічної природи газу і пов’язані з його критичними тиском  та температурою  співвідношеннями

 і  (2.64)

Проте додаванням рівняння стану бароклінної рідини до трьох рівнянь руху і рівняння нерозривності ще не досягається та мета, яка ставиться введенням до розгляду рівняння стану і яка полягає у зведенні числа величин, що відшукуються, відповідно до числа рівнянь, які їх пов'язують. Так, рівняння (2.62) вводить нову (шосту) невідому функцію (температуру Т) і, таким чином, доводиться вводити шосте рівняння, яким є рівняння припливу тепла.[7]

.4 Рівняння припливу тепла

 (2.65)

де  - кінетична енергія об’єму  

 - внутрішня енергія цього об’єму;

 - приплив тепла, віднесений до всього об’єму

Потрійний інтеграл тут виражає роботу всіх об'ємних сил в одиницю часу, а поверхневий інтеграл - роботу всіх поверхневих сил в одиницю часу.

Скористуємося рівнянням руху в'язкої рідини (2.55) і запишемо його у вигляді

 (2.66)

Перемножуючи праві і ліві частини рівнянь (2.66) відповідно на    додаючи їх та інтегруючи по всій масі рідини, яка займає об'єм  одержимо вираз теореми про зміну кінетичної енергії

(2.67)

Знайшовши аналогічні співвідношення для осей  і  та помічаючи, що

(2.68)

теорему про зміну кінетичної енергії можемо записати у вигляді

 (2.69)

Перетворюючи другий інтеграл правої частини у поверхневий, за теоремою Остроградського-Гаусса

 (2.70)

і позначаючи підінтегральний вираз третього через , одержимо

 (2.71)

У випадку в'язкої рідини робота сил, прикладених до рідини, не повністю іде на зміну кінетичної енергії системи, тому що частина її переходить у тепло. Віднімаючи (2.71) від (2.65), одержуємо

 (2.72)

Це і є рівняння припливу тепла в інтегральній формі; воно показує, що зміна внутрішньої енергії рідини відбувається як за рахунок зовнішнього тепла, так і за рахунок перетворення механічної енергії у тепло. [6]

Перетворимо тепер інтегральну форму рівняння припливу тепла (2.72) в його диференціальну форму. Позичаючи через  внутрішню енергію, віднесену до одиниці маси, а через  - кількість тепла, яке одержує із зовні одиниця маси в одиницю часу, знайдемо

 і  (2.73)

Підставивши ці значення  і  у рівняння (2.72), одержимо

 (2.74)

Через те що маса  залишається сталою величиною, то у лівій частині рівності (2.74) можна змінити порядок математичних операцій, тобто виявляється справедливою рівність

 (2.75)

Якщо перенести всі члени рівності (2.74) у ліву частину і взяти загальний знак інтегралу з урахуванням рівності (2.75), то знаходимо

 (2.76)

Але об'єм  довільний, тому рівняння (2.76) можна записати у вигляді

 (2.77)

або у розгорнутій формі

 (2.78)

Це і є загальна форма рівняння припливу тепла. Виходячи з гіпотези Стокса, що між компонентами напруження і компонентами швидкості деформації є лінійна залежність, можна записати

 (2.79)

 (2.80)

де  - коефіцієнт динамічної в'язкості рідини, який залежить від фізичних властивостей рідини;

 - гідродинамічний тиск ідеальної рідини. У рівняннях (2.79) знак мінус показує, що тиск направлений у середину даного об'єму рідини. Параметр , який залежить від молекулярної будови рідини, визначається для кожної рідини експериментально.

Вводячи у рівняння припливу тепла (2.78), замість напружень швидкості деформацій за формулами (2.79) і (2.80), після простих перетворень одержимо

 (2.81)

Це і є остаточна диференціальна форма рівняння припливу тепла. З'ясуємо тепер фізичний зміст членів, які входять до рівняння (2.81). [9]

Якщо рідина ідеальна, то  = 0, і рівняння припливу тепла (2.81) набуває вигляду

 (2.82)

Але згідно з рівнянням нерозривності

(2.83)

(2.84)

Приймаючи до уваги, що для ідеального газу  одержимо

 (2.85)

де  - питома теплоємність при сталому об'ємі;

Т - абсолютна температура.

