(14)
В случае (14) система уравнений (11) с нулевым векторным потенциалом приводится к виду:
(15)
Вычисляя компоненты 4-вектора тока, и используя первое условие нормировки (13), находим
(16)
Используем полученные результаты для вычисления магнитных моментов нейтрона и протона. Общие свойства исследуемых нуклонов и кварков представлены в таблицах 2-3. Если предположить, что в составе протона кварки типа имеют противоположно направленные спины, а в составе нейтрона кварки имеют противоположно направленные спины, тогда магнитный момент протона зависит от эффективной массы кварка, а магнитный момент нейтрона зависит от эффективной массы кварка. В этих предположениях находим
(17)
В случае протона имеем , соответственно уравнение (17) имеет два корня
. (18)
Для нейтрона , а эффективная масса кварка имеет два значения:
. (19)
Следовательно, в каждом случае имеем два корня уравнения (17). Один из них соответствует очень малой энергии кварков порядка нескольких кэВ.
Таблица 3. Свойства нуклонов
Модель кварков и лептонов
Используем полученные результаты для вычисления магнитных моментов электрона и кварков. Общие свойства исследуемых частиц представлены в таблицах 1-2. С учетом (14)-(16), находим из второго уравнения (13) выражение магнитного момента
(20)
Здесь - собственное значение оператора спина равное в зависимости от состояния системы - последняя колонка в таблице 1 (величина проекции спина равная Ѕ учитывается в выражении тока). Как известно, магнитные моменты кварков могли бы давать вклад в магнитные моменты барионов [32]. Однако при тех значениях массы легких кварков, которые приведены в базах данных элементарных частиц [34], этот вклад может на три порядка превышать наблюдаемые магнитные моменты протона и нейтрона. Чтобы исключить такую возможность, положим, что магнитные моменты кварков точно равны нулю. В этих предположениях находим следующие уравнения, связывающие магнитные моменты и массы частиц:
(21)
Система уравнений (21) содержит 4 уравнения и 5 неизвестных, поэтому, задавая массу любого преона или кварка как параметр, можно определить массу четырех остальных частиц. Отметим, что отношение масс двух типов кварков принимает в модели (21) семь значений в диапазоне .
Модель (21) позволяет определить численные значения отношения масс кварков. В частности, для находим 7 значений
(22)
Известно, что диапазон разброса массы легких кварков довольно велик [34], а наиболее распространенным приближением в моделях LQCD является равенство масс легких кварков u и d. Поэтому результаты (22), с одной стороны, согласуются с представлениями о свойствах легких кварков [34], а с другой стороны, множество значений свидетельствует, что существует спектр масс кварков. Однако, если в модель (22) добавить уравнения, описывающие странный кварк, то полученная в результате система уравнений не имеет решений. Это означает, что преоны входят в состав странного кварка с иной массой, чем в состав легких кварков u и d. Этот состав можно определить из системы уравнений
Аналогичные решения можно построить для верхнего кварка и очарованного кварка.
Рассмотрим структуру лептонов. Известно, что нейтрино обладает нулевой массой и нулевым магнитным моментом, тогда как масса и магнитный момент электрона отличны от нуля, следовательно
(23)
Отметим, что система (23), как и аналогичная система (21), содержит 4 уравнения и 5 неизвестных. В этом случае можно в качестве независимого параметра выбрать массу электрона. В результате находим зависимости энергии преонов и магнитного момента электрона от массы электрона. Эти зависимости являются однозначными только в области параметров , т. е. в окрестности наблюдаемой массы электрона, выраженной в МэВ.
Наконец, заметим, что согласно экспериментальным данным [34], кварки являются точечными частицами вплоть до масштаба порядка 4 ТэВ. Тем не менее, очевидно, что у кварков и электронов должна быть внутренняя структура, так как только в этом случае достигается симметрия электронных и ядерных оболочек [22]. Наличие такого рода симметрии означает, что возможны переходы между электронными и ядерными оболочками, чем и объясняется бета-распад.
Центрально-симметрическое поле звезды и движение материи
Будем рассматривать эволюцию звезд в рамках модифицированной теории Эйнштейна [23-24]. Уравнения гравитационного поля Эйнштейна имеют вид:
(24)
- тензор Риччи, метрический тензор и тензор энергии-импульса; - космологическая постоянная Эйнштейна, гравитационная постоянная и скорость света соответственно.
