Курсовая работа (т): Гідродинамічні рівняння

 і  (2.16)

тоді рівняння нерозривності набуває вигляду

 або  (2.17)

З цього рівняння видно, що для нестислої рідини можливий не будь-який її рух, а такий, при якому швидкості частинок рідини задовольняють умові, що виражає рівняння (2.17).

При застосуванні рівняння нерозривності до пружньої рідини - газу треба замість  скористуватися рівнянням Менделєєва-Клапейрона у формі

 (2.18)

де  - універсальна газова стала, яка не залежить від природи газу; - молекулярна маса газу і Т - температура газу.

Якщо ж рух нестисливої рідини має потенціал швидкості , тобто

 (2.19)

 (2.20)

 (2.21)

Таким чином, при русі нестисливої рідини потенціал швидкості задовольняє рівнянню Лапласа. [11]

.2 Рівняння руху рідини

Обмежимося розглядом руху рідини, тобто без урахування сил тертя як зовнішніх, так і внутрішніх. Проте при характеристиці реальних рідин будемо вводити деякі члени, оскільки реальні рідини рухаються лише з наявністю більшої чи меншої в'язкості. [1]

Відрізняють такі сили, що діють на елемент рідини, яка рухається в полі сил тяжіння:

а) масові сили, пропорційні елементові об'єму;

б) сили тиску, пропорційні елементам поверхні;

в) сили інерції, пропорційні прискоренню .

Сукупність цих сил задовольняє другому закону Ньютона

 (2.22)

Розглянемо довільний об'єм  рухомої ідеальної рідини, охоплений поверхнею  яка всіма своїми точками лежить у тій же рідині.

Маса елемента об'єму  дорівнює , а зовнішня сила, яка діє на елемент об'єму, дорівнює  де  зовнішня сила, віднесена до одиниці маси;  - стала густина рідини в об'ємі  Сила інерції буде дорівнювати добуткові маси частинки  на прискорення  взятому зі знаком мінус, тобто -  де  - прискорення, віднесене до одиниці маси рідини. Головний вектор усіх масових сил, прикладених до частинок рідини, що знаходиться в об'ємі , і всіх сил інерції визначиться рівністю

 (2.23)

Але на частинки рідини, що знаходяться у середині поверхні , діють ще поверхневі сили, які теж є зовнішніми силами, що являють собою тиск на ці частинки зовнішньої маси рідини у відношенні до об'єму . Через те що на елемент поверхні  діє сила тиску  то головний вектор усіх поверхневих сил, прикладених до частинок рідини, які розташовані на поверхні , можна зобразити у вигляді інтеграла

 (2.24)

де  - тиск, віднесений до одиниці поверхні і направлений по внутрішній нормалі п до поверхні , а  - одиничний вектор. Застосовуючи принцип Даламбера до системи всіх рідких частинок, що заповнюють об'єм , згідно з яким головний вектор всіх перелічених сил дорівнює нулю, одержимо

 (2.25)

 (2.26)

Застосовуючи до другого інтеграла цієї рівності перетворення, аналогічне формулі Остроградського-Гаусса, тобто ураховуючи, що

 (2.27)

 (2.28)

Об'єм  довільний, тому підінтегральна функція дорівнює нулю у кожній точці рідини і у кожний момент часу, тобто

 (2.29)

звідси знаходимо

 (2.30)

Але тому що  де  - швидкість руху рідини, то рівняння (2.30) набуває вигляду

 (2.31)

або у проекціях

 (2.32)

Вирази (2.32) називають рівняннями руху ідеальної рідини у координатній формі. Це і є рівняння руху ідеальної рідини, яке часто називають неповним рівнянням гідродинаміки рідини у векторній формі.

Використовуючи співвідношення між повним диференціалом і частинною похідною (оператор Ейлера)

 (2.33)

рівняння (2.31) набуває вигляду

 (2.34)

 (2.35)

У такому вигляді рівняння руху середовища звичайно і використовують у магнітній гідродинаміці. Проектуючи на координатні осі обидві частини рівняння руху ідеальної рідини у векторній формі, одержимо

 (2.36)

Усі ці рівняння відомі під назвою рівняння руху ідеальної рідини у формі Ейлера і є фундаментом для теоретичного вивчення руху рідких і газоподібних середовищ. [2]

Якщо рідини знаходяться під дією масових сил, у яких є потенціал, тобто

 (2.37)

   (2.38)

рівняння (2.31) набуває вигляду

 (2.39)

Російський учений І.С. Громеко, вводячи у рівняння руху (2.35) складові вектора вихору, перетворив його до вигляду, зручного для дослідження найрізноманітніших явищ, що пов'язані з рухом рідини, а саме: диференціюючи швидкість руху рідини у складових, тобто

 (2.40)

після відповідної підстановки цього результату у рівняння (2.32) і введенням компонентів вихору

 (2.41)

одержимо

 (2.42)

Ці рівняння відомі під назвою рівнянь руху ідеальної рідини у формі Громеко.