У рівнянні припливу тепла (2.81) член  відмінний від нуля лише для випадку ідеальної стисливої рідини. Отже, він виражає те тепло, яке іде на роботу розширення рідини, або тепло, яке виникає внаслідок стиснення цієї рідини. Усі інші члени цього рівняння пов'язані з в'язкістю і виражають кількість тепла, яке виникає в одиниці об'єму рідини за одиницю часу за рахунок перетворення механічної енергії у тепло. Сукупність усіх членів, що пов'язані з в'язкістю, виражає дисипацію (розсіювання) механічної енергії

 (2.86)

Дисипація механічної енергії складається з двох частин: одна з них пов'язана зі стисливістю в'язкої рідини, а друга - з її деформацією. Часто стисливістю рідини нехтують, і тоді дисипація механічної енергії визначається за формулою

 (2.87)

З цього рівняння видно, що дисипація механічної енергії є величина позитивна. При цьому завжди відбудеться приплив тепла, тобто перетворення механічної енергії у тепло. Приєднуючи дисипацію  до рівності (2.85), рівняння припливу тепла можна записати у вигляді

 (2.88)

Тому що рівняння (2.88) відноситься до рухомої частинки, то

 (2.89)

При загальному розв'язанні задачі ураховуються такі форми передачі енергії у рідині:

) дисипація механічної енергії у тепло, обумовлена в’язкістю рідини;

) перенесення тепла адвекцією (по горизонталі) і конвекцією (по вертикалі);

) теплопровідність;

) поглинання променевої енергії і випромінювання;

5) перетворення енергії, яке пов'язане зі зміною фаз.

Якщо процес адіабатичний, тоді . Нехтуючи дисипацією енергії (D= 0), з (2.88) одержимо рівняння адіабати

 (2.90)

або, ураховуючи рівняння Менделєєва-Клапейрона

 (2.91)

одержимо

 (2.92)

Можна також розглядати величину  як задану функцію від координат точки і часу, а також компонентів швидкості. Якщо температура рідини змінюється від точки до точки, то перенесення здійснюється не лише адвекцією, але і теплопровідністю. Тому що остання являє собою безпосереднє перенесення енергії рухомими молекулами, яке ніяк не пов'язане з молярним рухом, то явище теплопровідності є і у нерухомій рідині. Потік тепла , обумовлений теплопровідністю, за формулою Ньютона, пропорційний зниженню температури, тобто градієнту температури з оберненим знаком

де  - коефіцієнт пропорційності, який називається коефіцієнтом теплопровідності. Якщо  мало змінюється при зміні температури і тиску, то його можна вважати заданою константою, яка характеризує фізичні властивості рідини. [3]

Виділяючи у рідині елементарний паралелепіпед з гранями, паралельними координатним площинам, і розглядаючи потоки тепла, які витікають з нього, знаходимо, що кількість тепла, яке одержує одиниця маси за одиницю часу внаслідок теплопровідності дорівнює

 (2.94)

З урахуванням (2.94) рівняння припливу тепла набуває вигляду

 (2.95)

Розглянемо кілька окремих випадків:

а) якщо рідина ідеальна (), то

 (2.96)

б) якщо рідина нестислива (), то

 (2.97)

 (2.98)

де  - коефіцієнт температуропровідності;

в) якщо рідина нерухома, то можна одержати рівняння теплопровідності

 (2.99)

Отже, рівняння припливу тепла при певних умовах перетворюється у рівняння теплопровідності;

г) для стисливої ідеальної рідини рівняння припливу тепла можна записати у більш строгій формі

 (2.100)

При невеликих коливаннях тиску рідини  рівняння теплопровідності набуває вигляду (2.99) лише з тією різницею, що до коефіцієнта температуропровідності входить  замість