В общем случае имеют место соотношения
(25)
- тензор Римана, - символы Кристоффеля второго рода.
Тензор энергии-импульса материи в уравнении (24), вообще говоря, зависит от гравитационного поля. Чтобы сохранить основную идею определения метрики в теории гравитации Эйнштейна, мы предположим, что уравнение Эйнштейна (1) распадается на два независимых уравнения [23-24]:
(26)
Здесь - некоторая функция, зависящая от размерности пространства. Отметим, что первым уравнением определяется метрика пространства-времени, а вторым уравнением задается распределение материи, которое соответствует этой метрике. Эта гипотеза соответствует идее о происхождении материи из гравитационного поля [35], но без специального предположения о наличии сингулярности метрики.
В работе [24] представленная модель квантовой гравитации в многомерных пространствах размерностью с метрикой
(27)
Здесь - углы на единичной сфере, погруженной в мерное пространство. Метрика (27) описывает многие важные случаи симметрии, используемые в физике элементарных частиц. Такой подход позволяет охватить все многообразие материи, путем выбора уравнения состояния .
Рассмотрим гравитацию в пространствах с метрикой (27). Уравнение Эйнштейна в форме (26) является универсальным, поэтому обобщается на пространство любого числа измерений. Движение материи будем описывать уравнением Гамильтона-Якоби, которое также обобщается на любое число измерений. Вместе эти два уравнения составляют универсальную модель, описывающую движение материи в -мерном пространстве:
(28)
(29)
Уравнения поля в метрике (27) сводятся к одному уравнению второго порядка [24]
(30)
В общем случае параметры модели и скалярная кривизна зависят только от размерности пространства, имеем
(31)
Отметим, что уравнение (30) изменяет свой тип в зависимости от знака производной :
в области уравнение (30) имеет эллиптический тип;
в области уравнение (30) имеет гиперболический тип;
в области уравнение (30) имеет параболический тип.
Уравнение Гамильтона-Якоби в метрике (27) имеет вид
(32)
Уравнение (32) можно проинтегрировать при некоторых предположениях, используя метод, который предложил Шредингер [36]. Суть метода состоит в том, чтобы представить решение уравнения (32) в виде
(33)
Здесь в теорию в явном виде вводится классическое действие - , постоянная Планка и волновая функция . Используя классическое действие, мы определяем те параметры задачи, которые могут считаться внешними для квантовой системы. В случае метрики (27) удобно будет выбрать в качестве переменных квантовой механики углы на единичной сфере, а в качестве координат классического действия - время и радиальную координату. Тогда уравнение (32) разделяется на два уравнения
(34)
Здесь - произвольная постоянная.
Рассмотрим гравитационные волны, которые возникают в метрике (27) в случае линейного уравнения состояния. Положим в уравнении (30)
.
Тогда уравнение (30) приводится к виду уравнения Лиувилля:
(35)
Отметим, что уравнение (35) широко используется в теории струн и квантовой гравитации [25-26, 39-40]. Для уравнения (35) можно указать общее решение [37-38]:
(36)
Здесь - произвольные функции.
Используя формулу Лиувилля (36), можно указать общее решение уравнений Эйнштейна в форме (26), описывающее гравитационные волны в метрике (27):
(37)
Гравитационные волны типа (37) распространяются в комбинации, включающей опережающие и запаздывающие волны. Следовательно, скалярные гравитационные волны могут служить источником квантового движения частиц, например, в форме волн де Бройля [24].
Действительно, запишем первое уравнение (34) в метрике (27), учитывая (37) имеем
(38)
Предполагая, что действие зависит от координат , преобразуем обе части уравнения (38) к эквивалентному виду
(39)
Отсюда следует, что действие можно выразить через произвольные функции в виде
(40)
Уравнение (40) можно рассматривать и в обратную сторону, предполагая, что неизвестные функции связаны с действием пробных частиц адрон частица звезда турбулентность
(41)
Все функции, входящие в уравнение (41) являются вещественными.
Далее предположим, что
, (42)
Тогда приходим к уравнению Лиувилля эллиптического типа
(43)
В этом случае также можно получить решения уравнения (43) общего вида, которые выражаются через аналитические функции [37-38]. Отметим, что уравнение Лиувилля эллиптического типа широко применяется в теории горения и равновесия звезд [1, 4]. Применение эллиптической модели (43) в квантовой теории гравитации можно найти в работе [26].