Очевидно, замість трьох скалярних рівнянь (2.42) можна одержати одне рівняння у векторній формі

 (2.43)

Рівняння (2.43) також можна легко одержати перетворенням рівняння (2.35) за допомогою векторного співвідношення

 (2.44)

Рівняння руху ідеальної рідини у формі Громеко (2.42) і (2.43) носять загальний характер, тому що при їх виведенні не робиться жодних припущень - ні відносно руху рідини, ні відносно самої рідини, за винятком лише припущення, що вона є ідеальна. Серед інших форм рівнянь руху ідеальної рідини поширене векторне рівняння руху у формі вихору. Рівняння (2.43) радянський учений О.О. Фрідман звів до вигляду, зручного для дослідження тих змін, які відбуваються у вихорів з часом, а саме: застосовуючи операцію до обох частин рівняння (2.43) та оператор Ейлера до вихрового вектора  одержимо

 (2.45)

Це рівняння і є рівнянням руху ідеальної рідини у формі виходу і часто називається основним рівнянням гідродинаміки у формі Фрідмана. Рівняння (2.45), взяте у загальному вигляді, дозволяє визначити ті зміни вихрового вектора поля з часом, які обумовлені відсутністю у масових сил потенціалу і бароклинності рідини. Коли у масової сили є потенціал, то

 (2.46)

 (2.47)

якщо ж рідина баротропна, то

 і  (2.48)

Звідси, за колінеарністю векторів  і  маємо

 (2.49)

Ураховуючи (2.47) і (2.49), рівняння Фрідмана (2.45) набуває більш простого вигляду

 (2.50)

Коли рідина нестислива, то рівняння (2.50) можна записати у вигляді

 (2.51)

Це співвідношення вперше було одержане Гельмгольцем і називається рівнянням Гельмгольца. За допомогою рівняння (2.51) Гельмгольц довів дві дуже важливі теореми:

1.  Якщо в ідеальній баротропній рідині, що рухається під дією потенціальних сил, деяка “рідинна” лінія у даний момент являє собою вихрову лінію, то ця “рідинна” лінія і в будь-який інший момент залишиться також вихровою лінією.

2.  Якщо ідеальна баротропна рідина рухається під дією потенціальних сил, то інтенсивність вихрової трубки не змінюється на протязі всього руху. [8]

Виведення рівняння руху в'язкої рідини досить громіздке, тому тут даємо його без виведення.

Рівняння руху в'язкої рідини у векторній формі можна записати у вигляді

 (2.52)

де  - коефіцієнт кінематичної в'язкості,

а  - коефіцієнт внутрішнього тертя, або коефіцієнт в'язкості. Розмірність

 а  (2.53)

Коефіцієнт в'язкості  для різних рідин змінюється у широких межах. Так, для повітря  (при ), для ртуті -  (при ). У проекціях по координатах рівняння руху в'язкої рідини (2.52) набуває вигляду

 (2.54)

де  а  оператор Лапласа.

Рівняння (2.52) і (2.54) називаються рівняннями Нав'є-Стокса. [2]

Рівняння в'язкої рідини в напруженнях можна записати у вигляді

 (2.55)

або в аналітичній формі

 (2.56)

де   

У рівняннях (2.56) координати    і час  є незалежні змінні, що відповідають довільності вибору місця і часу спостереження. Складові    об'ємної сили  задані, останні ж величини невідомі і повинні визначатися за рівнянням (2.55) як функції від координат    і часу .

З диференціальних рівнянь (2.52) і (2.54) видно, що для визначення складових швидкості руху    її густини  і тиску  як функції від координат    і часу  по заданих компонентах    масової сили  є лише три рівняння, і задача, таким чином, виявляється нерозв'язаною (є три рівняння, а невідомих п'ять). Отже, для того щоб система рівнянь була визначеною, необхідно ще скласти два рівняння.

Якщо рідина нестислива, то густина  є величина стала і її можна вважати відомою. У цьому випадку, додаючи до одержаної системи рівнянь ще одне (четверте) рівняння нерозривності, число невідомих стає рівним числу рівнянь, і задача про визначення     розв'язується до кінця при умові інтегровності рівнянь руху рідини. Коли ж рідина стислива, за п'яте рівняння Веруть рівняння стану рідини. [1]