В статическом случае уравнение (30) приводится к виду
(44)
Интегрируя уравнение (45), получим
(45)
Здесь С - произвольная постоянная. Для моделирования метрики типа (2) в теории Эйнштейна-Янга-Миллса, зависящей от двух периодов рассмотрим уравнение состояния в форме
(46)
Общее решение уравнения (45) с уравнением состояния (46) выражается через функцию Вейерштрасса
(47)
Если существует движение в плоскости в четырехмерном пространстве-времени, то метрика (27) и уравнение поля (30) принимают вид
(48)
(49)
Здесь - параметр движения. В статическом случае уравнение (49) можно проинтегрировать один раз, в результате получим
(50)
Положим в уравнении (50)
(51)
Тогда вновь приходим к метрике (47), зависящей от функции Вейерштрасса. Такого рода зависимость центрально-симметрической метрики от функции Вейерштрасса приводит к значительному расслоению вещества по плотности, что и наблюдается в природе. Так, например, атом имеет плотное ядро и электронные оболочки. Наша планета содержит ядро, мантию, литосферу, атмосферу и магнитосферу. В строении Солнца также предполагается наличие плотного ядра, зоны лучистого переноса, конвективной зоны, фотосферы и атмосферы, состоящей из хромосферы, переходной зоны, короны и гелиосферы.
Эволюция звезд и геометрическая турбулентность
Используем полученные результаты для доказательства того, что горение вещества в звездах обусловлено только изменением метрики пространства-времени. Действительно, представление о механизмах ядерных реакций в центре звезды является, скорее, данью развития ядерных технологий на нашей планете, нежели научно обоснованным фактом. Разделение вещества на изотопы является удобным инструментом анализа в земных лабораториях, но никак не соотносится с действительным состоянием вещества в звездах.
Для подтверждения гипотезы о ядерных реакциях как основном источнике энергии звезд, возможно, потребуется создать специальный прибор для исследования поведения вещества в условиях сильного сжатия и высоких температур. Термоядерные взрывы, осуществленные на нашей планете, дают лишь приближенное представление о том, что может происходить в звездах.
С другой стороны, термоядерный реактор с самоподдерживающейся ядерной реакцией все еще не создан. В существующих проектах термоядерных гигантов типа ITER [41] может быть достигнута высокая температура порядка 150 миллионов градусов, однако плотность плазмы при этом будет значительно ниже, чем плотность вещества в звездах. Как известно, решающим фактором для самоподдерживающейся реакции является объем плазмы [42], который в проекте [41] составляет 840 куб. метров. Отметим, что в звездах объем плазмы составляет неизмеримо большую величину порядка 1018 кубических километров в случае Солнца.
Столь большой объем системы дает новое качество, которое не может быть достигнуто в земных лабораториях ни при каких условиях в силу ограничения, связанного с масштабным фактором. Следовательно, в отношении источника энергии звезд уместны будут альтернативные гипотезы, согласованные со всей совокупностью данных.
Мы предполагаем, что квантовая механика имеет своим источником явление геометрической турбулентности, которое заключается в турбулентном изменении метрики пространства-времени [43-44]. В этом случае получает объяснение механизм ядерных реакций как результат переноса энергии по каскаду от больших масштабов к малым, что ведет к развитию взрывной неустойчивости.
Масштаб развития неустойчивости может быть ограничен в силу специфики метрики адронов. Поэтому неустойчивость приводит к микровзрывам, которые в совокупности могут вызвать детонацию в большом объеме вещества. Эти микровзрывы и являются источником энергии звезды. Основной моделью, описывающей развитие процесса геометрической турбулентности, является уравнение (49) и уравнение состояния, которое описывает метрику типа метрики адронов (2). Положим в уравнении (50)
(52)
Метрика (52) соответствует метрике адронов (2), хотя и является статической. Такого типа решение возникает в теории Янга-Миллса в том случае, когда метрика приводится ко второму каноническому виду [9-10].
Покажем, что всякое изменение метрики пузыря приводит к изменению плотности энергии электромагнитного поля с дискретным спектром излучения. Для этого используем свойство периодичности функции Вейерштрасса, в силу которого положим в первом уравнении (5) . Тогда, разлагая функцию Вейерштрасса в ряд в окрестности нуля, находим